微分方程式

解析学において、微分方程式（びぶんほうていしき、（英: differential equation）とは、未知関数とその導関数の関係式として書かれている関数方程式である^[1]。

数学の応用分野においてしばしば、異なる2つの変数の関係を調べることが行われる。2変数を対応付ける関数があらわになっていなくても、その導関数（の満たすべき方程式）を適当な仮定の下で定めることができ、そこから目的とする関数を探し出すことができる。

物理法則を記述する基礎方程式は、多くが時間微分、空間微分を含む微分方程式であり、物理学からの要請もあり微分方程式の解法には多くの関心が注がれてきた。

方程式論は解析学の中心的な分野で、フーリエ変換、ラプラス変換等は元々、微分方程式を解くために開発された手法である。また物理学における微分方程式の主要な問題は境界値問題、固有値問題である^[1]。

微分方程式は大きく線型微分方程式と非線型微分方程式に分類される。線形微分方程式の例として、例えばシュレーディンガー方程式が挙げられる。シュレーディンガー方程式は、量子系の状態の時間発展を記述する方法の一つとして広く用いられている。非線型微分方程式の例として、例えばナビエ–ストークス方程式（NS方程式）が挙げられる。NS方程式は流体の運動を記述する基本方程式であり、物理学の応用としても重要な方程式である。しかし、NS方程式の解の存在性は未解決問題でありミレニアム懸賞問題にも選ばれている。

→その他、有名な微分方程式についてはCategory:微分方程式を参照

概要

微分方程式は方程式に含まれる導関数の階数^{[注釈 1]}によって分類され、最も高い階数が $n$ 次である場合、その微分方程式を $n$ 階微分方程式^{[注釈 2]}と呼ぶ^[1]。

いずれの場合も未知関数は一つとは限らず、また、連立する複数の微分方程式を同時に満たす関数を解とするような連立方程式の形を取る場合もある^[1]。これは連立 $n$ 階微分方程式などと呼ばれる。

常微分方程式と偏微分方程式

→詳細は「常微分方程式」および「偏微分方程式」を参照

一変数関数の導関数の関係式で書かれる常微分方程式と多変数関数の偏導関数を含む関係式で書かれる偏微分方程式に分かれる^[1]。

常微分方程式とは例えば、

{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\!f(x)-f(x)=0

や、

{\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} x^{2}}}\!f(x)-2{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\!f(x)+f(x)=\sin(x)

のような方程式である。

また、偏微分方程式は、

\left(x{\frac {\partial }{\partial y}}-y{\frac {\partial }{\partial x}}\right)f(x,y)=0

や、

\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}\right)f(x,y)=\alpha x+\beta y

のような格好をした方程式である。

代数的微分方程式

未知関数とその導関数の関係式が、未知関数や導関数を変数と見たときに解析関数を係数とする多項式である場合、代数的微分方程式と呼ばれる。

線形微分方程式

→詳細は「線型微分方程式」を参照

方程式が未知関数の一次式として書けるような方程式を線形微分方程式と呼ぶ。また、線型でない微分方程式は非線形微分方程式^{[注釈 3]}と呼ばれる。例えば、 $g (x)$ を $f (x)$ を含まない既知の関数とすれば、

\left({\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}+\alpha \right)f(x)=g(x)

は線型微分方程式であり、

\left({\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}f(x){\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\right)f(x)=g(x)

は非線型微分方程式である。線型と呼ばれる理由は後述する線型斉次な方程式について、解の線型結合がその方程式の一般解をなすためである。

未知関数が 1 つの場合、高階の線型微分方程式を一階線型微分方程式の形に書き直すことができる。たとえば、 ${g k}$ を既知関数の組として、以下の線型微分方程式が与えられたとき、

\left(\sum _{k=0}^{n}g_{k+1}(x){\frac {\mathrm {d} ^{k}}{{\mathrm {d} x}^{k}}}\right)f(x)=g_{0}(x),\quad g_{n+1}(x)=1

未知関数 $f (x)$ の $k$ 階の導関数を $y k (x)$ として ( $k = 0,..., n - 1$ )、以下の一組の微分方程式を得る。

{\begin{cases}\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}y_{k-1}(x)=y_{k}(x),\quad k=1,\dots ,n-1\\\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}y_{n-1}(x)=g_{0}(x)-\sum _{k=0}^{n-1}g_{k+1}(x)y_{k}(x)\end{cases}}

この微分方程式は、より一般的に、ベクトルと行列の記法を用いて

{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\mathbf {y} (x)=A(x)\mathbf {y} (x)+\mathbf {b} (x)

と書くことができる。ここで $y$ は未知関数 $y 0,..., y n -1$ を成分に持つベクトル、 $A$ は既知関数 ${a ij} i,j =0,..., n -1$ を成分に持つ $n \times n$ の行列、 $b$ は既知関数 $b 0,..., b n -1$ を成分に持つベクトルである。

斉次方程式と非斉次方程式

すべての項が未知関数を含むか $0$ であるような線型微分方程式を線型斉次微分方程式^{[注釈 4]}と呼び、斉次でない線形微分方程式は線型非斉次微分方程式^{[注釈 5]}と呼ばれる。同じ意味の言葉として斉次方程式をしばしば同次方程式と呼ぶことがある。例えば、

{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\!f(x)+f(x)=0

は斉次な方程式であり、右辺に $α$ を加えた、

{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\!f(x)+f(x)=\alpha

は非斉次な方程式である。

より一般の線形常微分方程式について、

\left(\sum _{k=0}^{n}g_{k+1}(x){\frac {\mathrm {d} ^{k}}{{\mathrm {d} x}^{k}}}\right)f(x)=g_{0}(x),\quad g_{n+1}(x)=1

右辺の関数 $g 0 (x)$ がゼロならこの方程式は斉次である。斉次方程式の特徴として、方程式の解 $s (x)$ が得られたとき、その定数倍 $cs (x)$ も方程式の解となる。また、斉次方程式の解の線形結合もその斉次方程式の解になる。

また、非斉次な方程式の解 $s in (x)$ が得られたとき、元の方程式を斉次な形にしたときの解 $s hom (x)$ を用いて、非斉次方程式の新たな解 $s in (x) + s hom (x)$ を作ることができる。実際、

\left(\sum _{k=0}^{n}g_{k+1}(x){\frac {\mathrm {d} ^{k}}{\mathrm {d} x^{k}}}\right)\left(s_{\mathrm {in} }(x)+s_{\mathrm {hom} }(x)\right)=g_{0}(x)

としたとき、 $s in (x), s hom (x)$ はそれぞれ

{\begin{aligned}\left(\sum _{k=0}^{n}g_{k+1}(x){\frac {\mathrm {d} ^{k}}{{\mathrm {d} x}^{k}}}\right)s_{\mathrm {hom} }(x)&=0\\\left(\sum _{k=0}^{n}g_{k+1}(x){\frac {\mathrm {d} ^{k}}{{\mathrm {d} x}^{k}}}\right)s_{\mathrm {in} }(x)&=g_{0}(x)\end{aligned}}

を満たすので、 $s in (x) + s hom (x)$ は元の方程式の解になっている。

確率微分方程式

→詳細は「確率微分方程式」を参照

方程式に含まれる既知関数が確率変数によって記述されるような微分方程式を確率微分方程式^{[注釈 6]}と呼ぶ。確率常微分方程式や確率偏微分方程式はしばしば英語の頭文字を取って“SODE”, “SPDE”と略記される。代表的な例は物理学におけるランジュバン方程式や金融工学におけるブラック-ショールズ方程式がある。確率微分方程式の既知関数は、自身の期待値や相関関数によって特徴付けられる。

解法

微分方程式に限らず一般の方程式は必ずしも厳密解が得られるとは限らない。従って多く場合は摂動などの手法を用いて近似的な評価を与えるか、ルンゲ＝クッタ法やSOR法、有限要素法のような数値解法によって具体的な解を得ることになる。しかしながらいくつかの基本的な微分方程式については、厳密解が得られたり、形式的に解を書き表せる。

微分方程式の具体的な解法としては代表的なものに、斉次方程式の解を利用して解く定数変化法、グリーン関数を用いた解法、差分方程式を用いた解法、ラプラス変換や逆ラプラス変換を用いた解法などが知られている。

指数関数と微分方程式

一階の線型斉次常微分方程式の中で最も基本的な方程式として次のものがある。

${\frac {\mathrm {d} y(x)}{\mathrm {d} x}}=y(x).$

一般の線形微分方程式を解く際も、まずこの種の斉次微分方程式に帰着させるため、この方程式は微分方程式の解法を調べる上で基本的な役割を果たす。この方程式の解はよく知られているように指数関数となる^{[注釈 7]}。

$y(x)=C\mathrm {e} ^{x}.$

ここで $C$ は任意定数である。解法は脚注にて紹介する^{[注釈 10]}。

指数関数の有用な性質として、微分作用素を別の定数や関数に置き換えられることが挙げられる。係数が定数の斉次方程式

\left(\sum _{k=0}^{n}c_{k+1}{\frac {\mathrm {d} ^{k}}{{\mathrm {d} x}^{k}}}\right)f(x)=0,\quad c_{n+1}=1

の解として指数関数で書けるものを探すと、 $f (x) = C exp(λx)$ と置き換えて、

\sum _{k=0}^{n}c_{k+1}\lambda ^{k}=0

と書くことができる^{[注釈 11]}。これは $λ$ に対する $n$ 次の代数方程式になっている。重根がなければ方程式の解が $n$ 個求まることになり、斉次方程式の一般解はそれらの線型結合として表される。

この形の方程式の一般解を求める方法としては定数変化法がある^{[注釈 12]}。

一階線型常微分方程式

一つの未知関数に対する、一般の一階線型常微分方程式は、既知関数を $P (x)$ 、 $Q (x)$ として、次のように書かれる。

${\frac {\mathrm {d} y(x)}{\mathrm {d} x}}+P(x)y(x)=Q(x).$

この一階線型常微分方程式は、一般解が求積法で解ける。まず、斉次方程式

${\frac {\mathrm {d} y(x)}{\mathrm {d} x}}+P(x)y(x)=0$

の一般解は、積分定数を $A \neq 0$ として、

$y(x)=A\exp \left(-\int P(x')\,\mathrm {d} x'\right)$

となる。一階線型常微分方程式の一般解は、斉次方程式の解を利用し $A$ を $x$ の関数とみなす定数変化法によって求められる。

$y(x)=\left\{\int Q(x')\exp \left(\int P(x'')\,\mathrm {d} x''\right)\mathrm {d} x'+C\right\}\exp \left(-\int P(x')\,\mathrm {d} x'\right).$

ここで $C \neq 0$ は積分定数である。

二階線型常微分方程式

二階線型常微分方程式の一般形は、既知関数を $P (x), Q (x), R (x)$ として、次のように書かれる。

${\frac {\mathrm {d} ^{2}y(x)}{\mathrm {d} x^{2}}}+P(x){\frac {\mathrm {d} y(x)}{\mathrm {d} x}}+Q(x)y=R(x).$

この二階線型常微分方程式は、このままの形では求積法を用いて一般解を表示することはできない。もし、右辺を $0$ とした斉次方程式の特殊解として、 $y = y 1$ が存在すれば、

${\frac {\mathrm {d} ^{2}y_{1}(x)}{\mathrm {d} x^{2}}}+P(x){\frac {\mathrm {d} y_{1}(x)}{\mathrm {d} x}}+Q(x)y_{1}(x)=0$

が成り立つので、 $z$ なる未知関数を導入して、

$y(x)=y_{1}(x)z(x)$

とすれば、二階線型常微分方程式が、 $z$ に関する常微分方程式、

${\begin{aligned}&y_{1}{\frac {\mathrm {d} ^{2}z(x)}{\mathrm {d} x^{2}}}+{\Bigl (}2y'_{1}(x)+P(x)y_{1}(x){\Bigr )}{\frac {\mathrm {d} z(x)}{\mathrm {d} x}}=R(x),\\&y'_{1}(x)={\frac {\mathrm {d} y_{1}(x)}{\mathrm {d} x}},\end{aligned}}$

に変換される。この常微分方程式は、導関数 $d z /d x$ に関して一階線型常微分方程式なので、求積法で解ける。その一般解を

$z=\psi (C_{1},C_{2},x)~~$

とすると、二階線型常微分方程式の一般解は、

$y=y_{1}\psi (C_{1},C_{2},x)~~$

で与えられる。なお、 $C 1, C 2$ は積分定数である。 $x$ の既知関数を含む二階線型常微分方程式で、求積法で解ける微分方程式は少ないが、次の微分方程式などが知られている^[2]^[3]^[4]。

求積法で解ける方程式の例^{[注釈 13]}
方程式	一般解^[2]
${\frac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} x^{2}}}-xP(x){\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}+P(x)y=0$	$y=x{\Bigl \{}C_{1}+C_{2}\int {\frac {1}{\,x^{2}\,}}\exp {\Bigl (}\int \!xP(x)\,dx{\Bigr )}\,dx{\Bigr \}}$
${\frac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} x^{2}}}+P(x){\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}-a(a+P(x))y=0$	$y=e^{ax}{\Bigl \{}C_{1}+C_{2}\!\int \exp {\Bigl (}\!-2ax-\!\!\int \!P(x)\,dx{\Bigr )}\,dx{\Bigr \}}$
$P(x){\frac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} x^{2}}}+(a+bx){\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}-by=0$	$y=C_{1}\!\!\int \!\!\int \!\!{\frac {1}{\,P(x)\,}}\exp {\Bigl (}\!-\!\!\int \!{\frac {\,a+bx\,}{P(x)}}\,dx{\Bigr )}\,dx\,dx+C_{2}{\Bigl (}x+{\frac {a}{\,b\,}}{\Bigr )}$
${\frac {\mathrm {d} ^{2}y\,}{\mathrm {d} x^{2}}}-\left({\frac {1}{2P(x)}}\cdot {\frac {\mathrm {d} P(x)}{\mathrm {d} x}}\right){\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}+P(x)y=0$	$y=C_{1}\sin \left(\int {\sqrt {P(x)}}\,\mathrm {d} x\right)+C_{2}\cos \left(\int {\sqrt {P(x)}}\,\mathrm {d} x\right)$
${\frac {\mathrm {d} ^{2}y\,}{\mathrm {d} x^{2}}}-\left({\frac {1}{P(x)}}\cdot {\frac {\mathrm {d} P(x)}{\mathrm {d} x}}\right){\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}-\left(P(x)\right)^{2}y=0$	$y=C_{1}\exp \left(\int P(x)\,\mathrm {d} x\right)+C_{2}\exp \left(-\int P(x)\,\mathrm {d} x\right)$
$x{\frac {\mathrm {d} ^{2}y\,}{\mathrm {d} x^{2}}}+(\alpha +\beta x){\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}+\beta y=0.$	$y=x^{1-\alpha }e^{-\beta x}\left(C_{1}\int {}x^{\alpha -2}e^{\beta x}\,\mathrm {d} x+C_{2}\right)$

脚注

[脚注の使い方]

注釈

^ 英: order
^ 英: $n$ th order differential equation
^ 英: non-linear differential equation
^ 英: homogeneous linear differential equation
^ 英: inhomogeneous linear differential equation
^ 英: stochastic differential equation、SDE
^ この微分方程式の解として指数関数を定義する場合もある。その場合、 $y (0) = 1$ となる解 $y (x)$ を指数関数 $exp(x) (\equiv e x)$ とする。
^ この関係を示す際に、ラフな計算法として $d y, d x$ を微小な数として扱うことがある。つまり、
$\scriptstyle {\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}=y$
の両辺に $d x / y$ を掛けて、
$\scriptstyle {\frac {\mathrm {d} y}{y}}=\mathrm {d} x$
とし、最後に積分記号 $\int$ を添える。
^ 対数関数が指数関数の逆関数であることを利用する。 $exp(ln y) = y .$
^ 解法： 一つの方法は次の自然対数の積分公式を利用する方法である。

$\scriptstyle \int {\frac {\mathrm {d} x'}{x'}}=\ln |x|+\mathrm {constant} .$

ある $x$ で $y$ が $0$ となるなら、

$\scriptstyle {\frac {\mathrm {d} y(x)}{\mathrm {d} x}}=0$

方程式を満たす解 $y$ は $0$ である。次に $y$ が $0$ とならない解を探すと、方程式は次のように変形できる。

$\scriptstyle {\frac {1}{y(x)}}{\frac {\mathrm {d} y(x)}{\mathrm {d} x}}=1.$

両辺を積分すれば、右辺は最初に示した積分と同じ形になる^{[注釈 8]}。

$\scriptstyle \int {\frac {1}{y'}}\,\mathrm {d} y'=\int 1\,\mathrm {d} x'.$

両辺の積分を計算すると方程式の解は指数関数になることが分かる^{[注釈 9]}。

$\scriptstyle y(x)=\mathrm {constant} \times \exp(x).$

その他の解法としては結局、指数関数か対数関数の定義に帰着させることになる。
^ 非自明な解を探しているので、任意の $λ$ に対して $f (x) = C exp(λx) \neq 0$ である。従って、
$\scriptstyle \left(\sum _{k=0}^{n}c_{k+1}\lambda ^{k}\right)C\exp(\lambda x)=0$
を満たす $λ$ はすべて
$\scriptstyle \sum _{k=0}^{n}c_{k+1}\lambda ^{k}=0$
を満たす。
^ 解の形として $f (x) = C (x)exp(λx)$ というものを仮定しても一般性は損なわれない。
^ $a \neq 0$ と $b \neq 0$ および $α$ と $β \neq 0$ は定数で、 $C 1, C 2$ は積分定数。

出典

^ ^a ^b ^c ^d ^e 長倉三郎ほか編、『岩波理化学辞典 Archived 2013年9月27日, at the Wayback Machine.』、岩波書店、1998年、項目「微分方程式」より。ISBN 4-00-080090-6
^ ^a ^b 長島隆廣『常微分方程式80余例とその厳密解』近代文芸社、2005年 ISBN 4-7733-7282-6. 国立国会図書館蔵書, 請求記号：MA117-H55（東京　本館書庫）
^ 長島隆廣［常微分方程式134例とその解］丸善出版サービスセンター，1982年5月発行，国立国会図書館・請求記号 MA117-111，全国書誌番号 82049441
^ 長島隆廣『常微分方程式80余例と求積法による解法』2018年12月 researchmap で公開，全編PDF： https://researchmap.jp/T_Nagashima または，https://researchmap.jp/multidatabases/multidatabase_contents/detail/263160/16f8fddfba5ab789f6475ac2962bfd31?frame_id=539358

外部リンク

『微分方程式』 - コトバンク

[2] 英: order

[3] 英: $n$ th order differential equation

[4] 英: non-linear differential equation

[5] 英: homogeneous linear differential equation

[6] 英: inhomogeneous linear differential equation

[7] 英: stochastic differential equation、SDE

[8] この微分方程式の解として指数関数を定義する場合もある。その場合、 $y (0) = 1$ となる解 $y (x)$ を指数関数 $exp(x) (\equiv e x)$ とする。

[9] この関係を示す際に、ラフな計算法として $d y, d x$ を微小な数として扱うことがある。つまり、
$\scriptstyle {\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}=y$
の両辺に $d x / y$ を掛けて、
$\scriptstyle {\frac {\mathrm {d} y}{y}}=\mathrm {d} x$
とし、最後に積分記号 $\int$ を添える。

[10] 対数関数が指数関数の逆関数であることを利用する。 $exp(ln y) = y .$

[11] 解法： 一つの方法は次の自然対数の積分公式を利用する方法である。

$\scriptstyle \int {\frac {\mathrm {d} x'}{x'}}=\ln |x|+\mathrm {constant} .$

ある $x$ で $y$ が $0$ となるなら、

$\scriptstyle {\frac {\mathrm {d} y(x)}{\mathrm {d} x}}=0$

方程式を満たす解 $y$ は $0$ である。次に $y$ が $0$ とならない解を探すと、方程式は次のように変形できる。

$\scriptstyle {\frac {1}{y(x)}}{\frac {\mathrm {d} y(x)}{\mathrm {d} x}}=1.$

両辺を積分すれば、右辺は最初に示した積分と同じ形になる^{[注釈 8]}。

$\scriptstyle \int {\frac {1}{y'}}\,\mathrm {d} y'=\int 1\,\mathrm {d} x'.$

両辺の積分を計算すると方程式の解は指数関数になることが分かる^{[注釈 9]}。

$\scriptstyle y(x)=\mathrm {constant} \times \exp(x).$

その他の解法としては結局、指数関数か対数関数の定義に帰着させることになる。

[12] 非自明な解を探しているので、任意の $λ$ に対して $f (x) = C exp(λx) \neq 0$ である。従って、
$\scriptstyle \left(\sum _{k=0}^{n}c_{k+1}\lambda ^{k}\right)C\exp(\lambda x)=0$
を満たす $λ$ はすべて
$\scriptstyle \sum _{k=0}^{n}c_{k+1}\lambda ^{k}=0$
を満たす。

[13] 解の形として $f (x) = C (x)exp(λx)$ というものを仮定しても一般性は損なわれない。

[17] $a \neq 0$ と $b \neq 0$ および $α$ と $β \neq 0$ は定数で、 $C 1, C 2$ は積分定数。

[r-1] 長倉三郎ほか編、『岩波理化学辞典 Archived 2013年9月27日, at the Wayback Machine.』、岩波書店、1998年、項目「微分方程式」より。ISBN 4-00-080090-6

[diffequ-2005nga-14] 長島隆廣『常微分方程式80余例とその厳密解』近代文芸社、2005年 ISBN 4-7733-7282-6. 国立国会図書館蔵書, 請求記号：MA117-H55（東京　本館書庫）

[diffeq-198205-15] 長島隆廣［常微分方程式134例とその解］丸善出版サービスセンター，1982年5月発行，国立国会図書館・請求記号 MA117-111，全国書誌番号 82049441

[difeq-201812ccrmap-16] 長島隆廣『常微分方程式80余例と求積法による解法』2018年12月 researchmap で公開，全編PDF： https://researchmap.jp/T_Nagashima または，https://researchmap.jp/multidatabases/multidatabase_contents/detail/263160/16f8fddfba5ab789f6475ac2962bfd31?frame_id=539358

[1]

[注釈 1]

[注釈 2]

[注釈 3]

[注釈 4]

[注釈 5]

[注釈 6]

[注釈 7]

[注釈 10]

[注釈 11]

[注釈 12]

[2]

[3]

[4]

[注釈 13]

[注釈 8]

[注釈 9]

表話編歴数学
主要分野	数理論理学集合論圏論代数学初等線型多重線型抽象算術/数論解析学/微分積分学関数解析学行列解析幾何学代数微分有限離散位相代数的位相表現論リー理論（英語版）微分方程式線型微分方程式複素微分方程式常微分方程式偏微分方程式積分微分方程式力学系組合せ数学数理物理学ゲーム理論グラフ理論最適化問題数理最適化計算理論確率論数理統計学（英語版）制御理論三角法
トピックス	数学史和算算道数理哲学美未解決問題算数・数学教育算数教科
主要賞	ド・モルガン・メダルコール賞フィールズ賞スティール賞ウルフ賞ショウ賞アーベル賞数学ブレイクスルー賞
応用	情報理論折紙の数学囲碁と数学数値解析精度保証付き数値計算計算機援用証明数値線形代数常微分方程式の数値解法偏微分方程式の数値解法
学会・団体	国際数学者会議国際数学連合国際産業数理・応用数理会議国際産業数理・応用数理評議会（英語版）アメリカ数学会 SIAM ヨーロッパ数学会ロンドン数学会日本応用数理学会日本数学会数学教育協議会
競技	国際数学オリンピック日本数学オリンピック日本ジュニア数学オリンピック広中杯近畿大学数学コンテスト人の最大の力を競う算数・数学の大会
研究所	京都大学数理解析研究所明治大学先端数理科学インスティテュート統計数理研究所アンリ・ポアンカレ研究所オーバーヴォルファッハ数学研究所クレイ研究所 CIMAT数学研究センターステクロフ数学研究所
一覧数学定数数関数図形数学記号数学者エポニムカテゴリポータル

表話編歴微分積分学
Precalculus	二項定理凹関数連続関数階乗有限差分自由変数と束縛変数基本定理関数のグラフ線型関数平均値の定理ラジアンロルの定理割線傾き接線
極限	不定形（英語版）関数の極限片側極限数列の極限数列の加速法近似のオーダー（英語版） ε-δ論法
微分法	連鎖律導関数微分微分方程式微分作用素陰関数微分逆関数の微分（英語版）ロピタルの定理ライプニッツ則対数微分平均値の定理ニュートン法記法ライプニッツの記法ニュートンの記法レギオモンタヌスの問題相対変化率（英語版）基本法則線型性（英語版）積商冪函数（英語版）停留点極値の判定（英語版）最大値の定理極値テイラーの定理
積分法	逆微分弧長積分定数積分記号下の微分（英語版）微分積分学の基本定理正割の立方の積分（英語版）正割関数の積分（英語版）半角正接置換法（英語版）積分における部分分数（英語版）二次有理式の積分（英語版）円周率が22/7より小さいことの証明基本法則線型性（英語版）部分積分置換積分台形公式三角函数置換法（英語版）
ベクトル解析	回転方向微分発散発散定理勾配勾配定理（英語版）グリーンの定理ラプラシアンストークスの定理
多変数微分積分学	曲率 Disc integration（英語版）発散定理外微分ガブリエルのホルン幾何解析（英語版）ヘッセ行列ヤコビ行列と行列式線積分 Matrix calculus 多重積分偏微分バウムクーヘン積分面積分テンソル解析体積分
級数	アーベルの判定法（英語版）交代交代級数判定法（英語版）算術幾何数列二項コーシーの凝集判定法比較判定法ディリクレの判定法オイラー–マクローリンの公式フーリエ幾何超幾何 q超幾何調和無限積分判定法極限比較判定法（英語版）マクローリン冪比判定法冪根判定法テイラー項判定法（英語版）
特殊関数と数学定数	ベルヌーイ数ネイピア数オイラー定数指数関数自然対数ガンマ関数スターリングの近似楕円関数
歴史（英語版）	擬等式（英語版）ブルック・テイラーコリン・マクローリン代数の一般性（英語版）ゴットフリート・ヴィルヘルム・ライプニッツ無限小無限小解析（英語版）アイザック・ニュートン連続の法則（英語版）レオンハルト・オイラー『流率法』 (流率（英語版）) 『方法（英語版）』
一覧	微分法則（英語版）指数関数の原始関数双曲線関数の原始関数逆双曲線関数の原始関数逆三角関数の原始関数無理関数の原始関数対数関数の原始関数有理関数の原始関数三角関数の原始関数極限数学記号原始関数
カテゴリ

表話編歴解析学の主要なトピックス
微分積分学: 積分法微分法微分方程式 (常 - 偏) 基本定理変分法ベクトル解析テンソル解析積分一覧導関数一覧（英語版）
実解析複素解析関数解析フーリエ解析調和解析測度論表現論関数連続関数特殊関数極限級数無限
ポータル・カテゴリ

概要