メガ素数

メガ素数（英語: megaprime）は、100万桁以上の素数^[1]である。

2023年12月 (2023-12)現在^[update]、2414 個のメガ素数^[2]と 126 個の確率的メガ素数^[3]が知られている。最初に発見されたメガ素数は、メルセンヌ素数の2^6972593−1（2,098,960桁）で、1999年 6月1日にNayan Hajratwalaが分散コンピューティング・プロジェクト、GIMPSを使用した物であった^[4]^[5]。

10進数で1,000桁以上の素数はタイタニック素数と呼ばれ、10,000桁以上の素数は巨大素数と呼ばれる。

種類別のリスト

以下では、メガ素数または確率的メガ素数を、素数の種類別に一覧で示す。

「Prime/PRP」欄は、素数であると証明されたものを "Prime"、底ごとのフェルマーテストなど、いくつかのテストをクリアした確率的素数を "PRP" で表している。

メルセンヌ素数

2022年4月現在で51個のメルセンヌ素数が知られており、そのうち38番目以降の14個がメガ素数である^[6]。知られている最大の素数はほとんどの期間でメルセンヌ素数 (のいずれか) であった。これは、知られている大きな数の素数判定が $N + 1$ あるいは $N - 1$ の素因数分解に基づいており、メルセンヌ数の場合は $N + 1$ の素因数分解がほとんど自明であったためである^[7]。

発見された数	Prime/PRP	発見された日付	桁数	出典
2^136279841－1	Prime	2024年10月12日	41,024,320	^{[GIMPS 1]}
2^82589933－1	Prime	2018年12月7日	24,862,048	^{[GIMPS 2]}
2^77232917－1	Prime	2017年12月26日	23,249,425	^{[GIMPS 3]}
2^74207281－1	Prime	2016年1月7日	22,338,618	^{[GIMPS 4]}
2^57885161－1	Prime	2013年1月25日	17,425,170	^{[GIMPS 5]}
2^43112609－1	Prime	2008年8月23日	12,978,189	^{[GIMPS 6]}
2^42643801－1	Prime	2009年1月4日	12,837,064	^{[GIMPS 7]}
2^37156667－1	Prime	2008年9月6日	11,185,272	^{[GIMPS 6]}
2^32582657－1	Prime	2006年9月4日	9,808,358	^{[GIMPS 8]}
2^30402457－1	Prime	2005年12月15日	9,152,052	^{[GIMPS 9]}
2^25964951－1	Prime	2005年2月18日	7,816,230	^{[GIMPS 10]}
2^24036583－1	Prime	2004年5月15日	7,235,733	^{[GIMPS 11]}
2^20996011－1	Prime	2003年11月17日	6,320,430	^{[GIMPS 12]}
2^13466917－1	Prime	2001年11月14日	4,053,946	^{[GIMPS 13]}
2^6972593－1	Prime	1999年1月1日	2,098,960	^{[GIMPS 14]}

プロス数

正の奇数 $k$ と $2 n > k$ を満たす $n$ に対して、 $N = k \cdot2 n + 1$ で表される数をプロス数 (英: Proth number) と言う。

プロス素数の探索プロジェクトとしてProth Prime Searchがある。また、探索プロジェクトを持つようなプロス数のクラスには次のようなものがある：

第2種サービト数（英語: Thabit number）... $3\cdot2 n + 1$ (321 Prime Search)
カレン数 ... $n \cdot2 n + 1$ (Cullen/Woodall prime search)
シェルピンスキー問題 ... 最小のシェルピンスキー数は78557か？ (Seventeen or Bust)
- Prime Sierpiński problem ... 最小の素数であるシェルピンスキー数は271129か？ (Prime Sierpinski Problem)
- 拡張シェルピンスキー問題 ... 2番目に小さいシェルピンスキー数は271129か？ (Extended Sierpinski Problem)
フェルマー数 ... 2^2ⁿ + 1 (Distributed Search for Fermat Number Divisors)
- フェルマー数 $F n$ の素因数は $k \cdot2 n +2 +1 (k ≧ 3)$ と表されるため、 $k$ が十分に小さいならばプロス数である^{[注 1]}。

発見された数	Prime/PRP	発見/報告された日付	桁数	出典	備考
10223·2^31172165+1	Prime	2016年10月31日	9,383,761	^{[PrimeGrid 1]}
202705·2^21320516+1	Prime	2021年11月25日	6,418,121	^{[PrimeGrid 2]}
81·2^20498148+1	Prime	2023年6月13日	6,170,560	^{[Primes 1]}
7·2^20267500+1	Prime	2022年7月21日	6,101,127	^{[Primes 2]}
168451·2^19375200+1	Prime	2017年9月17日	5,832,522	^{[PrimeGrid 3]}
69·2^19374980+1	Prime	2022年7月3日	5,832,452	^{[Primes 3]}
7·2^18233956+1	Prime	2020年10月1日	5,488,969	^{[Primes 4]}	$F 18233954$ の素因数
3·2^16408818+1	Prime	2020年10月25日	4,939,547	^{[PrimeGrid 4]}	第2種サービト数
99739·2^14019102+1	Prime	2019年12月24日	4,220,176	^{[PrimeGrid 5]}
19249·2^13018586+1	Prime	2007年3月26日^[9]	3,918,990	^{[Primes 5]}
193997·2^11452891+1	Prime	2018年4月3日	3,447,670	^{[PrimeGrid 6]}
3·2^10829346+1	Prime	2014年1月14日	3,259,959	^{[PrimeGrid 7]}	第2種サービト数
121·2^9584444+1	Prime	2020年11月18日	2,885,208	^{[PrimeGrid 8]}
27653 · 2^9167433+1	Prime	2005年6月8日^[9]	2,759,677	^{[Primes 6]}
27·2^8342438+1	Prime	2021年2月1日	2,511,326	^{[PrimeGrid 9]}
27·2^7963247+1	Prime	2021年1月14日	2,397,178	^{[PrimeGrid 10]}	$F 7963245$ の素因数
28433 · 2^7830457+1	Prime	2004年12月30日^[9]	2,357,207	^{[Primes 7]}
161041·2^7107964+1	Prime	2015年1月6日	2,139,716	^{[PrimeGrid 11]}
27·2^7046834+1	Prime	2018年10月11日	2,121,310	^{[PrimeGrid 12]}
3·2^7033641+1	Prime	2011年2月21日	2,117,338	^{[PrimeGrid 13]}	第2種サービト数
6679881·2^6679881+1	Prime	2009年7月25日	2,010,852	^{[PrimeGrid 14]}	カレン数
1582137·2^6328550+1	Prime	2009年4月20日	1,905,090	^{[PrimeGrid 15]}	カレン数
13·2^5523860+1	Prime	2020年1月22日	1,662,849	^{[PrimeGrid 16]}	$F 5523858$ の素因数
27·2^5213635+1	Prime	2015年3月9日	1,569,462	^{[PrimeGrid 17]}
3·2^5082306+1	Prime	2009年4月3日	1,529,928	^{[PrimeGrid 18]}	第2種サービト数
121·2^4553899+1	Prime	2012年2月25日	1,370,863	^{[PrimeGrid 19]}
193·2^3329782+1	Prime	2014年7月25日	1,002,367	^{[PrimeGrid 20]}	$F 3329780$ の素因数

サービト数

自然数 $n$ に対して $3\cdot2 n - 1$ の形で表される数を、イスラムの数学者サービト・イブン・クッラの名前を冠してサービト数と言う。サービト数および第2種サービト数 (上述) である素数を探索するプロジェクトとして、321 Prime Searchが存在する。

発見された数	Prime/PRP	発見された日付	桁数	出典
3·2^20928756－1	Prime	2023年7月5日	6,300,184	^{[PrimeGrid 21]}
3·2^18924988－1	Prime	2022年3月24日	5,696,990	^{[PrimeGrid 22]}
3·2^18196595－1	Prime	2022年1月8日	5,477,722	^{[PrimeGrid 23]}
3·2^17748034－1	Prime	2021年9月6日	5,342,692	^{[PrimeGrid 24]}
3·2^16819291－1	Prime	2021年1月20日	5,063,112	^{[PrimeGrid 25]}
3·2^11895718－1	Prime	2015年6月23日	3,580,969	^{[PrimeGrid 26]}
3·2^11731850－1	Prime	2015年3月13日	3,531,640	^{[PrimeGrid 27]}
3·2^11484018－1	Prime	2014年11月22日	3,457,035	^{[PrimeGrid 28]}

一般化フェルマー数

3以上の整数 $b$ に対して、 $GF b, n = b 2 n + 1$ で表される数を、 $b$ を底とする一般化フェルマー数と言う。

PrimeGridのGeneralized Fermat Prime Searchは、一般化フェルマー数のうち $n ≧ 15$ の範囲において素数を探索するプロジェクトである。2022年4月現在、Generalized Fermat Prime Searchは387個の一般化フェルマー素数であるメガ素数を発見している^{[注 2]}。

知られている一般化フェルマー素数 (抜粋)
発見された数	Prime/PRP	発見/報告された日付	桁数	出典
1963736^1048576+1	Prime	2022年9月24日	6,598,776	^{[Primes 8]}
1951734^1048576+1	Prime	2022年8月9日	6,595,985	^{[PrimeGrid 29]}
1059094^1048576+1	Prime	2018年10月31日	6,317,602	^{[PrimeGrid 30]}
919444^1048576+1	Prime	2017年8月29日	6,253,210	^{[PrimeGrid 31]}
4896418⁵²⁴²⁸⁸+1	Prime	2022年5月18日	3,507,424	^{[PrimeGrid 32]}
3638450⁵²⁴²⁸⁸+1	Prime	2020年5月29日	3,439,810	^{[PrimeGrid 33]}
9·2^11366286+1	Prime	2020年3月26日	3,421,594	^{[Primes 9]}
3214654⁵²⁴²⁸⁸+1	Prime	2019年12月24日	3,411,613	^{[PrimeGrid 34]}
2985036⁵²⁴²⁸⁸+1	Prime	2019年9月18日	3,394,739	^{[PrimeGrid 35]}
2877652⁵²⁴²⁸⁸+1	Prime	2019年1月29日	3,386,397	^{[PrimeGrid 36]}
2788032⁵²⁴²⁸⁸+1	Prime	2019年4月17日	3,379,193	^{[PrimeGrid 37]}
2733014⁵²⁴²⁸⁸+1	Prime	2019年3月18日	3,374,655	^{[PrimeGrid 38]}
2312092⁵²⁴²⁸⁸+1	Prime	2018年8月4日	3,336,572	^{[PrimeGrid 39]}
2061748⁵²⁴²⁸⁸+1	Prime	2018年3月20日	3,310,478	^{[PrimeGrid 40]}
1880370⁵²⁴²⁸⁸+1	Prime	2018年1月15日	3,289,511	^{[PrimeGrid 41]}

知られている一般化フェルマー数の素因数 (抜粋)
発見された数	Prime/PRP	発見/報告された日付	桁数	出典	備考
3·2^16408818+1	Prime	2020年10月25日	4,939,547	^{[PrimeGrid 4]}	第2種サービト数
9·2^13334487+1	Prime	2020年3月21日	4,014,082	^{[Primes 10]}
9·2^12406887+1	Prime	2020年3月29日	3,734,847	^{[Primes 11]}
9·2^11500843+1	Prime	2020年3月13日	3,462,100	^{[Primes 12]}
9·2^11158963+1	Prime	2020年3月13日	3,359,184	^{[Primes 13]}
3·2^10829346+1	Prime	2014年1月14日	3,259,959	^{[PrimeGrid 7]}	第2種サービト数
11·2^9381365+1	Prime	2020年3月7日	2,824,074	^{[Primes 14]}
17·2^8636199+1	Prime	2021年2月17日	2,599,757	^{[PrimeGrid 42]}
25·2^8456828+1	Prime	2021年1月27日	2,545,761	^{[PrimeGrid 43]}	一般化フェルマー数

一般化カレン数

整数 $b$ と $n +2 > b$ を満たす $n$ について、 $n \cdot b n + 1$ の形で表される数を一般化カレン数という^[14]。

発見された数	Prime/PRP	発見/報告された日付	桁数	出典
2525532·73^2525532+1	Prime	2021年8月28日	4,705,888	^{[PrimeGrid 44]}
404849·2^13764867+1	Prime	2021年3月10日	4,143,644	^{[Primes 15]}
2805222·5^5610444+1	Prime	2019年9月2日	3,921,539	^{[PrimeGrid 45]}
1806676·41^1806676+1	Prime	2018年3月11日	2,913,785	^{[PrimeGrid 46]}
1323365·116^1323365+1	Prime	2018年1月18日	2,732,038	^{[PrimeGrid 47]}
1341174·53^1341174+1	Prime	2017年8月21日	2,312,561	^{[PrimeGrid 48]}
682156·79⁶⁸²¹⁵⁶+1	Prime	2016年10月8日	1,294,484	^{[PrimeGrid 49]}
298989·2^3886857+1	Prime	2014年12月31日	1,170,067	^{[Primes 16]}

(一般化)ウッダル数

自然数 $n$ に対して $n \cdot2 n - 1$ の形で表される数をウッダル数という。一般化カレン数と同様に、整数 $b$ と $n +2 > b$ を満たす $n$ について、 $n \cdot b n - 1$ の形で表される数を一般化ウッダル数という^[15]。

発見された数	Prime/PRP	発見/報告された日付	桁数	出典
8508301·2^17016603－1	Prime	2018年3月22日	5,122,515	^{[Primes 17]}
396101·2^14259638－1	Prime	2024年2月3日	4,292,585	^{[Primes 18]}
2740879·2^13704395－1	Prime	2019年10月26日	4,125,441	^{[Primes 19]}
479216·3^8625889－1	Prime	2019年11月16日	4,115,601	^{[Primes 20]}
874208·54^1748416－1	Prime	2019年9月26日	3,028,951	^{[Primes 21]}
101806·15^1527091－1	Prime	2023年4月14日	1,796,004	^{[Primes 22]}
499238·10^1497714－1	Prime	2019年9月16日	1,497,720	^{[Primes 23]}
583854·14^1167708－1	Prime	2019年9月17日	1,338,349	^{[Primes 24]}
1993191·2^3986382－1	Prime	2015年5月1日	1,200,027	^{[Primes 25]}
938237·2^3752950－1	Prime	2007年12月26日	1,129,757	^{[Primes 26]}

ワグスタッフ素数

素数 $p$ に対して、 ${\textstyle {\frac {2^{p}+1}{3}}}$ の形で表される素数をワグスタッフ素数という。2022年4月現在で、ワグスタッフ素数の形である確率的素数は14個報告されており、うち4つが100万桁以上の確率的メガ素数である^[16]^{[注 3]}。

発見された数	Prime/PRP	報告された日付	桁数	出典
(2^15135397+1)/3	PRP	2021年6月28日^[18]	4,556,209	^[16]
(2^13372531+1)/3	PRP	2013年9月8日^[19]	4,025,533	^[16]
(2^13347311+1)/3	PRP	2013年9月8日^[19]	4,017,941	^[16]
(2^4031399+1)/3	PRP	2010年2月20日^[20]	1,213,572	^[16]

(一般化)unique素数

2および5でない素数 $p$ について、 $p$ の逆数の循環節の長さが他のものと一致しないとき、 $p$ を unique prime (あるいは unique period prime, 英語版) という^[21]。例えば3, 11, 37, 101がそのような素数の例である。また、一般の基数 $b$ に対して、同様の条件を満たす素数 $p$ を generalized unique prime という。

より明示的な定義は、円分多項式 $Φ n (x)$ に対して ${\frac {\Phi _{n}(b)}{\gcd(\Phi _{n}(b),n)}}$ が素数の冪で表されるとき、その素因数は基数 $b$ の generalized unique prime であるという^[22]。

発見された数	Prime/PRP	報告された日付	桁数	出典
$Φ 3 (-123447 219)$	Prime	2017年2月23日	5,338,805	^{[Primes 27]}
2^15317227+2^7658614+1	Prime	2020年7月31日	4,610,945	^{[Primes 28]}
$Φ 3 (-143332 393216)$	Prime	2017年1月30日	4,055,114	^{[Primes 29]}
$Φ 3 (-844833 262144)$	Prime	2017年1月17日	3,107,335	^{[Primes 30]}
$Φ 3 (-712012 262144)$	Prime	2017年1月14日	3,068,389	^{[Primes 31]}
$Φ 3 (-558640 196608)$	Prime	2017年1月11日	2,259,865	^{[Primes 32]}
$Φ 3 (-237804 196608)$	Prime	2017年1月6日	2,114,016	^{[Primes 33]}

その他

発見された数	Prime/PRP	報告された日付	桁数	出典	備考
R_8177207	PRP	2021年4月20日^[23]	8,177,207	^[24]	レピュニット
R_5794777	PRP	2021年4月20日^[23]	5,794,777	^[24]	レピュニット
69·2^18831865－1	Prime	2021年12月26日	5,668,959	^{[Primes 34]}
3622·5^7558139－1	Prime	2022年2月18日	5,282,917	^{[Primes 35]}
7·6^6772401+1	Prime	2019年9月9日	5,269,954	^{[Primes 36]}
69·2^15866556－1	Prime	2021年8月20日	4,776,312	^{[Primes 37]}
6·5^6546983－1	Prime	2020年6月13日	4,576,146	^{[Primes 38]}
69·2^14977631－1	Prime	2021年12月3日	4,508,719	^{[Primes 39]}
192971·2^14773948－1	Prime	2021年3月7日	4,447,272	^{[Primes 40]}
69·2^13832885－1	Prime	2022年1月7日	4,164,116	^{[Primes 41]}
2^13380298－27	PRP	2021年3月2日^[25]	4,027,872	^[3]
9221·2^11392194－1	Prime	2021年2月7日	3,429,397	^{[PrimeGrid 50]}
146561·2^11280802－1	Prime	2020年11月16日	3,395,865	^{[PrimeGrid 51]}
(2^10443557－1)/37289325994807	PRP	2020年7月9日	3,143,811	^[26]^{[GIMPS 15]}	$M 10443557$ の約数
273809·2^8932416－1	Prime	2017年12月13日	2,688,931	^{[PrimeGrid 52]}
(2^7313983－1)/305492080276193	PRP	2018年3月1日	2,201,714	^[26]^[27]	$M 7313983$ の約数
422429!+1	Prime	2022年2月21日	2,193,027	^{[Primes 42]}	階乗素数
502573·2^7181987－1	Prime	2014年10月4日	2,162,000	^{[PrimeGrid 53]}
402539·2^7173024－1	Prime	2014年10月2日	2,159,301	^{[PrimeGrid 54]}
(2^7080247－1)/156822217506727 /11283326312536321/9632940548330339593	PRP	2017年10月27日	2,131,318	^[26]^[28]	$M 7080247$ の約数
40597·2^6808509－1	Prime	2013年12月25日	2,049,571	^{[PrimeGrid 55]}
10^1888529－10⁹⁴⁴²⁶⁴－1	Prime	2021年10月18日	1,888,529	^{[Primes 43]}	回文素数
(2^5240707－1)/75392810903	PRP	2017年10月29日	1,577,600	^[26]^[29]	$M 5240707$ の約数
308084!+1	Prime	2022年1月20日	1,557,176	^{[Primes 44]}	階乗素数
(2^4834891－1)/1701881633/70659688575577	PRP	2017年9月20日	1,455,425	^[26]^[30]	$M 4834891$ の約数
288465!+1	Prime	2022年1月10日	1,449,771	^{[Primes 45]}	階乗素数
F_6530879	PRP	2022年8月	1,364,873	^[31]	フィボナッチ数
(2^4187251－1)/72234342371519	PRP	2017年10月31日	1,260,475	^[26]^[32]	$M 4187251$ の約数
10^1234567－20342924302·10⁶¹⁷²⁷⁸－1	Prime	2021年9月15日	1,234,567	^{[Primes 46]}	回文素数
10^1234567－3626840486263·10⁶¹⁷²⁷⁷－1	Prime	2021年9月29日	1,234,567	^{[Primes 47]}	回文素数
10^1234567－4708229228074·10⁶¹⁷²⁷⁷－1	Prime	2021年9月29日	1,234,567	^{[Primes 48]}	回文素数
L_5466311	PRP	2022年8月	1,142,392	^[33]	リュカ数
(2^3464473－1)/604874508299177	PRP	2017年10月31日	1,042,896	^[26]^[34]	$M 3464473$ の約数
208003!－1	Prime	2016年7月25日	1,015,843	^{[Primes 49]}	階乗素数
L_4819961	PRP	2022年7月	1,007,313	^[33]	リュカ数
10⁹⁹⁹⁹⁹⁹+593499	PRP	2013年1月	1,000,000	^[35]	最小の確率的メガ素数

注釈

^ プロス数でないフェルマー数の素因数は、例えば 6700417 ( $F 5$ の約数) や 274177 ( $F 6$ の約数) が挙げられる^[8]。
^ 指数が131072 (2¹⁷) であるものが320個^[10]、262144 (2¹⁸) であるものが52個^[11]、524288 (2¹⁹) であるものが13個^[12]、1048576 (2²⁰) であるものが2個^[13]存在する。
^ 2022年4月現在で知られている最大のワグスタッフ素数は28709桁の $(2 95369 +1)/3$ である^[17]。

外部リンク

The Top Twenty - 発見された素数の、種類別の上位20のリストと解説記事
Henri & Renaud Lifchitz's PRP Top Records - 確率的素数の報告およびランキング

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[23] プロス数でないフェルマー数の素因数は、例えば 6700417 ( $F 5$ の約数) や 274177 ( $F 6$ の約数) が挙げられる^[8]。

[64] 指数が131072 (2¹⁷) であるものが320個^[10]、262144 (2¹⁸) であるものが52個^[11]、524288 (2¹⁹) であるものが13個^[12]、1048576 (2²⁰) であるものが2個^[13]存在する。

[109] 2022年4月現在で知られている最大のワグスタッフ素数は28709桁の $(2 95369 +1)/3$ である^[17]。

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