階乗素数

階乗素数（かいじょうそすう、英: factorial prime）とは、階乗との差が $1$ である素数のことである。つまり、 $n! \pm 1$ （ $n$ は自然数）と表される素数のことである。

階乗素数は少ないことと、自然数の中でしばしば合成数が連続して存在することが説明できる。 $n! \pm k$ $(2 \leq k \leq n)$ は $2$ 以上の自然数 $k$ で割りきれるから、連続する $n - 1$ 個の合成数である。例えば、素数 $13! - 23 = 6227020777$ の次の素数は $13! + 67 = 6227020867$ であり、これらの間の89個の自然数はすべて合成数である。しかし、2つの素数の間の長いギャップはこの方法により得られるものがすべてではない。例えば、素数 $360653$ と $360749$ の間には95個の合成数が並んでいる。

2022年1月現在49個の階乗素数が知られており、その中で最大のものは $308084! + 1$ である。十進法表示したときの桁数は144万9771桁にも及ぶ。

$n! + 1$ 型の階乗素数

$n! + 1$ が素数となる $0$ 以上の整数 $n$ は、小さい順に次のようになる。

0, 1, 2, 3, 11, 27, 37, 41, 73, 77, 116, 154, 320, 340, 399, 427, 872, 1477, 6380, 26951, 110059, 150209, 288465, \dots

（オンライン整数列大辞典の数列 A2981）

このときの実際の素数はオンライン整数列大辞典の数列 A088332を参照。

$3! + 1 = 7$ であるが、 $n \geq 11$ 以降、急に大きくなる。
$11! + 1 = 39916801$

$27! + 1 = 10888869450418352160768000001$

$n! - 1$ 型の階乗素数

$n! - 1$ が素数となる $0$ 以上の整数 $n$ は、小さい順に次のようになる。

3, 4, 6, 7, 12, 14, 30, 32, 33, 38, 94, 166, 324, 379, 469, 546, 974, 1963, 3507, 3610, 6917, 21480, 34790, 94550, 103040, 147855, 208003, \dots

（A2982）

このときの実際の素数はオンライン整数列大辞典の数列 A055490を参照。

$7! - 1 = 5039$ であるが、 $n \geq 12$ 以降、急に大きくなる。
$12! - 1 = 479001599$

$14! - 1 = 87178291199$

その他

$n! \pm 1$ が共に素数となる自然数 $n$ は $3$ のみが知られているだけで、他にそのような自然数 $n$ は未だに発見されていない。
$n! + 1$ もしくは $n! - 1$ の素数も合成数も無数に存在するかはわかっていない。
$n! + 1$ に関してはウィルソンの定理より合成数が無数に存在することが素数の無限性より容易に示せる。

参考文献

リチャード・ガイ著 Unsolved Problems in Number Theory, 3rd ed., Springer, 2004 ISBN 978-0387208602
- （初版の訳）一松信訳『数論における未解決問題集』シュプリンガー・フェアラーク・東京、1994年 ISBN 978-4431705840
- （第三版の訳）金光滋訳『数論「未解決問題」の事典』朝倉書店、2010年 ISBN 978-4254111293

外部リンク

プロジェクト数学

ポータル数学

Weisstein, Eric W. "Factorial Prime". mathworld.wolfram.com (英語).
The Prime Pages, The Prime Glossary: factorial prime
- The Top Twenty: Factorial primes
PrimeGrid, Factorial Prime Search

表話編歴素数の分類
生成式	フェルマー ( $2 2 n + 1$ ) メルセンヌ ( $2 p - 1$ ) 二重メルセンヌ ( $2 2 p -1 - 1$ ) ワグスタッフ ( $(2 p + 1)/3$ ) プロス ( $k \cdot2 n + 1$ ) 階乗 ( $n! \pm 1$ ) 素数階乗 ( $p n # \pm 1$ ) ユークリッド ( $p n # + 1$ ) ピタゴラス ( $4 n + 1$ ) ピアポント ( $2 u \cdot3 v + 1$ ) Quartan（英語版） ( $x 4 + y 4$ ) ソリナス（英語版） ( $2 a \pm 2 b \pm 1$ ) カレン ( $n \cdot2 n + 1$ ) ウッダル ( $n \cdot2 n - 1$ ) Cuban（英語版） ( $(x 3 - y 3)/(x - y)$ ) キャロル ( $(2 n - 1) 2 - 2$ ) Kynea ( $(2 n + 1) 2 - 2$ ) レイランド ( $x y + y x$ ) サービト（英語版） ( $3\cdot2 n - 1$ ) ミルズ ( $[A] 3 n$ )
漸化式（英語版）	フィボナッチリュカペルニューマン–シャンクス–ウィリアムズペラン分割ベルモツキン
各種の性質	ヴィーフェリッヒ（英語版） (対（英語版）) ウォール–孫–孫（英語版）ウォルステンホルムウィルソン幸運フォーチュンラマヌジャン（英語版）ピライ正則強（英語版）スターン Supersingular (楕円曲線)（英語版） Supersingular (ムーンシャイン理論)（英語版）良いスーパーヒッグス（英語版）高度コトーティエント（英語版）
基数依存	ハッピー二面（英語版）回文エマープレピュニット ( $(10 n - 1)/9$ ) 置換可能 Circular（英語版）切り捨て可能 Strobogrammatic（英語版） Minimal（英語版）弱いフルサイクルプライム Unique（英語版） Primeval（英語版）自己スマランダチェ–ウェラン（英語版）
組	互いに素双子 ( $p, p + 2$ ) Bi-twin chain ( $n - 1, n + 1, 2 n - 1, 2 n + 1, \dots$ ) 三つ子 ( $p, p + 2$ or $p + 4, p + 6$ ) 四つ子 ( $p, p + 2, p + 6, p + 8$ ) k−Tuple いとこ ( $p, p + 4$ ) セクシー ( $p, p + 6$ ) 陳ソフィー・ジェルマン ( $p, 2 p + 1$ ) カニンガム鎖 ( $p, 2 p \pm 1, \dots$ ) 安全 ( $p, (p - 1)/2$ ) 算術数列（英語版） ( $p + an; n = 0, 1, \dots$ ) 平衡 ( $p - n, p, p + n$ )
桁数	タイタニック ( $103$ 桁以上) 巨大 ( $104$ 桁以上) メガ ( $106$ 桁以上)
複素数	アイゼンシュタイン素数（英語版）ガウス素数
合成数	擬素数概素数半素数楔数 Interprime（英語版）
関連する話題	確率的素数 Industrial-grade prime（英語版）違法素数素数の公式（英語版）素数の間隔『巨大な素数の一覧』
最初の50個	$2$ $3$ $5$ $7$ $11$ $13$ $17$ $19$ $23$ $29$ $31$ $37$ $41$ $43$ $47$ $53$ $59$ $61$ $67$ $71$ $73$ $79$ $83$ $89$ $97$ $101$ $103$ $107$ $109$ $113$ $127$ $131$ $137$ $139$ $149$ $151$ $157$ $163$ $167$ $173$ $179$ $181$ $191$ $193$ $197$ $199$ $211$ $223$ $227$ $229$
素数の一覧

n! + 1 型の階乗素数

n! − 1 型の階乗素数

その他

参考文献

関連項目

外部リンク

$n! + 1$ 型の階乗素数

$n! - 1$ 型の階乗素数