弱い素数

弱い素数（よわいそすう、英: delicate prime、weakly prime number）は素数であって、その数字のうちどの一つを他の数字に入れ替えても合成数になるものである^[1]。

例えば294001は素数であって、294001を構成する数字のうち一つを他の数字に入れ替えた54個の数（94001=23×61×67, 194001=3×64667, 394001=47×83×101, ...）は全て合成数である。従って294001は弱い素数である。

歴史

1978年、Murray S. Klamkinは、これらの数字が存在するかどうかという問題を提起した。ポール・エルデシュは、どの基数にも「弱い素数」が無数に存在することを証明した^[1]。

2007年、Jens Kruse Andersenは、1000桁の弱い素数 $(17\times 10^{1000}-17)/99+21686652$ を発見した^[2]。これは、2011年の時点で知られている最大の弱い素数である。

例

基数2から10の最小の弱い素数は次のとおり。

基数	基数	十進数
2	1111111₂	000127
3	0000002₃	000002
4	0011311₄	000373
5	0000313₅	000083
6	0334155₆	028151
7	0000436₇	000223
8	0014103₈	006211
9	0003738₉	002789
10	0294001₁₀	294001

十進法の弱い素数は、小さい順に 294001, 505447, 584141, 604171, 971767, … と続く^[3]。

最初の桁を0にしない弱い素数

最初の桁を0にしないという条件をつけると、弱い素数は次のようになる。294001, 505447, 584141, 604171, 929573, …^[4]

929573は最初の桁を0にしないという条件をつける弱い素数で最小の数である。929573の数字の最初の桁を0にした 029573 (29573) は素数で、それ以外は、929573の数字のうちどの一つを他の数字に入れ替えても合成数になる。このような素数は、小さい順に929573, 3070663, 5285767, 5974249, 7810223, … と続く (オンライン整数列大辞典の数列 A158125)。

極端に弱い素数

極端に弱い素数（きょくたんによわいそすう、英: extreme weakly prime number）は弱い素数であって、その数字のうちどの1つを取り除いても、どこに数を1つ挿入しても合成数になるものである^[5]。

例えば40144044691は弱い素数であって、その数字のうち1つを取り除いた数 0144044691 (144044691), 4144044691, 4044044691, 4014044691, 4014444691, 4014404691, 4014404491, 4014404461, 4014404469 と、その数字に数を1つ挿入した 140144044691, 401344044691, 401440447691, 401440446919 などの数^{[注 1]}が合成数になるので、40144044691は極端に弱い素数である。

極端に弱い素数は、小さい順に 40144044691, 58058453543, 89797181359, 185113489357, 213022025663, …^[6]となる。

双子素数の弱い素数

弱い素数である双子素数の組は、小さい順に (64067207819, 64067207821), (86132413439, 86132413441), (343051899689, 343051899691), (841323181889, 841323181891), (889872452759, 889872452761), … となる^[7]。

脚注

[脚注の使い方]

注釈

^ (0)40144044691 = 40144044691は除く。

出典

^ ^a ^b Nadis, Steve (30 March 2021). “Mathematicians Find a New Class of Digitally Delicate Primes”. Quanta Magazine. 2021年4月1日閲覧。
^ Carlos Rivera. “Puzzle 17 – Weakly Primes”. The Prime Puzzles & Problems Connection. 18 February 2011閲覧。
^ オンライン整数列大辞典の数列 A050249
^ オンライン整数列大辞典の数列 A158124
^ integers (1497497440). “40144044691：極端に弱い素数”. INTEGERS. 2021年12月30日閲覧。
^ オンライン整数列大辞典の数列 A199428より
^ オンライン整数列大辞典の数列 A185188

[6] (0)40144044691 = 40144044691は除く。

[:12-1] Nadis, Steve (30 March 2021). “Mathematicians Find a New Class of Digitally Delicate Primes”. Quanta Magazine. 2021年4月1日閲覧。

[2] Carlos Rivera. “Puzzle 17 – Weakly Primes”. The Prime Puzzles & Problems Connection. 18 February 2011閲覧。

[3] オンライン整数列大辞典の数列 A050249

[4] オンライン整数列大辞典の数列 A158124

[5] tegers (1497497440). “40144044691：極端に弱い素数”. INTEGERS. 2021年12月30日閲覧。

[7] オンライン整数列大辞典の数列 A199428より

[8] オンライン整数列大辞典の数列 A185188

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[注 1]

[6]

[7]

表話編歴素数の分類
生成式	フェルマー ( $2 2 n + 1$ ) メルセンヌ ( $2 p - 1$ ) 二重メルセンヌ ( $2 2 p -1 - 1$ ) ワグスタッフ ( $(2 p + 1)/3$ ) プロス ( $k \cdot2 n + 1$ ) 階乗 ( $n! \pm 1$ ) 素数階乗 ( $p n # \pm 1$ ) ユークリッド ( $p n # + 1$ ) ピタゴラス ( $4 n + 1$ ) ピアポント ( $2 u \cdot3 v + 1$ ) Quartan（英語版） ( $x 4 + y 4$ ) ソリナス（英語版） ( $2 a \pm 2 b \pm 1$ ) カレン ( $n \cdot2 n + 1$ ) ウッダル ( $n \cdot2 n - 1$ ) Cuban（英語版） ( $(x 3 - y 3)/(x - y)$ ) キャロル ( $(2 n - 1) 2 - 2$ ) Kynea ( $(2 n + 1) 2 - 2$ ) レイランド ( $x y + y x$ ) サービト（英語版） ( $3\cdot2 n - 1$ ) ミルズ ( $[A] 3 n$ )
漸化式（英語版）	フィボナッチリュカペルニューマン–シャンクス–ウィリアムズペラン分割ベルモツキン
各種の性質	ヴィーフェリッヒ（英語版） (対（英語版）) ウォール–孫–孫（英語版）ウォルステンホルムウィルソン幸運フォーチュンラマヌジャン（英語版）ピライ正則強（英語版）スターン Supersingular (楕円曲線)（英語版） Supersingular (ムーンシャイン理論)（英語版）良いスーパーヒッグス（英語版）高度コトーティエント（英語版）
基数依存	ハッピー二面（英語版）回文エマープレピュニット ( $(10 n - 1)/9$ ) 置換可能 Circular（英語版）切り捨て可能 Strobogrammatic（英語版） Minimal（英語版）弱いフルサイクルプライム Unique（英語版） Primeval（英語版）自己スマランダチェ–ウェラン（英語版）
組	互いに素双子 ( $p, p + 2$ ) Bi-twin chain ( $n - 1, n + 1, 2 n - 1, 2 n + 1, \dots$ ) 三つ子 ( $p, p + 2$ or $p + 4, p + 6$ ) 四つ子 ( $p, p + 2, p + 6, p + 8$ ) k−Tuple いとこ ( $p, p + 4$ ) セクシー ( $p, p + 6$ ) 陳ソフィー・ジェルマン ( $p, 2 p + 1$ ) カニンガム鎖 ( $p, 2 p \pm 1, \dots$ ) 安全 ( $p, (p - 1)/2$ ) 算術数列（英語版） ( $p + an; n = 0, 1, \dots$ ) 平衡 ( $p - n, p, p + n$ )
桁数	タイタニック ( $103$ 桁以上) 巨大 ( $104$ 桁以上) メガ ( $106$ 桁以上)
複素数	アイゼンシュタイン素数（英語版）ガウス素数
合成数	擬素数概素数半素数楔数 Interprime（英語版）
関連する話題	確率的素数 Industrial-grade prime（英語版）違法素数素数の公式（英語版）素数の間隔『巨大な素数の一覧』
最初の50個	$2$ $3$ $5$ $7$ $11$ $13$ $17$ $19$ $23$ $29$ $31$ $37$ $41$ $43$ $47$ $53$ $59$ $61$ $67$ $71$ $73$ $79$ $83$ $89$ $97$ $101$ $103$ $107$ $109$ $113$ $127$ $131$ $137$ $139$ $149$ $151$ $157$ $163$ $167$ $173$ $179$ $181$ $191$ $193$ $197$ $199$ $211$ $223$ $227$ $229$
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