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「はるひ」様、並びに、各担当者様

私が不勉強の為、色々とご迷惑をおかけしている様で、申し訳ありません。 徐々に直してゆくつもりでは居ますが、時間的に間に合わない場合は処分されても致し方ありません。 よろしくお願いします。以上です。

 (--)Knotopologynntn 2021年7月26日 (月) 06:25 (UTC)  →  (--)Knotopologynn 2014年7月4日 (金) 07:36 (UTC) 

Knotopologynn は日本人です。そして、数学研究者です。TeX ならば，10年ほど使い込んでいますが，Web 上の他のマークアップ言語は，あまり利用した経験がないので，これを勉強しながら投稿して行こうと考えています．今まで常微分方程式と結び目理論を投稿してありますが，別の常微分方程式をこの場に記述しておきます。

Knotopologynn のメモ

非線型常微分方程式は多くの場合，求積法では解けません(積分できません)．ここに載せるのは，積分できる珍しい非線型常微分方程式です．　

一階非線型常微分方程式

一階非線型常微分方程式（その１）

$y=xp+x^{n}\!f(p),\quad \quad {\Bigl (}p={\frac {dy}{dx}}{\Bigr )}$

$\displaystyle n$ は実数、$\displaystyle f$ は既知関数（任意関数）とする。上記の、一階非線型常微分方程式の一般解は、$\displaystyle C$ を積分定数とし、$\displaystyle p$ を媒介変数として次式で与えられる。

一般解(1). ${\bigl (}n\neq 0,\quad n\neq 1$ の場合 ${\bigr )}$

$x={\Bigl \{}f(p){\Bigr \}}^{-1/n}{\Bigl \{}C+{\frac {1-n}{n}}\int {\Bigl \{}f(p){\Bigr \}}^{-1/n}dp{\Bigr \}}^{1/(n-1)},\qquad y=xp+x^{n}f{\big (}p{\big )}.$

一般解(2). ${\bigl (}n=1$ の場合${\bigr )},\quad (C\neq 0)$

$x={\frac {C}{f(p)}}\exp {\Bigl \{}-\int {\frac {dp}{f(p)}}{\Bigr \}},\qquad y=x{\bigl (}p+f(p){\bigr )}.$

一般解(3). ${\bigl (}n=0$ の場合 ${\bigr )}$

$\displaystyle n=0$ の場合は、Clairaut（クレロー）型の常微分方程式、

$y=xp+f{\big (}p{\big )}$

に帰着する。

二階非線型常微分方程式

二階非線型常微分方程式（その２）

$y=x{\frac {dy}{dx}}+x^{n}f\!\left(x^{2-n}\cdot {\frac {d^{\,2}y}{dx^{2}}}\right)$

$\displaystyle n$ は実数、$\displaystyle f$ は既知関数（任意関数）とする。上記の、二階非線型常微分方程式の一般解は、$C_{1},\;C_{2}$を積分定数として次式で与えられる。

一般解 ( $\displaystyle n\neq 2$ )

$\displaystyle x=g(t),\qquad y=C_{2}+\int \left[{\frac {d\,g(t)}{dt}}\left\{C_{1}+\int \left(t\cdot {\Big (}g(t){\Big )}^{n-2}\cdot {\frac {d\,g(t)}{dt}}\right)dt\right\}\right]dt,$

$g(t)=\exp \left\{-\int \left({\frac {1}{\;t+nf(t)\;}}\cdot {\frac {d\,f(t)}{dt}}\right)dt\right\}.$

参考文献

• 長島 隆廣：常微分方程式80余例とその厳密解　(求積法で解ける新しい型の常微分方程式の例), 2005年. ISDN4-7733-7282-6 C3041 [1]
• 長島 隆廣：常微分方程式134例とその解, 丸善書店（自費出版）, 1982年.
• 長島 隆廣「常微分方程式80余例と求積法による解法」(researchmap) PDF： https://researchmap.jp/multidatabases/multidatabase_contents/detail/263160/16f8fddfba5ab789f6475ac2962bfd31?frame_id=539358