ノート:モンティ・ホール問題

計算の項目の変更を求めます。

現行の計算項目は、はっきりいって理解しにくいものです。
このページを見にくる方は、モンティホール問題を理解をしようとして見に来ているはずです。
そのため計算の項目部位は、ベイズ定理を用いないのはもちろん、誰が見ても分かりやすい、練られたシンプルな解答である必要があります。
自分で一例として解答を書いてみました。今の計算項目よりは分かりやすいものだと思います。
重要な項目であると思いますので、「誰にでも分かりやすい解答」の議論をしませんか？--S61kankurou 2010年9月14日 (火) 02:51 (UTC)[返信]
↓以下、解答です

3つの扉をA.B.Cを名前をつける。
この時、プレイヤーはAを選ぶものとする（一般性は失わない）
1.正解の扉がAである場合(確率は1/3)

モンティはBかCを1/2の確率で開けることとなる。

・モンティがBを選んだ場合

プレイヤーが当たりのAを選択する確率は 1/3 * 1/2 * 1/2= 1/12　・・・★

プレイヤーがハズレのCを選択する確率は 1/3 * 1/2 * 1/2= 1/12　・・・×

・モンティがCを選んだ場合

プレイヤーが当たりのAを選択する確率は 1/3 * 1/2 * 1/2= 1/12　・・・★

プレイヤーがハズレのBを選択する確率は 1/3 * 1/2 * 1/2= 1/12　・・・×

2.正解の扉がBである場合(確率は1/3)

Bは正解なのでモンティはCを開けなければならない。

プレイヤーがハズレのAを選択する確率は 1/3 * 1/2 = 1/6　・・・×

プレイヤーが当たりのBを選択する確率は 1/3 * 1/2 = 1/6　・・・☆

3.正解の扉がCである場合(確率は1/3)

Cは正解なのでモンティはBを開けなければならない。

プレイヤーがハズレのAを選択する確率は 1/3 * 1/2 = 1/6　・・・×

プレイヤーが当たりのCを選択する確率は 1/3 * 1/2 = 1/6　・・・☆

以上より、プレイヤーが扉を変えずとも当たりである確率は 1/12 + 1/12 = 1/6（★）
プレイヤーが扉を変えて当たりである確率は 1/6 + 1/6 = 1/3 (☆)である。
なお、プレイヤーがハズレを選んでしまう確率は 1/12 + 1/12 + 1/6 + 1/6 = 1/2（×）である。

よって、1/3(☆)＞1/6(★)より、プレイヤーは扉を変えるべきである。
--S61kankurou 2010年9月14日 (火) 02:51 (UTC)[返信]

次のような解説を加えたいと思うのですが（友人に評判が良かった）、いかがでしょうか？Mizusumashi 18:07 2003年7月11日 (UTC)

次のように考えることもできる。プレイヤーが初めに選んだドアをA、残りのドアをB、Cとする。さて、プレイヤーが初めのドアを選んだ時点で、それぞれのドアに景品がある確率と、モンティがそれぞれのドアを開ける確率は次のようなマトリックスをつくる。

プレイヤーが初めのドアを選んだ時点の確率
		モンティが開けるドア			合計
		A(プレイヤー)	B	C	合計
景品があるドア	A	0	1/6	1/6	1/3
	B	0	0	1/3	1/3
	C	0	1/3	0	1/3
合計		0	1/2	1/2	1

ここでモンティがBのドアを開ける確率は全体の1/2であるが、これは、Aのドアに景品があってモンティがBのドアを開ける確率(1/6)、Bのドアに景品があってモンティがBのドアを開ける確率(0)、Cのドアに景品があってモンティがBのドアを開ける確率(1/3)の合計である。表を良く見れば分かるとおり、もしモンティがBのドアを開けたならば、A(プレイヤーが初めに選んだドア)の後ろに景品がある確率に比べ、Cの後ろに景品がある確率が2倍なのは明らかである。

「ルール変更のまとめ」に対する意見

まず指摘しなければならないのは、ルール変更のまとめにある「ルールを知っていることの必要性」であるが、ルールは正しく実行される(モンティが間違えて景品の扉を開ける事は無い)ことが重要であって、プレイヤーはルール(1～4)を知らなくても選択変更さえすれば確率は1/3から2/3に向上するというのがモンティ・ホールの問題の主旨と考える。

たとえば現実の問題として、実験結果の確率分布から今まで知らなかったルール(物理法則)を推定することは一般に行われていることであるし、誠意をもってルールを事細かく親切に説明して、覚えているかの確認をパスしても、同じ行動を繰り返し結果が変化しない人間はいるのである。モンティ・ホールの問題に関して言えばエルデシュ(この問題に納得しなかった数学者)であれ誰であれ、”汝、悔い改めるべし”というお告げに従う人の景品獲得の確率は2/3で、”汝、初心を貫くべし”というお告げに従う人の景品獲得の確率は1/3になるということである。

もちろん、ルールを知ることにより、よりよい行動(高い確率を得ること)ができる。２番目の指摘になるが、ルールの(４)で"プレイヤーに選ばれ無かった扉が両方ともヤギであった場合にはコインを投げてどちらを開くか決める"とあるが、これは"どちらを開くかランダムに決める"と書くべきであった。プレイヤーである私がルール(４)を知れば、コイン投げが行われるか否かに注意を払い、コイン投げをしているのを見るか音を聞けば扉の選択を変更しないことにより、景品獲得の確率を100％にすることができる(引っ掛けのためのコイン投げはルールに無いので絶対にしない)。モンティが一旦何処かに姿を隠してしまい、コイン投げをしたかどうか分からなかったり、隠れているスタッフがコイン投げや扉の選択をする場合には、マリリンに従い扉の選択を変更して景品獲得の確率2/3となる。-Catfish 2006年4月21日 (金) 05:29 (UTC)[返信]

100%の確率でプレーヤーは景品を獲得できます。

方法

プレーヤーは、ホストがコインを投げれば初めの選択のまま、コインを投げなければもう一つの閉じているドアに変更することで100%の確率で景品を獲得できるでしょう。

説明

ゲームのルールで次の記載があります。

「４．ホストは景品のあるドアを知っていて、必ずヤギの入っているドアを開ける。もし、両方ともヤギだった場合はコインを投げて決める。」

つまり、ホストがコインを投げる行為は、残りの二つのドアの両方にヤギがいることを示し、必然的にプレーヤーが初めに選んだドアに景品があることを示しています。また、ホストがコインを投げなかった場合は、残りの二つのドアの片方にだけにヤギがいることを示し、もう一匹のヤギはプレーヤーが初めに選んだドアにいることが確定となります。

前提条件

　プレーヤーはホストがコインを投げるか否かを確認することができる

意見

　このような論理的な議事の場合は、シビアなルールが求められます。　「もし、両方ともヤギだった場合はコインを投げて決める。」の件を削除して再編集するのが良いのではないでしょうか？-Shinya 2006年11月4日 (土) 09:23 (UTC)

上の 66.75.52.70 さんによるご指摘は、2006年4月21日 (金) 05:29の Catfish さんのご指摘と同じですよね。そして、変更ルール１がご指摘の問題点を解決できる変更のように思います。もとの記述はそのままにして、変更しないとプロトコルバグがあることを変更ルール１の部分に加筆したらよいのでは？Sina 2006年11月4日 (土) 14:54 (UTC)[返信]

ルール変更について

本文を読ませてもらいましたが、問題を理解しやすくするための「ルールを変更について」いまいちピンときません。

理解しやすくするためであれば、以下のようにすれば良いのではないでしょうか？

1.3つのドア (A, B, C) に（景品、ヤギ、ヤギ）がランダムに入っている。

2.プレイヤーはドアをひとつ選ぶ。

3.ホストはプレイヤーに「あなたが選んだドアに景品が入っていますか？」と質問をする。

4.質問の答えが正解であれば景品が手に入る。

つまり、自分の選んだドアに景品が入っているか？否か？という確率論に帰着します。

--61.121.93.31 2007年2月26日 (月) 13:07 (UTC)[返信]

不正確な記述の削除提案

下記の記述を削除することを提案します。

また、ドアが3個ではなく100個である場合を考えるとより直感的に分かりやすくなるだろう。プレイヤーが一つのドアを選んだのち、モンティは後ろにヤギのいる98個のドアを開ける。明らかに、モンティが開けなかったもう一つのドアに景品がある可能性が極めて高い（正確には 99/100）。

反対意見などありましたら、ぜひお寄せいただきたく思います。

削除提案理由

ドアが100枚のケースの例えが不適切であると考えられるためです。

ドアが100枚のケースで「98枚をあけること」が、オリジナルルール「3.」と等価であることは自明でない。
オリジナルルールを素直に解釈すると、むしろ「98枚をあける」のはオリジナルルールと矛盾していると解釈される可能性が高い。

上記二点の理由から、削除提案をしている個所は「～と考えると分かり易い」とはとてもいえず、むしろモンティ・ホール問題の理解の妨げにすらなりうると考えます。その理由を下記に示します。

第1点について

オリジナルルールの「3.」を一般化した場合、以下の2通りの解釈が成り立ちえます。

n枚のドアがあり、回答者が1枚あけた後、司会者は残ったn-1枚のドアから

1枚を選択して開ける

n-2枚を選択して開ける。

オリジナル問題(n=3)の場合は、あけるドアの枚数はどちらも1枚であるため、上記のどちらで解釈すべきかは、オリジナルルールからは決定できません。従って、上記の2番目のルールが自明であるかのように「98枚を開ける」のは適切ではないと考えます。

第2点について

オリジナルルールの3番目は以下の内容です。

プレイヤーがどのドアを選んだかにかかわらず、ホストは残りのドアのうちひとつを必ず開ける。

この文面を文字通り解釈した場合、上記の第1点の2通りのうち、1番めの解釈が適切であると判断されるのがごく自然の解釈ではないでしょうか。よって、「98枚開ける」のはルールに乗っ取ってない行動であり、これはモンティ・ホール問題の単純化（明確化）にはなりません。

--124.255.170.100 2007年2月27日 (火) 13:03 (UTC)[返信]

多数のドアを使う説明を新たに書いた者ですが、同様の説明が以前にもあったとは知りませんでした。　この問題のキモは「ドアが2択になった経緯で確率が変化する点」だと思いますが、以前の説明だとその点に言及がなかったため「分かり易いとはとてもいえない」とのご意見が出たのだと思います　経緯(モンティが正解を知っている点)を加筆しておきましたがこの説明ではどうでしょうか? --H5ra9y 2010年2月9日 (火) 17:31 (UTC)[返信]

モンティ・ホール問題のフラッシュ

モンティ・ホール問題の事が説明されているフラッシュを見つけましたので、URLを貼っておきますね。 ttp://ishi.blog2.fc2.com/blog-entry-182.html

面白いフラッシュですね。モンティホール問題に基本的にコイントスは関係ないですね。というより上に投稿されているように「プレイヤーに分かるようにコイントスをする」のがルールなら100％正解できてしまいますから、記事のなんらかに誤解があると考えられます。--121.112.179.28 2007年10月15日 (月) 07:47 (UTC)[返信]

”ルールを知っていることが前提”の説明が不十分です

私も誤解していましたが、”ルールを知ることが前提である”ことの説明が、”知らないとルールが定まっていないのと同じ”、では不十分です。”ルールを知らなければ、（極めて低い確率ではあるが）商品の扉を知らないモンティがたまたまヤギの扉を開け続けている可能性を否定できず、とすれば第２の扉選択で替えた時と替えない時で確率が等しい可能性も残っているということになります”ではどうでしょう。 --- Catfish

簡素化しました

言葉で説明しようとして、むしろわかりにくくなっているようです。つじつまが合わない文章も見受けられますので、一旦コメントアウトしました。 --Okia 2010年7月11日 (日) 07:31 (UTC)[返信]

Okiaさんへ、

あなたは、「ベイズ確率」と「頻度確率」を混同してますよ。

ベイズ確率の計算にとって最も重要な要素を省略したので、じゃあ、頻度確率の計算で説明しようというのだろうか？

と思ったのですが、どうも一貫していない。

ベイズ確率であれば、せめて、 http://shiozawa.net/fukuzatsukei/monti_hall.html に書いてある計算方法程度は理解してから編集してください。

それは失礼しました。 --Okia 2010年7月17日 (土) 03:43 (UTC)[返信]

数学的解説　節内の記述について

"モンティがやったことは、プレイヤーが第1のドア選択をした後、他の2つのドアのうち1つを開け、ヤギを見せただけだからである。" プレイヤーがドアを変更する根拠としてはこの事実だけで十分と思いますが。

"モンティは、もし、他の2つのドアの両方ともヤギだった場合はコインを投げてどちらかのドアを決めるとは言っていないのである。" 開けるドアの決め方…によらず、とにかく開けられたドアがヤギだったのですから、マリリン・ボス・サバントはドアを変更するためにコイントスを仮定する必要などなかったのではないでしょうか。

ちなみに、Bを開ける確率xが0から1までの値を取るとのことですが、 xが0のときはCが当たりの確率が、記載されている式によると 1 になります。これは一体どういう状態なのでしょうか？ Aが当たりであることを前提としながらAが当たりの確率を求める式を立てていたり、数学的すぎて理解がむつかしいように感じました。--以上の署名のないコメントは、121.3.147.193（会話）さんが 2011年4月29日 (金) 00:45 (UTC) に投稿したものです（白駒による付記）。[返信]

高校くらいの学習内容に「条件付確率」というものがあるはずですので、まずはそちらを学んでください。x = 0 とは「プレイヤーが選んだ A が当たりの場合は、モンティは必ず C を開けてみせる」ということですから、その前提でモンティが B を開けたならば、必ず A ははずれで C が当たりということになります。◆本項については、いろんな人が全体の構成を考えずにいろんなことを書くものですから、かえって分かりにくくなっており、そろそろ整理が必要だなあ、と思っています。--白駒 2011年4月29日 (金) 05:47 (UTC)[返信]

「プレーヤーが当たりを選んだ場合の司会者の選択の偏りが何をもたらすか」というのは興味深い論点だとは思いますが、ルール (3) と (4) が守られる限り、司会者の選択がいかに偏っていたとしても、変わるのは細かく場合分けした中の話であり、「プレーヤーが初めに当たりを選んでいたらスイッチしてハズレ」「ハズレを選んでいたらスイッチして当たり」「後者の方が確率高い」「300回試行し300回スイッチすれば、約200回は当たり」という大枠は、いっさい影響を受けません。「マリリンの答えは、この特殊な場合を想定したもの」とは言えないし、「選択の偏りがないこと」が (3)や(4) と同等に重要とも言えない気がします。

（じぶんで編集したものに自分でツッコミを入れてるようなことになり、その点わかりにくくて申し訳ないのですが、自分としては記述の大意を変えずにわかりやすく書き直したつもりで、その後考えてるうちに、大意自体に疑問を抱くようになった、ということです）--Nobiox 2011年5月16日 (月) 11:00 (UTC)[返信]

Nobioxさんが計算しておられるのは「頻度確率」であって「ベイズ確率」ではありません。頻度確率ならおっしゃる通り、司会者の選択の偏りの影響は受けません。一方、ベイズ確率であれば、司会者の選択の偏りに影響を受けますので閲覧画面の数学的解説のようになります。もっとも、このモンティホール問題で確率を計算するとしたらどちらがふさわしいのかという根本的な疑問はあるでしょう。モンティホールショーに参加したユーザーの立場であればベイズ確率で計算するしかなく、その場合、司会者の選択の偏りなど知りませんから、理由不十分の原理で司会者の選択に偏りはないとして計算するしかないように思います。その場合は、頻度確率と同じ結果になるでしょう。いずれにしても、閲覧画面は、「頻度確率」と「ベイズ確率」が混在してわかりにくくなってますので整理したほうがいいですね。（126.117.176.160）

そうですか。言われて、Wikipediaの「ベイズ確率」の項を３回読んでみましたが

残念ながらさっぱりわからず、たぶん一生わからないような気がします。

閲覧画面の数学的解説では、

「出演者がＡを選んだ場合についてのみ考えるとして」

「Ａが当たりの時、出演者がＡを選んだら司会者は必ずＢを開く」と仮定すると

　１）Ｂが開いた場合、スイッチして当たりの確率 1/2

　２）Ｃが開いた場合、スイッチして当たりの確率 1

となると思うのですが（自信なし）、それで、

　３）ＢまたはＣが開いた場合

は、閲覧画面の数学的解説では、どうなるのでしょうか。--Nobiox 2011年5月17日 (火) 12:34 (UTC)[返信]

私は確率論は素人ですが、専門家の先生が「確率とは何ぞや」という哲学的な話の導入として「雨が降るか降らないかは2通りだから、今日雨が降る確率は 1/2 である。さあ反論してみろ」と仰っていたのを思い出しました。~~頻度確率~~確率の計算で重要なのは「同様に確からしい」という仮定なのですね。対して、IP さんが「ここで議論しているのはベイズ確率だ」とおっしゃっているのは、得られる情報によって確率が変動する、という程度の意味合いなんだと思います。そもそも、当該部分は蛇足に過ぎないと私は思っていて、それを言い出したら「当たりの扉がランダムに選ばれるとは言っていない。スタッフに癖があって、一番左の扉 A が当たりである確率も 1/3 とは限らないのだ」とかも言わないといけなくなって、わけが分からなくなります。えーと、Nobiox さんの質問への直接的な答えとしては、「その場合のモンティの癖が分からないと正確なところは分からない。その情報がなければ同様に確からしいとして考えるしかない」ということになるでしょうか。--白駒 2011年5月17日 (火) 15:30 (UTC)訂正と撤回。--白駒 2011年5月17日 (火) 16:43 (UTC)[返信]

白駒さん、お返事ありがとうございます。

>その場合のモンティの癖が分からないと正確なところは分からない。

私の質問は「出演者がＡを選んだ場合についてのみ考えるとして」「Ａが当たりの時、出演者がＡを選んだら司会者は必ず（100％）Ｂを開くという癖があった場合」についてのものです。「Ｂが当たりの時、出演者がＡを選んだ」「Ｃが当たりの時、出演者がＡを選んだ」場合には司会者には選択の余地はないので、癖情報として充分だと思うのですが。

頻度確率とベイズ確率の違いをまったく理解してませんが、それがそんなに異質のものだとすれば、前半を「頻度確率に基づく解説」、後半を「ベイズ確率に立脚した解説」とかの２本立てにするのがいいように思います。--Nobiox 2011年5月17日 (火) 15:55 (UTC)[返信]

済みません、単純に誤読しておりました。元の御質問を繰り返しますと、「モンティには A が当たりの時、出演者が A を選んだら司会者は必ず B を開く癖があるとする。プレイヤーの戦略として、最初は A を選ぶ。モンティが B を開こうが C を開こうが、ともかくスイッチする。このとき、どの程度当たりになるか」ということでよろしいでしょうか。それは 2/3 です。モンティの癖や途中経過によらず、スイッチした方が得なので、「マリリンの答えは間違っているのは間違いとは言えない」はこの意味では間違いでしょうね。ああ、ややこしい。 ◆「２本立て」にするのは良い案とは思いませんが、詳しい議論は遠慮致します。--白駒 2011年5月17日 (火) 16:43 (UTC)[返信]

>モンティが B を開こうが C を開こうが、ともかくスイッチする。

>このとき、どの程度当たりになるか」ということでよろしいでしょうか

そうです。完全にその通り。

>それは 2/3 です。モンティの癖や途中経過によらず、スイッチした方が得

ありがとうございました。わかってる人から見ると２本立てはいい案じゃないらしい、ということもわかったので、その点も感謝します。--Nobiox 2011年5月17日 (火) 17:25 (UTC)[返信]

新たな疑問

3つの扉では最初に選択した扉以外を選択すると確率が2/3になるを理解した上でお尋ねします。

プレーヤー二人がAとBを選択しCの扉(ハズレ)をあけます(ケームが成立する確率は2/3の一発勝負)。 Aを選んだプレーヤーは確率が上がるのを理解してるのでBに選び直します(期待確率は2/3)。同じようにBを選んだプレーヤーもAに選び直します(期待確率は2/3)。 Aが正解の確率は2/3。 Bの正解の確率も2/3。 2/3＋2/3＝4/3で3/3をオーバーします。

どなたか中学数学程度で教えて下さい。--suzuki--以上の署名のないコメントは、220.105.212.216（会話）さんが 2012年2月13日 (月) 05:30 (UTC) に投稿したものです（白駒による付記）。[返信]

「ケームが成立する確率は2/3」とのことからお分かりのように、C が当たりであればホストは C を開けることができません。よって、この場合は扉を変えると確率が 2/3 になるとは言えず、A も B も当たりの確率は 1/2 であって、何も不思議なことはありません。確率が 2/3 に上がるためには、ホストとプレーヤーの間で件のルールが共有され、かつそのルール通り事が運ぶことが必要であり、御提案の状況はその条件を満たしません。--白駒 2012年2月13日 (月) 10:11 (UTC)[返信]

ありがとうございます。もう少し考えてみます。。--suzuki--以上の署名のないコメントは、220.105.212.216（会話）さんが 2012年2月13日 (月) 10:35 (UTC) に投稿したものです。[返信]

変更ルール3の「コイントス」を「Bに決めさせた残り」に変えただけなのですでに本文に答えがあるのではないでしょうか？--Aquamarin456 2012年2月13日 (月) 11:45 (UTC)[返信]

IPの方の編集

IP の方が「従来の記述は間違いだらけ」と称して大幅な変更を行いましたが、変更後の方が問題があります。3RR 違反を避けるために、差し戻しが抑制されていて、現在は間違った内容の版のままになっています。例えば、変更ルール3での確率は 1/2 です。不毛な議論になることが目に見えていますので、第三者からのリクエストがない限りは詳しく解説しませんが、文献ならば丸々一冊この問題に費やした本 ISBN 978-4791767526 があって、様々なルールについて書いてあったと記憶しています（昔買ったので、探せばその辺にあるはずだが…）。元の版も拙い部分がありますが、明らかな間違いよりはましなので、元の版に戻すべきです。--白駒（会話） 2018年6月8日 (金) 07:55 (UTC)[返信]

確率論というより心理問題

この問題を正しく解くには、出題者やモンティ側を信頼しなければならない。

モンティ側は不正なしに、ランダムに当たりハズレを設定し、開けるドアを選ぶ必要があるし、出題者はキチンとした不備のない問題を作る必要がある。

そしてそのためにはまず、問題内容の丁寧な説明が求められる。

そこを省いてしまった。

その不信感が誤解や批判を招いた。

文字数などの事情があるとはいえ、大きな賞品を提示しつつ不透明な問題を突きつける行為は配慮に欠ける。

つまり多くの読者は問題や解答の「不備」を指摘することに拘ってしまう。

そしてもう一つは、彼女の「2倍」という表現。1%が2倍になっても2%にしかならないが、50%が2倍になると100%になる。つまり2倍という表現には幅があり、誤解に繋がりやすい。

また、最初に読者に当たりのドアを選ばせることは、それが「自分が(悩んで)選んだ当たりと思うドア」として認識させることに繋がる。

そのドアが当たりならば、その後のモンティ側の行為は邪魔でしかないし、そのドアの当たりの確率がもう一つより劣るなどと思いたくはない。

しかしルール説明が充分になされてドアを選ばせていたら、読者は「ハズレ候補のドア」程度の認識で選ぶことができるし、問題を深く理解していれば、「ハズレとして選んだドア」とすることができる。

つまりモンティの行為が後出しに感じたならば、それは誤解を招くことになり、十分に配慮しなければならない。

総合してこの問題は、「足りない情報で問題をどこまで把握できるか」という挑戦的な問題であり、かつ言葉や数字のマジック、心理的な落とし穴のある引っかけ問題であるといえる。--2001:268:92A7:4C62:E00E:2491:135D:C37A 2022年7月10日 (日) 02:19 (UTC)[返信]

冒頭部のベイズ

現状、第一文が「モンティ・ホール問題とは、確率論の問題で、ベイズの定理における事後確率、あるいは主観確率の例題の一つとなっている。」ですが、頻度論的な解釈もできますし、こういう特定の立場を強調する書き方はマズイのではないかと思います。詳しい方は修正をご検討ください。（参考情報として、現在の英語版の冒頭部にはベイズも主観確率もありません）。--Maulits（会話） 2024年12月11日 (水) 12:49 (UTC)[返信]