四つ子素数

四つ子素数（よつごそすう、英: prime quadruplet）とは、4個の素数の組で、 $(p, p + 2, p + 6, p + 8)$ のタイプのもののことをいう。ここで、 $(p, p + 2)$ および $(p + 6, p + 8)$ はいずれも双子素数であり、 $(p + 2, p + 6)$ はいとこ素数であり、 $(p, p + 6)$ および $(p + 2, p + 8)$ はいずれもセクシー素数であり、 $(p, p + 2, p + 6)$ および $(p + 2, p + 6, p + 8)$ はいずれも三つ子素数である。

四つ子素数を小さい順に並べると、

(5, 7, 11, 13), (11, 13, 17, 19), (101, 103, 107, 109), \dots

となる。最小のもの以外は、 $(30 n + 11, 30 n + 13, 30 n + 17, 30 n + 19)$ （ $n$ は $0$ 以上の整数）の形になる。したがって最小のものを除き、四つ子素数の一の位の数は小さい順に $(1, 3, 7, 9)$ となり、十の位以上の桁の数字は全て共通となる。

四つ子素数が無数に存在するのかどうかは2016年9月現在未解決である。

四つ子素数の逆数和は収束し、

\left({\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{11}}+{\frac {1}{13}}\right)+\left({\frac {1}{11}}+{\frac {1}{13}}+{\frac {1}{17}}+{\frac {1}{19}}\right)+\left({\frac {1}{101}}+{\frac {1}{103}}+{\frac {1}{107}}+{\frac {1}{109}}\right)+\cdots =0.8705883800\pm 5\times 10^{-10}

である。

2019年2月現在発見されている四つ子素数 $(p, p + 2, p + 6, p + 8)$ で最大の $p$ は、10132桁の $667674063382677 \times 2 33608 - 1$ である^[1]。

最初の38組の四つ子素数

  {5, 7, 11, 13},               {11, 13, 17, 19},             {101, 103, 107, 109}, 
  {191, 193, 197, 199},         {821, 823, 827, 829},         {1481, 1483, 1487, 1489},
  {1871, 1873, 1877, 1879},     {2081, 2083, 2087, 2089},     {3251, 3253, 3257, 3259},
  {3461, 3463, 3467, 3469},     {5651, 5653, 5657, 5659},     {9431, 9433, 9437, 9439},
  {13001, 13003, 13007, 13009}, {15641, 15643, 15647, 15649}, {15731, 15733, 15737, 15739},
  {16061, 16063, 16067, 16069}, {18041, 18043, 18047, 18049}, {18911, 18913, 18917, 18919},
  {19421, 19423, 19427, 19429}, {21011, 21013, 21017, 21019}, {22271, 22273, 22277, 22279},
  {25301, 25303, 25307, 25309}, {31721, 31723, 31727, 31729}, {34841, 34843, 34847, 34849},
  {43781, 43783, 43787, 43789}, {51341, 51343, 51347, 51349}, {55331, 55333, 55337, 55339},
  {62981, 62983, 62987, 62989}, {67211, 67213, 67217, 67219}, {69491, 69493, 69497, 69499},
  {72221, 72223, 72227, 72229}, {77261, 77263, 77267, 77269}, {79691, 79693, 79697, 79699},
  {81041, 81043, 81047, 81049}, {82721, 82723, 82727, 82729}, {88811, 88813, 88817, 88819},
  {97841, 97843, 97847, 97849}, {99131, 99133, 99137, 99139},...

最初の数はオンライン整数列大辞典の数列 A007530、2番目の数はオンライン整数列大辞典の数列 A136720、3番目の数はオンライン整数列大辞典の数列 A136721、4番目の数はオンライン整数列大辞典の数列 A090258を、中央の数はオンライン整数列大辞典の数列 A173037を参照。

五つ子素数、六つ子素数

四つ子素数 $(p, p + 2, p + 6, p + 8)$ について、 $p - 4$ または $p + 12$ がさらに素数であれば、それらを加えた5つ組を五つ子素数（いつつごそすう、prime quintuplet）という。特に $p - 4$ と $p + 12$ の両方が素数であれば、その6つ組を六つ子素数（むつごそすう、prime sextuplet）という。

五つ子素数、六つ子素数が無数に存在するかどうかはわかっていない。

五つ子素数の例

$p + 12$ 型^[2]

{5, 7, 11, 13, 17},  {11, 13, 17, 19, 23}, 　{101, 103, 107, 109, 113}, 
{1481, 1483, 1487, 1489, 1493},      {16061, 16063, 16067, 16069, 16073}, 
{19421, 19423, 19427, 19429, 19433}, {21011, 21013, 21017, 21019, 21023}, 
{22271, 22273, 22277, 22279, 22283}, {43781, 43783, 43787, 43789, 43793},...

$p - 4$ 型^[3]

{7, 11, 13, 17, 19}, {97, 101, 103, 107, 109}, {1867, 1871, 1873, 1877, 1879},
{3457, 3461, 3463, 3467, 3469},      {5647, 5651, 5653, 5657, 5659}, 
{15727, 15731, 15733, 15737, 15739}, {16057, 16061, 16063, 16067, 16069}, 
{19417, 19421, 19423, 19427, 19429}, {43777, 43781, 43783, 43787, 43789},...

六つ子素数の例

{7, 11, 13, 17, 19, 23}, {97, 101, 103, 107, 109, 113}, {16057, 16061, 16063, 16067, 16069, 16073},
{19417, 19421, 19423, 19427, 19429, 19433},             {43777, 43781, 43783, 43787, 43789, 43793},
{1091257, 1091261, 1091263, 1091267, 1091269, 1091273}, {1615837, 1615841, 1615843, 1615847, 1615849, 1615853},
{1954357, 1954361, 1954363, 1954367, 1954369, 1954373}, {2822707, 2822711, 2822713, 2822717, 2822719, 2822723},...

その他の形と「七つ子」以上

$p - 2$ および $p + 10$ は必ず 3 の倍数であるため、これらを含んだ「五つ子」は $(p - 2, p, p + 2, p + 6, p + 8)$ の形の $(3, 5, 7, 11, 13)$ しか存在しない。

また、 $p - 6$ , $p + 14$ はいずれも 5 の倍数になるため、双子素数3つからなる $(p, p + 2, p + 6, p + 8, p + 12, p + 14)$ の形の「六つ子」は、 $(5, 7, 11, 13, 17, 19)$ しか存在しない。

さらに $p - 8$ , $p + 16$ はいずれも 3 の倍数になるため、六つ子素数の両端±4の範囲には素数はない。 $(3, 5, 7, 11, 13, 17, 19)$ , $(5, 7, 11, 13, 17, 19, 23)$ の「七つ子」、 $(3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23)$ の「八つ子」を除いて、差が4以内で連なる七つ子以上の素数の組は存在しない。

脚注

^ “The Top Twenty: Quadruplet”. Prime Pages. 2019年5月24日閲覧。
^ OEIS A022006
^ OEIS A022007

外部リンク

Weisstein, Eric W. "Prime Quadruplet". mathworld.wolfram.com (英語).

[1] “The Top Twenty: Quadruplet”. Prime Pages. 2019年5月24日閲覧。

[2] OEIS A022006

[3] OEIS A022007

[1]

[2]

[3]

表話編歴素数の分類
生成式	フェルマー ( $2 2 n + 1$ ) メルセンヌ ( $2 p - 1$ ) 二重メルセンヌ ( $2 2 p -1 - 1$ ) ワグスタッフ ( $(2 p + 1)/3$ ) プロス ( $k \cdot2 n + 1$ ) 階乗 ( $n! \pm 1$ ) 素数階乗 ( $p n # \pm 1$ ) ユークリッド ( $p n # + 1$ ) ピタゴラス ( $4 n + 1$ ) ピアポント ( $2 u \cdot3 v + 1$ ) Quartan（英語版） ( $x 4 + y 4$ ) ソリナス（英語版） ( $2 a \pm 2 b \pm 1$ ) カレン ( $n \cdot2 n + 1$ ) ウッダル ( $n \cdot2 n - 1$ ) Cuban（英語版） ( $(x 3 - y 3)/(x - y)$ ) キャロル ( $(2 n - 1) 2 - 2$ ) Kynea ( $(2 n + 1) 2 - 2$ ) レイランド ( $x y + y x$ ) サービト（英語版） ( $3\cdot2 n - 1$ ) ミルズ ( $[A] 3 n$ )
漸化式（英語版）	フィボナッチリュカペルニューマン–シャンクス–ウィリアムズペラン分割ベルモツキン
各種の性質	ヴィーフェリッヒ（英語版） (対（英語版）) ウォール–孫–孫（英語版）ウォルステンホルムウィルソン幸運フォーチュンラマヌジャン（英語版）ピライ正則強（英語版）スターン Supersingular (楕円曲線)（英語版） Supersingular (ムーンシャイン理論)（英語版）良いスーパーヒッグス（英語版）高度コトーティエント（英語版）
基数依存	ハッピー二面体回文エマープレピュニット ( $(10 n - 1)/9$ ) 置換可能 Circular（英語版）切り捨て可能 Strobogrammatic（英語版） Minimal（英語版）弱いフルサイクルプライム Unique（英語版） Primeval（英語版）自己スマランダチェ–ウェラン（英語版）
組	互いに素双子 ( $p, p + 2$ ) Bi-twin chain ( $n - 1, n + 1, 2 n - 1, 2 n + 1, \dots$ ) 三つ子 ( $p, p + 2$ or $p + 4, p + 6$ ) 四つ子 ( $p, p + 2, p + 6, p + 8$ ) k−Tuple いとこ ( $p, p + 4$ ) セクシー ( $p, p + 6$ ) 陳ソフィー・ジェルマン ( $p, 2 p + 1$ ) カニンガム鎖 ( $p, 2 p \pm 1, \dots$ ) 安全 ( $p, (p - 1)/2$ ) 算術数列（英語版） ( $p + an; n = 0, 1, \dots$ ) 平衡 ( $p - n, p, p + n$ )
桁数	タイタニック ( $103$ 桁以上) 巨大 ( $104$ 桁以上) メガ ( $106$ 桁以上)
複素数	アイゼンシュタイン素数（英語版）ガウス素数
合成数	擬素数概素数半素数楔数 Interprime（英語版）
関連する話題	確率的素数 Industrial-grade prime（英語版）違法素数素数の公式（英語版）素数の間隔『巨大な素数の一覧』
最初の50個	$2$ $3$ $5$ $7$ $11$ $13$ $17$ $19$ $23$ $29$ $31$ $37$ $41$ $43$ $47$ $53$ $59$ $61$ $67$ $71$ $73$ $79$ $83$ $89$ $97$ $101$ $103$ $107$ $109$ $113$ $127$ $131$ $137$ $139$ $149$ $151$ $157$ $163$ $167$ $173$ $179$ $181$ $191$ $193$ $197$ $199$ $211$ $223$ $227$ $229$
素数の一覧