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K関数

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』
K函数から転送)

数学において、K関数とは、ハイパー階乗(hyperfactorial)の複素数への一般化である。

定義

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形式的には、K関数は

のように定義される。これは、閉じた式としても表せ、

となる。ここで、ζ'(z)はリーマンゼータ関数の一階導関数、ζ(a,z)はフルヴィッツのゼータ関数で、

である。また、ポリガンマ関数を用いた別の式もある。[1]

である。また、Balanced polygamma functionを使って、[2]

とも書ける。ここで A はグレーシャーの定数である。

K関数はガンマ関数のときと同様に、スターリングの公式の類似公式を持つ。

K関数はガンマ関数バーンズのG関数と密接な関連を持つ。正の実数nに対し、

のような関連がある。より明確に書けば、

が自然数nに対し成り立つということである。より一般に、次のような関数等式を持つ。

K関数は二重ガンマ関数の特殊な場合として捉えることができる。

倍角公式

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ガンマ関数の倍角公式の類似として、次の公式が知られている。

ここで、Aはグレイシャー・キンケリンの定数である。

数値

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最初の数項の値は、

1, 4, 108, 27648, 86400000, 4031078400000, 3319766398771200000, ... (オンライン整数列大辞典の数列 A002109).

となる。また、は、

[3]

のように表せる。ここで A はグレーシャーの定数である。

関係式

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K関数とバーンズのG関数との積は次のようにかける。

ここで、

Benoit Cloitreは2003年、下の式を発表した。

.

参考文献

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  • Kinkelin, Hermann (1860). “Ueber eine mit der Gammafunction verwandte Transcendente und deren Anwendung auf die Integralrechnung” (ドイツ語). Journal für die reine und angewandte Mathematik 57 (18): 122–138. ISSN 0075-4102. PPN243919689. http://www.digizeitschriften.de/dms/resolveppn/?PPN=GDZPPN002150824. 

注釈

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関連項目

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外部リンク

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  • Weisstein, Eric W. "K-Function". mathworld.wolfram.com (英語).