三つ子素数

三つ子素数（みつごそすう、prime triplet）もしくは三つ組素数とは、3個の素数の組で、 $(p, p + 2, p + 6)$ または $(p, p + 4, p + 6)$ のタイプのもののことである。

概要

なお、双子素数は「2つの素数の組 $(p, p + 2)$ 」と定義されるのに対し、3つの素数の組である三つ子素数を「 $(p, p + 2, p + 4)$ 」と定義していない。

この形は $(3, 5, 7)$ のみであるからと、 $p$ が5以上の素数の場合、「 $(p + 2, p + 4)$ 」のいずれかが必ず3の倍数になる^[1]からである。

三つ子素数を小さい順に並べると、次のようになる。

(5, 7, 11)

,

(7, 11, 13)

,

(11, 13, 17)

,

(13, 17, 19)

,

(17, 19, 23)

,

(37, 41, 43)

,

(41, 43, 47)

,

(67, 71, 73)

,

(97, 101, 103)

, …

三つ組の中で最小の素数のみを並べると、

5

,

7

,

11

,

13

,

17

,

37

,

41

,

67

,

97

,

101

,

103

,

107

,

191

,

193

,

223

,

227

,

277

,

307

,

311

,

347

,

457

,

461

,

613

,

641

,

821

,

823

,

853

,

857

,

877

,

881

,

1087

, …（オンライン整数列大辞典の数列 A7529）

である。このうち、 $(p, p + 2, p + 6)$ のタイプのものは

5

,

11

,

17

,

41

,

101

,

107

,

191

,

227

,

311

,

347

,

461

,

641

,

821

,

857

,

881

, … (A22004)

$(p, p + 4, p + 6)$ のタイプのものは

7

,

13

,

37

,

67

,

97

,

103

,

193

,

223

,

277

,

307

,

457

,

613

,

823

,

853

,

877

,

1087

, … (A22005)

となる。

予想

三つ子素数は無数に存在すると予想されている。ハーディとリトルウッドはより詳細な予想を立てており、それによると、 $x$ 未満の $(p, p + 2, p + 6)$ の形の三つ子素数、 $(p, p + 4, p + 6)$ の形の三つ子素数のそれぞれの個数はおよそ

{\frac {9}{2}}\prod _{p\geq 5}{\frac {p^{2}(p-3)}{(p-1)^{3}}}\int _{2}^{x}{\frac {dx}{(\log x)^{3}}}\approx 2.858248596\int _{2}^{x}{\frac {dx}{(\log x)^{3}}}

であるらしい。 $108$ 未満の三つ子素数の個数は、それぞれ 55,600 と 55,556 であり、上記推定値は 55,490 である^[2]。

知られている三つ子素数で最大の $p$ は、 $(p, p + 2, p + 6)$ の形では2019年4月に発見された20008桁の $4111286921397 \times 2 66420 - 1$ であり、 $(p, p + 4, p + 6)$ の形では2013年4月に発見された16737桁の $6521953289619 \times 2 55555 - 5$ である^[3]。

脚注

^ pが3で割って1余る数ならばp+2が3の倍数に、pが3で割って2余る数ならばp+4が3の倍数になる。
^ “The Prime Glossary: prime triple”. Prime Pages. 2019年5月24日閲覧。
^ “The Top Twenty: Triplet”. Prime Pages. 2019年5月24日閲覧。

参考文献

Chris K. Caldwell 著、SOJIN 訳『素数大百科』共立出版、2004年 ISBN 978-4320017597

外部リンク

Weisstein, Eric W. "Prime Triplet". mathworld.wolfram.com (英語).

[1] が3で割って1余る数ならばp+2が3の倍数に、pが3で割って2余る数ならばp+4が3の倍数になる。

[2] “The Prime Glossary: prime triple”. Prime Pages. 2019年5月24日閲覧。

[3] “The Top Twenty: Triplet”. Prime Pages. 2019年5月24日閲覧。

[1]

[2]

[3]

表話編歴素数の分類
生成式	フェルマー ( $2 2 n + 1$ ) メルセンヌ ( $2 p - 1$ ) 二重メルセンヌ ( $2 2 p -1 - 1$ ) ワグスタッフ ( $(2 p + 1)/3$ ) プロス ( $k \cdot2 n + 1$ ) 階乗 ( $n! \pm 1$ ) 素数階乗 ( $p n # \pm 1$ ) ユークリッド ( $p n # + 1$ ) ピタゴラス ( $4 n + 1$ ) ピアポント ( $2 u \cdot3 v + 1$ ) Quartan（英語版） ( $x 4 + y 4$ ) ソリナス（英語版） ( $2 a \pm 2 b \pm 1$ ) カレン ( $n \cdot2 n + 1$ ) ウッダル ( $n \cdot2 n - 1$ ) Cuban（英語版） ( $(x 3 - y 3)/(x - y)$ ) キャロル ( $(2 n - 1) 2 - 2$ ) Kynea ( $(2 n + 1) 2 - 2$ ) レイランド ( $x y + y x$ ) サービト（英語版） ( $3\cdot2 n - 1$ ) ミルズ ( $[A] 3 n$ )
漸化式（英語版）	フィボナッチリュカペルニューマン–シャンクス–ウィリアムズペラン分割ベルモツキン
各種の性質	ヴィーフェリッヒ（英語版） (対（英語版）) ウォール–孫–孫（英語版）ウォルステンホルムウィルソン幸運フォーチュンラマヌジャン（英語版）ピライ正則強（英語版）スターン Supersingular (楕円曲線)（英語版） Supersingular (ムーンシャイン理論)（英語版）良いスーパーヒッグス（英語版）高度コトーティエント（英語版）
基数依存	ハッピー二面体回文エマープレピュニット ( $(10 n - 1)/9$ ) 置換可能 Circular（英語版）切り捨て可能 Strobogrammatic（英語版） Minimal（英語版）弱いフルサイクルプライム Unique（英語版） Primeval（英語版）自己スマランダチェ–ウェラン（英語版）
組	互いに素双子 ( $p, p + 2$ ) Bi-twin chain ( $n - 1, n + 1, 2 n - 1, 2 n + 1, \dots$ ) 三つ子 ( $p, p + 2$ or $p + 4, p + 6$ ) 四つ子 ( $p, p + 2, p + 6, p + 8$ ) k−Tuple いとこ ( $p, p + 4$ ) セクシー ( $p, p + 6$ ) 陳ソフィー・ジェルマン ( $p, 2 p + 1$ ) カニンガム鎖 ( $p, 2 p \pm 1, \dots$ ) 安全 ( $p, (p - 1)/2$ ) 算術数列（英語版） ( $p + an; n = 0, 1, \dots$ ) 平衡 ( $p - n, p, p + n$ )
桁数	タイタニック ( $103$ 桁以上) 巨大 ( $104$ 桁以上) メガ ( $106$ 桁以上)
複素数	アイゼンシュタイン素数（英語版）ガウス素数
合成数	擬素数概素数半素数楔数 Interprime（英語版）
関連する話題	確率的素数 Industrial-grade prime（英語版）違法素数素数の公式（英語版）素数の間隔『巨大な素数の一覧』
最初の50個	$2$ $3$ $5$ $7$ $11$ $13$ $17$ $19$ $23$ $29$ $31$ $37$ $41$ $43$ $47$ $53$ $59$ $61$ $67$ $71$ $73$ $79$ $83$ $89$ $97$ $101$ $103$ $107$ $109$ $113$ $127$ $131$ $137$ $139$ $149$ $151$ $157$ $163$ $167$ $173$ $179$ $181$ $191$ $193$ $197$ $199$ $211$ $223$ $227$ $229$
素数の一覧

概要

予想

脚注

参考文献

関連項目

外部リンク