ノート:加法定理

加法定理の形式的記述について

「概要」の項で、関数fの加法定理が形式的に f(a+b)=G(f(a),f(b)) である旨との記述となっています。

しかしこれだと、代表的な加法定理である、三角関数の加法定理 cos(a+b)=cos a cos b - sin a sin b は加法定理ではないことになるため、あの記述は不適当だと思います。

より適当な表現に改めることを考えていますが、如何でしょうか。 Ritsu2004（会話） 2023年4月13日 (木) 23:31 (UTC)

数学辞典（第4版）で特殊関数方程式の項を見ると同様の趣旨が書いてあるので，この記述自体は標準的で問題ないと思います．実際 Castillo & Ruiz-Cobo (1992) の Table 2.3 を見ると $\sin x={\sqrt {1-\cos ^{2}x}}$ と見ていることがわかります．問題は関数の形ではなくて，定義域としてどこを（この例だと $(-\infty ,\infty )$ でなく $[0,\pi ]$ を）考えているかということだと思います．あるいは全域性にこだわるなら場合分け

$\sin x={\begin{cases}{\sqrt {1-\cos ^{2}x}}&(\,x\in \bigcup _{n\in \mathbb {Z} }[2n\pi ,(2n+1)\pi )\,)\\-{\sqrt {1-\cos ^{2}x}}&(\,x\in \bigcup _{n\in \mathbb {Z} }[(2n-1)\pi ,2n\pi )\,)\end{cases}}$

を考えればいいですね．いずれにせよ三角関数の加法定理は（自明な書き換えを施せば）形式的な加法定理と見做せます．--ARAKI Satoru（会話） 2023年4月16日 (日) 07:34 (UTC)