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レプリケーターダイナミクス

進化ゲーム理論におけるレプリケーターダイナミクス (英: replicator dynamics, RD) とは、レプリケーター方程式 (英: replicator equations) と呼ばれる差分方程式または微分方程式の系を用いて、プレイヤー集団における戦略の頻度の長期的変動を表現する力学系モデルである。1978年にESSの動学的な安定性を評価するためにピーター・テイラーとレオ・ジョンカーによって導入され^[1]^[2]、1983年にピーター・シュスターとカール・シグムンドにより「レプリケーターダイナミクス」の名が付けられた^[1]^[3]。

導入の背景

1973年にジョン・メイナード＝スミスとジョージ・プライスは、成功した戦略がより高い複製率を得る、つまり、後のゲームにより参加しやすくなるような対称ゲームを考えると戦略混合はある意味で最適または安定な状態に進化することを明らかにし、その状態を説明するために進化的に安定な戦略を導入した^[4]が、このような安定状態に関する動的な概念として生み出されたのがRDである。

定義

純粋戦略主体の離散時間RD

2人対称戦略型ゲームをプレイし、その結果によって無性生殖を行い死亡する主体による集団を考える。プレイされるゲーム $G$ とその混合拡張について以下の記号を用いる。

純粋戦略集合 $S$ 。集団の各主体はある一つの純粋戦略を採用し、子は親と同じ純粋戦略を採る。以下、特に断りの無い限りにおいて、単に「戦略」という場合には純粋戦略を指す。
純粋利得関数 $π : S 2 \to ℝ$ 。 $π (i, j)$ は戦略 $i$ を採る主体が戦略 $j$ を採る主体とゲームをプレイして得る適応度 (次世代で繁殖を行う子の数) の増分を表す。
戦略混合単体 $Δ = {x = (x i) i \in S \in ℝ S | \sum i \in S x i = 1 \land \forall i \in S [x i \geq 0]}$ 。 $S$ 上の確率分布ベクトルの全体であり、純粋戦略 $i \in S$ を確率1で採る戦略混合は $e i$ で表す。戦略混合単体は通常のRDでは集団の状態空間を表す^{[注釈 1]}。また、すべての純粋戦略に正の確率が割り当てられている状態を完全混合と呼ぶ。
混合利得関数 $u : ℝ S \to ℝ$ 。 $Δ 2$ 上で定義される期待利得の関数 $(x, y) \mapsto \sum (i, j)\in S 2 x i y j π (i, j)$ を、各プレイヤーの混合戦略に対する双線形関数となるように定義域を $ℝ S$ に拡張したものである。

この集団の世代 $t \in ℕ$ における繁殖する個体の総数を $p (t) > 0$ で表す。また、各戦略 $i \in S$ をとる個体数を $p i (t) \geq 0$ で表す。ここで、状態ベクトル (state vector) を $x (t) = (x i (t)) i \in S = (p i (t) / p (t)) i \in S$ によって定義する。これは集団中の各戦略の頻度を表すものであり、また $x (t) \in Δ$ が常に成り立つ。また、 $x i (t))$ を戦略 $i$ の頻度、またはシェアという。

この集団のゲームによらない基礎出生率 (background birthrate) を $β \geq 0$ とすると、集団のサイズが十分大きいときには世代 $t + 1$ の個体数について以下の2本の式が得られる。

p_{i}(t+1)=\left[\beta +\sum _{j\in S}x_{j}(t)\pi (i,\,j)\right]p_{i}(t)=[\beta +u(e^{i},\,x(t))]p_{i}(t).

p(t+1)=\sum _{i\in S}p_{i}(t+1)=\sum _{i\in S}[\beta +u(e^{i},\,x(t))]x_{i}(t)p(t)=[\beta +u(x(t),\,x(t))]p(t).

これらを用いると、以下の離散時間RD (discrete time replicator dynamics) が得られる^[6]。

x_{i}(t+1)={\frac {p_{i}(t+1)}{p(t+1)}}={\frac {\beta +u(e^{i},\,x(t))}{\beta +u(x(t),\,x(t))}}x_{i}(t).

純粋戦略主体の世代重複RD

離散時間RDでは各世代において全ての個体がいっせいに繁殖する。そのかわりに、単位時間あたり等間隔に $r$ 回、その時点での集団のうち $.mw-parser-output .frac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .frac .num,.mw-parser-output .frac .den{font-size:80%;line-height:0;vertical-align:super}.mw-parser-output .frac .den{vertical-align:sub}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}1⁄r$ が繁殖するモデルを考える。繁殖間隔を $τ = 1 ⁄ r$ で表すと、以下の2本の式が得られる。

p_{i}(t+\tau )=(1-1/r)p_{i}(t)+(1/r)[\beta +u(e^{i},\,x(t))]p_{i}(t)=[1-\tau +\tau [\beta +u(e^{i},\,x(t))]]p_{i}(t).

p(t+\tau )=\sum _{i\in S}p_{i}(t+\tau )=\sum _{i\in S}[1-\tau +\tau [\beta +u(e^{i},\,x(t))]]p_{i}(t)=[1-\tau +\tau [\beta +u(x(t),\,x(t))]]p(t).

したがって、以下の階数 $r$ の世代重複RD (overlapping-generations replicator dynamics of order $r$ ) を得る^[7]。

x_{i}(t+\tau )={\frac {1-\tau +\tau [\beta +u(e^{i},\,x(t))]}{1-\tau +\tau [\beta +u(x(t),\,x(t))]}}x_{i}(t).

純粋戦略主体の連続時間RD

世代重複RDの階数 $r$ を限りなく大きくした場合、繁殖は連続時間で行われるようになる。ダイナミクスの差分商は

{\frac {x_{i}(t+\tau )-x_{i}(t)}{\tau }}={\frac {u(e^{i},\,x(t))-u(x(t),\,x(t))}{1-\tau +\tau [\beta +u(x(t),\,x(t))]}}x_{i}(t).

であるから、 $r \to \infty$ 、つまり $τ = 1 ⁄ r \to 0$ のとき、以下の連続時間RD (continuous time replicator dynamics) を得る^[8]。

{\frac {d}{dt}}x_{i}(t)=\lim _{\tau \to 0}{\frac {x_{i}(t+\tau )-x_{i}(t)}{\tau }}=[u(e^{i},\,x(t))-u(x(t),\,x(t))]x_{i}(t)=u[e^{i}-x(t),\,x(t)]x_{i}(t).

この微分方程式系は時刻 $t$ に依存しない自励系なので、通常は以下のように $t$ を省略し、微分をドット符号で表す^[9]。

{\dot {x}}_{i}=u[e^{i}-x,\,x]x_{i}.

→「ニュートンの記法」も参照

性質

連続時間RDについて成り立つ性質のうち、主なものを以下に挙げる。

解の存在と一意性、連続性、不変性: ゲームを所与とすれば右辺はリプシッツ連続であり、任意の初期状態に対して解が一意に存在する(ピカール＝リンデレーフの定理)。また、その解は初期状態について連続であり、どの初期状態についての解も $Δ$ に留まる^[10]。

支配関係とRDの極限

ここでの「支配」は混合拡張ゲームの意味で用いられていることに注意されたい。

反復的に強支配される戦略

i

について、すべての完全混合初期状態で

x i \to 0 (t \to \infty)

が成り立つ^[11]。

弱支配される戦略

i

のシェアが

t \to \infty

のもとで0に収束しないのであれば、

i

を支配する戦略混合において

i

よりも高い期待利得を得る戦略はすべての完全混合初期状態でそのシェアが

t \to \infty

のもとで0に収束する。^[12]。

対称ナッシュ均衡: 対称ナッシュ均衡をなす戦略混合は集団状態として定常である。また、完全混合の範囲では対称ナッシュ均衡をなす戦略混合であることと定常状態であることは同値である(完全混合でない場合、例えば、すべての戦略 $i$ について状態 $e i$ は定常である)^[13]。; リアプノフ安定状態はすべて対称ナッシュ均衡をなす戦略混合である。^[14]; 完全混合初期状態について前方解軌道が $t \to \infty$ のもとで収束するならば、その極限状態は必ず対称ナッシュ均衡をなす戦略混合である^[15]。

進化的に安定な戦略 (ESS) と中立的に安定な戦略 (NSS): ESSは集団状態として漸近安定である。特に、完全混合ESSが存在すればそれが(唯一のESSであり^{[注釈 2]})すべての完全混合初期状態について極限状態となる^[17]。; NSSは集団状態としてリアプノフ安定である^[18]。

他の方程式系との関係

一般化ロトカ・ヴォルテラ方程式（英語版）

プライス方程式（英語版）

複数集団への拡張

正則選択ダイナミクス

脚注

注釈

^ 有限個の混合戦略をレプリケーターとするモデルも存在する^[5]。
^ あるESSの台(正の確率を割り当てる戦略の集合)が別のESSの台と包含関係になることは無い^[16]。完全混合であれば台は純粋戦略集合である。

出典

^ ^a ^b ウェイブル 1998, p. 90.
^ Taylor & Jonker 1978.
^ Schuster & Sigmund 1983.
^ Taylor & Jonker 1978, p. 145.
^ ウェイブル 1998, pp. 89, 131–132.
^ ウェイブル 1998, pp. 155–156.
^ ウェイブル 1998, pp. 157–158.
^ ウェイブル 1998, p. 158.
^ ウェイブル 1998, p. 93.
^ ウェイブル 1998, p. 95.
^ ウェイブル 1998, pp. 103–105.
^ ウェイブル 1998, pp. 106–108.
^ ウェイブル 1998, pp. 109–111.
^ ウェイブル 1998, pp. 112–113.
^ ウェイブル 1998, pp. 114–115.
^ ウェイブル 1998, p. 52.
^ ウェイブル 1998, pp. 127–128.
^ ウェイブル 1998, p. 132.

文献目録

日本語 (邦訳含む)

ウェイブル, ヨルゲン W.『進化ゲームの理論』大和瀬達二監訳、三澤哲也/赤尾健一/大阿久博/横尾昌紀訳、オフィスカノウチ、1998年3月31日（原著1995年）。ISBN 4-8301-0820-7。
石原, 英樹、金井, 雅之『シリーズ〈意思決定の科学〉5　進化的意思決定』朝倉書店、2002年4月5日。ISBN 4-254-29515-4。

外国語

Schuster, Peter; Sigmund, Karl (1983). “Replicator dynamics”. Journal of Theoretical Biology 100 (3): 533–538. doi:10.1016/0022-5193(83)90445-9.
Taylor, Peter D.; Jonker, Leo B. (1978). “Evolutionary stable strategies and game dynamics”. Mathematical Biosciences 40 (1–2): 145–156. doi:10.1016/0025-5564(78)90077-9.

表話編歴ゲーム理論
定義	非協力ゲーム協力ゲーム標準型ゲーム展開型ゲームベイジアンゲーム簡潔ゲーム（英語版）情報集合信念の階層選好進化ゲームハイパーゲーム（英語版）行動ゲーム
解概念と精緻化	ナッシュ均衡部分ゲーム完全均衡 Mertens-stable equilibrium（英語版）ベイジアン・ナッシュ均衡完全ベイズ均衡摂動完全均衡プロパー均衡 ε均衡相関均衡（英語版、ドイツ語版）逐次均衡準完全均衡進化的安定戦略リスク支配コアシャープレイ値パレート効率性質的応答均衡自己確証均衡強ナッシュ均衡（英語版、ヘブライ語版）マルコフ完全均衡（英語版）戦略的補完性合理化可能性直観的基準
戦略	支配戦略混合戦略（英語版）しっぺ返し戦略トリガー戦略共謀（英語版）後ろ向き帰納法前向き帰納法マルコフ戦略（英語版）主人と奴隷
ゲームのクラス	対称ゲーム（英語版）完全情報完全情報ゲーム完備情報不完備情報ゲーム確実情報同時手番ゲーム逐次手番ゲーム（英語版）繰り返しゲームシグナリングゲームチープトークゼロ和非ゼロ和メカニズムデザイン交渉問題（英語版）確率ゲーム（英語版）大ポアソンゲーム（英語版）非推移的ゲームグローバルゲーム（英語版）特性関数型ゲーム二人零和有限確定完全情報ゲーム
ゲーム	囚人のジレンマ旅人のジレンマ（英語版）協調ゲーム（英語版）チキンゲームムカデゲーム（英語版）ボランティアのジレンマ（英語版）ドル・オークション（英語版）男女の争い（英語版）スタグハントゲームマッチングペニー（英語版）最後通牒ゲームじゃんけん海賊ゲーム（英語版）独裁者ゲーム（英語版）公共財ゲーム（英語版） Blotto games（英語版）消耗戦（英語版）エルファロル・バー問題公平分割行き詰まり（英語版）割り勘のジレンマ Guess 2/3 of the average（英語版）クーン・ポーカー交渉問題（英語版）スクリーニングゲーム（英語版）囚人と帽子のパズル（英語版） Trust game（英語版） Princess and monster game（英語版）モンティ・ホール問題クールノー競争ベルトラン競争シュタッケルベルグ競争
定理	ミニマックス法ナッシュの定理純化定理フォーク定理顕示原理（英語版）アローの不可能性定理
主要人物	ケネス・アローロバート・オーマンケン・ビンモアサミュエル・ボールズメルヴィン・ドレッシャー（英語版）メリル・フラッド（英語版）ドリュー・フューデンバーグ（英語版）ドナルド・ギリースジョン・ハーサニレオニード・ハーヴィッツデイヴィッド・レヴァイン（英語版）ダニエル・カーネマンハロルド・クーンエリック・マスキンジャン＝フランソワ・メルタン（英語版）ポール・ミルグロムオスカー・モルゲンシュテルンロジャー・マイヤーソンジョン・ナッシュジョン・フォン・ノイマンアリエル・ルービンシュタイントーマス・シェリングラインハルト・ゼルテンハーバート・サイモンロイド・シャープレージョン・メイナード＝スミスジャン・ティロールアルバート・タッカーウィリアム・ヴィックリーロバート・ウィルソンペイトン・ヤング（英語版）
関連項目	コモンズの悲劇 Tyranny of small decisions（英語版） All-pay auction（英語版）ゲーム理論におけるゲームの一覧（英語版） Confrontation analysis（英語版）ゲーム理論家の一覧（英語版）数学経済学進化論集団遺伝学オペレーションズリサーチ社会生物学環境社会学クープマンモデル
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