リュカ三次曲線

リュカ三次曲線（リュカさんじきょくせん、英: Lucas Cubic）は、曲線上の点とその等長共役点が、Encyclopedia of Triangle CentersでX(69)に登録されている点と共線であるような三次曲線である^[1]^[2]。

後述する定義を提案したエドゥアール・リュカに因んで命名された^[2]^[3]。Catalogue of Triangle CubicsではK007に登録されている^[4]。

座標

重心座標とコンウェイの記法を用いて、次の式で表せる。

S_{A}x(y^{2}-z^{2})+S_{B}y(z^{2}-x^{2})+S_{C}z(x^{2}-y^{2})=0.

X(69)は逆補三角形の類似重心である^[5]。垂心の等長共役点で、GK線^[6]（重心と類似重心を結ぶ直線）、ジェルゴンヌ点とナーゲル点を通る直線などの交点である。

重心座標では次の式で与えられる。

${\Bigl (}b^{2}+c^{2}-a^{2}:c^{2}+a^{2}-b^{2}:a^{2}+b^{2}-c^{2}{\Bigr )}$

リュカ三次曲線の定義には以下の様なものが知られる^[4]。

曲線上の点とその等長共役点がX(69)を通るような曲線。
チェバ三角形が垂足三角形であるような点の軌跡。その垂足三角形と基準三角形の対垂の中心はダルブー三次曲線（オランダ語版）を描く。ダルブ―三次曲線をリュカ三次曲線と言う場合もある^[1]。
17点3次曲線の逆補。
チェバ円共役点がド・ロンシャン点と共線であるような軌跡（つまりチェバ円共役によって不変）。

^ ^a ^b サーモン著、小倉金之助訳『解析幾何学 : 円錐曲線』山海堂、1914年、732頁。doi:10.11501/952208。
^ ^a ^b Weisstein, Eric W.. “Lucas Cubic” (英語). MathWorld. 2024年8月8日閲覧。
^ “Questions” (フランス語). Nouvelles Annales de Mathématiques : journal des candidats aux écoles polytechnique et normale 15: 240–240. (1876). ISSN 2400-4782.
^ ^a ^b “K007”. Catalogue of Triangle Cubics. 2024年8月8日閲覧。
^ “ENCYCLOPEDIA OF TRIANGLE CENTERS　X(69) = SYMMEDIAN POINT OF THE ANTICOMPLEMENTARY TRIANGLE”. faculty.evansville.edu. 2024年8月8日閲覧。
^ “CENTRAL LINES”. faculty.evansville.edu. 2024年8月8日閲覧。