利用者:Mentaro Ikeuchi/sandbox

h-パラメータ(えいちぱらめーた,Lamé coefficients)は、ベクトル解析において、微分作用素や微小要素の座標変換に用いられる関数のセット(本記事では　$L_{j}(x_{1},x_{2},x_{3})$　i=1,2,3　と表記）のことで、英語圏では「ラメ係数」ともいわる。主に、直交曲線座標において、よく用いられる。 弾性力学におけるラメ定数とは別物である。

基本的な設定

$\mathbb {R} ^{3}$の標準基底を$<{\textbf {I}}_{\mathbf {1} },{\textbf {I}}_{\mathbf {2} },{\textbf {I}}_{\mathbf {3} }>$と書くことにする
${\textbf {I}}_{1}:=\left({\begin{matrix}1\\0\\0\\\end{matrix}}\right)\ \ ,\ \$ ${\textbf {I}}_{2}:=\left({\begin{matrix}0\\1\\0\\\end{matrix}}\right)\ \ ,\ \$ ${\textbf {I}}_{3}:=\left({\begin{matrix}0\\0\\1\\\end{matrix}}\right)$

$\mathbb {R} ^{3}$に$<x_{1},x_{2},x_{3}>$座標系と$<u_{1},u_{2},u_{3}>$座標系が定まっているものとし、 $<u_{1},u_{2},u_{3}>$座標系から$<x_{1},x_{2},x_{3}>$座標系の間の座標変換 を、以下のように表すものとする。また、この座標変換は至る所正則であるものとする。

座標変換の定義

$\mathbf {X} \left(u_{1},u_{2},u_{3}\right)\ :=\left({\begin{matrix}X_{1}\left(u_{1},u_{2},u_{3}\right)\\X_{2}\left(u_{1},u_{2},u_{3}\right)\\X_{3}\left(u_{1},u_{2},u_{3}\right)\\\end{matrix}}\right)$

また、前述の座標変換の（局所的な）「逆座標変換」を、以下のように表すものとする。 $\mathbf {U} \left(x_{1},x_{2},x_{3}\right):=\left({\begin{matrix}U_{1}\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right)\\U_{2}\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right)\\U_{3}\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right)\\\end{matrix}}\right)$

局所的な逆変換とは、即ち、上記の$\mathbf {U}$と$\mathbf {X}$は、それぞれの定義域を適切に制限した条件下において、以下が成り立つということである。非退化なの点の近傍において局所的な「逆写像」が存在することは、逆写像定理から保証される。

$\left(\mathbf {X} \circ \mathbf {U} \right)\ \left(x_{1},x_{2},x_{3}\right)=\left({\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\\\end{matrix}}\right)$
$\left(\mathbf {U} \circ \mathbf {X} \right)\ \left(u_{1},u_{2},u_{3}\right)=\left({\begin{matrix}u_{1}\\u_{2}\\u_{3}\\\end{matrix}}\right)$

例えば以下の座標変換は俗に「円柱座標系」と混同されていることからもわかるように、円柱座標系を定める。

$\mathbf {X} \left(u_{1},u_{2},u_{3}\right)\ :=\left({\begin{matrix}x_{1}\left(u_{1},u_{2},u_{3}\right)\\x_{2}\left(u_{1},u_{2},u_{3}\right)\\x_{3}\left(u_{1},u_{2},u_{3}\right)\\\end{matrix}}\right):=\left({\begin{matrix}u_{1}\cos(u_{2})\\u_{1}\sin(u_{2})\\u_{3}\\\end{matrix}}\right)$

この座標変換は至る所非退化なので、至る所で局所的な逆写像を持つことが[[逆写像定理」から保証される。実際、arctan関数を用いれば、局所的な逆写像を至る所で構成できる。

h-パラメータと基本ベクトルの定義

本題の $L_{j}(x_{1},x_{2},x_{3})$ と $\mathbf {n} _{j}\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right)$ は以下のように定める 。

${L_{j}}\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right):={\frac {1}{\lVert {\nabla U_{j}}\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right)\|}}$
$\mathbf {n} _{j}\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right):=(L_{j}\nabla u_{j})\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right)={\frac {{\nabla U_{j}}\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right)}{\lVert {\nabla U_{j}}\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right)\|}}$

このうち、$L_{j}(x_{1},x_{2},x_{3})$のことを、ラメ係数（またはh-パラメータ)という。 また、$\mathbf {n} _{j}\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right)$のことを、第i基本ベクトルという。 但し、$f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$に対して

$\nabla f\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right):={}^{T}\left(J\ [f]\right)\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right)$ $=\left({\begin{matrix}\left({\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}\right)\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right)\\\left({\frac {\partial f}{\partial x_{2}}}\right)\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right)\\\left({\frac {\partial f}{\partial x_{3}}}\right)\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right)\\\end{matrix}}\right)$

とする。但し「　${}^{T}$　」は、行列の転置作用素である。 また、$J\ [f]$はfのヤコビ行列である。

一般に、多変数スカラー値関数$f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$が与えられ、微分可能である時、「f=定数」という形で定まる曲面（これは$\mathbb {R} ^{n}$内の曲面）を、fの等位面という。そして、もし、点${\textbf {x}}$がfの等位面上にあれば、
${\textbf {n}}_{f}({\textbf {x}})$ $:={\frac {\nabla f\left({\textbf {x}}\right)}{\lVert \nabla f\left({\textbf {x}}\right)\|}}$
は、fの等位面の単位法線になっている。

実際、cが定数であり、曲面$\varphi (v_{1},v_{2})$が$f=c$の等位面に含まれれば
$f(\varphi (v_{1},v_{2}))=c$
となる。従って、この両辺を微分すると、
$J[f]_{(\varphi (v_{1},v_{2}))}J[\varphi ]_{\varphi (v_{1},v_{2})}=0$ となる。従って、
・$\nabla f(\varphi (v_{1},v_{2}))\cdot {\frac {\partial \varphi }{\partial v_{1}}}(v_{1},v_{2})=0$
・$\nabla f(\varphi (v_{1},v_{2}))\cdot {\frac {\partial \varphi }{\partial v_{2}}}(v_{1},v_{2})=0$

従って、$\nabla f(\varphi (v_{1},v_{2}))$は、$\varphi (v_{1},v_{2})$の接平面と直交することが判る。

この意味で、 $\mathbf {n} _{j}\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right):=(L_{j}\nabla U_{j})\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right)={\frac {{\nabla U_{j}}\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right)}{\lVert {\nabla U_{j}}\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right)\|}}$ は、スカラー値関数 $U_{j}\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right)$ の等位面の単位法線になっている。

$u_{2},u_{3}$曲面、$u_{1},u_{3}$曲面、$u_{1},u_{3}$曲面を、以下のように定義する。
・$\varphi _{[\ {u_{1}}=c\ ]}(u_{2},u_{3}):=\mathbf {x} (c,u_{2},u_{3})$
・$\varphi _{[\ {u_{2}}=c\ ]}(u_{1},u_{3}):=\mathbf {x} (u_{1},c,u_{3})$
・$\varphi _{[\ {u_{3}}=c\ ]}(u_{1},u_{2}):=\mathbf {x} (u_{1},u_{2},c)$

これらの曲面は、以下を満たす。
・${U_{1}}(\varphi _{[\ {u_{1}}=c\ ]}(u_{2},u_{3}))={U_{1}}(\mathbf {x} (c,u_{2},u_{3}))=c$
・${U_{2}}(\varphi _{[\ {u_{2}}=c\ ]}(u_{1},u_{3}))={U_{2}}(\mathbf {x} (u_{1},c,u_{3}))=c$
・${U_{3}}(\varphi _{[\ {u_{3}}=c\ ]}(u_{1},u_{2}))={U_{3}}(\mathbf {x} (u_{1},u_{2},c))=c$
従って、
・$u_{2},u_{3}$曲面は、${U_{1}}$の等位面に含まれる。
・$u_{1},u_{3}$曲面は、${U_{2}}$の等位面に含まれる。
・$u_{1},u_{3}$曲面は、${U_{3}}$の等位面に含まれる。

直交曲線座標でなくても成り立つこと

殆どの場合、h-パラメータを用いた微分作用素の座標変換を考えるときには、座標変換
$\mathbf {X} \left(u_{1},u_{2},u_{3}\right)\ :=\left({\begin{matrix}X_{1}\left(u_{1},u_{2},u_{3}\right)\\X_{2}\left(u_{1},u_{2},u_{3}\right)\\X_{3}\left(u_{1},u_{2},u_{3}\right)\\\end{matrix}}\right)$
が、直交曲線座標変換である場合を対象とする。しかし、本記事のように、 $L_{j}(x_{1},x_{2},x_{3})$ と$\mathbf {n} _{j}\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right)$ を以下のように定める立場においては、
${L_{j}}\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right):={\frac {1}{\lVert {\nabla U_{j}}\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right)\|}}$
$\mathbf {n} _{\mathbf {j} }\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right):=(L_{j}\nabla U_{j})\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right)$

以下に示すように、勾配・回転・発散の座標変換への応用の座標変換についの、少なくとも部分的な主張が成立する。 但し、$\mathbf {U} \left(x_{1},x_{2},x_{3}\right)$は、$\mathbf {X} \left(u_{1},u_{2},u_{3}\right)$の（局所的な）逆座標変換の一つである。

以降、$\left\langle \ {\textbf {a}}\ |\ {\textbf {b}}\ \right\rangle \$は${\textbf {a}}$と${\textbf {b}}$の内積、「det」は行列式を意味する。

勾配ベクトル場の座標変換

以下の公式においては、座標変換$\mathbf {X} \left(u_{1},u_{2},u_{3}\right)\$の直交性は一切使っていない。

定理：（勾配ベクトル場の座標変換）
スカラー場、即ち３変数関数のスカラー値関数$f\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right)$に対して、以下が成り立つ。 $\nabla f\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right)=\sum _{i=1}^{3}\left({\frac {1}{L_{i}}}\left({\frac {\partial \left(f\circ \mathbf {X} \right)}{\partial u_{i}}}\circ \mathbf {U} \right)\mathbf {n} _{i}\ \right)\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right)$

証明：
$\ \ \ J[f](x_{1},x_{2},x_{3})$
$=J[f](x_{1},x_{2},x_{3})\cdot I$
$=J[f](x_{1},x_{2},x_{3})\cdot J[\mathbf {X} \circ \mathbf {U} ](x_{1},x_{2},x_{3})$
$=J[f](x_{1},x_{2},x_{3})\cdot (J[\mathbf {X} ](\mathbf {U} (x_{1},x_{2},x_{3}))\cdot J[\mathbf {U} ](x_{1},x_{2},x_{3}))$
$=J[f](x_{1},x_{2},x_{3})\cdot J[\mathbf {X} ](\mathbf {U} (x_{1},x_{2},x_{3}))\cdot J[\mathbf {U} ](x_{1},x_{2},x_{3})$
$=J[f\circ \mathbf {X} ](\mathbf {U} (x_{1},x_{2},x_{3}))\cdot J[\mathbf {U} ](x_{1},x_{2},x_{3}))$
$=\left({\begin{matrix}{\frac {\partial \left(f\circ \mathbf {X} \right)}{\partial u_{1}}}(\mathbf {U} \left(x_{1},x_{2},x_{3}\right))&{\frac {\partial \left(f\circ \mathbf {X} \right)}{\partial u_{2}}}(\mathbf {U} \left(x_{1},x_{2},x_{3}\right))&{\frac {\partial \left(f\circ \mathbf {X} \right)}{\partial u_{3}}}(\mathbf {U} \left(x_{1},x_{2},x_{3}\right))\\\end{matrix}}\right)\ \cdot J[\mathbf {U} ](x_{1},x_{2},x_{3})$
$=\sum _{i=1}^{3}{\left({\frac {\partial \left(f\circ \mathbf {X} \right)}{\partial u_{j}}}\left(\mathbf {U} \left(x_{1},x_{2},x_{3}\right)\right)\right){}^{T}{{\textbf {I}}_{j}}}\cdot J\left[\mathbf {U} \right]\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right)$
$=\sum _{i=1}^{3}\left({\frac {\partial \left(f\circ \mathbf {X} \right)}{\partial u_{j}}}\left(\mathbf {U} \left(x_{1},x_{2},x_{3}\right)\right)\right)({}^{T}\nabla U_{i}\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right))$
$=\sum _{i=1}^{3}\left({\frac {1}{L_{i}}}\left({\frac {\partial \left(f\circ \mathbf {X} \right)}{\partial u_{i}}}\circ \mathbf {U} \right){}^{T}\mathbf {n} _{i}\ \right)\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right)$

であり、この両辺の転置を取れば、上式が成り立つ。

回転ベクトル場の座標変換

以下の公式自体の証明においても、 座標変換$\mathbf {X} \left(u_{1},u_{2},u_{3}\right)\$の直交性は一切使っていない。しかし、$\mathbf {X} \left(u_{1},u_{2},u_{3}\right)\$の直交性を仮定しないと、 「$\left(\mathbf {n} _{i}\ \times \mathbf {n} _{j}\right)=\mathbf {n} _{k}$であること」の保証ができないので、直交曲線座標の場合に比べて少し主張が弱まっている。

定理：(回転ベクトル場の座標変換)
$\mathbb {R} ^{3}$のベクトル場が、

$\mathbf {A} \left(x_{1},x_{2},x_{3}\right)=A_{u_{1}}\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right)\mathbf {n} _{1}\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right)+A_{u_{2}}\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right)\mathbf {n} _{2}\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right)+A_{u_{3}}\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right)\mathbf {n} _{3}\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right)$

の形で与えられているものとする。このとき、以下が成立する。

$rot\left[A_{u_{j}}\mathbf {n} _{j}\right]=\sum _{i=1}^{3}{\frac {1}{L_{i}\ L_{j}}}\left(\left({\frac {\partial \ (A_{u_{j}}L_{j})\circ \mathbf {X} }{\partial u_{i}}}\right)\circ \mathbf {U} \right)\ \left(\mathbf {n} _{i}\ \times \mathbf {n} _{j}\right)$

証明:一般に、
$rot\left[f\mathbf {F} \right]\ =$$\nabla f\ \times \mathbf {F} +frot\left[\mathbf {F} \right]$ が成り立つので、
$rot\left[A_{u_{j}}\mathbf {n} _{j}\right]=rot\left[\left(A_{u_{j}}L_{j}\right)\nabla U_{j}\right]=\ \nabla \left[A_{u_{j}}L_{j}\right]\times \ \left(\nabla U_{j}\right)\ \ +\ \left(A_{u_{j}}L_{j}\right)rot\left[\nabla U_{j}\right]$

となる。ここで、

$\nabla \left[A_{u_{j}}L_{j}\right]=\sum _{i=1}^{3}{{\frac {1}{L_{i}}}\left({\frac {\partial \left(A_{u_{j}}L_{j}\right)\circ \mathbf {X} }{\partial u_{i}}}\circ \mathbf {U} \right)\mathbf {n} _{\textbf {I}}}$ $\nabla U_{j}={\frac {\mathbf {n} _{\mathbf {j} }}{L_{j}}}$

なので、
$\nabla \left[A_{u_{j}}L_{j}\right]\times \ \left(\nabla u_{j}\right)$
$=\left(\sum _{i=1}^{3}{{\frac {1}{L_{i}}}\left({\frac {\partial \left(A_{u_{j}}L_{j}\right)\circ \mathbf {X} }{\partial u_{i}}}\circ \mathbf {U} \right)\mathbf {n} _{\textbf {I}}}\right)\ \ \times \ \left({\frac {\mathbf {n} _{\mathbf {j} }}{L_{j}}}\right)$
$=\sum _{i=1}^{3}{{\frac {1}{L_{i}\ L_{j}}}\ \left(\left({\frac {\partial \ (A_{u_{j}}L_{j})\circ \mathbf {X} }{\partial u_{i}}}\right)\circ \mathbf {U} \right)\ \ \left(\mathbf {n} _{\textbf {I}}\ \times \mathbf {n} _{\mathbf {j} }\right)}$

一方で、
$rot\left[\nabla U_{j}\right]=0$ なので、
$rot\left[A_{u_{j}}\mathbf {n} _{j}\right]=\sum _{i=1}^{3}{{\frac {1}{L_{i}\ L_{j}}}\ \left(\left({\frac {\partial \ (A_{u_{j}}L_{j})\circ \mathbf {X} }{\partial u_{i}}}\right)\circ \mathbf {U} \right)\ \ \left(\mathbf {n} _{\textbf {I}}\ \times \mathbf {n} _{\mathbf {j} }\right)}$

ベクトル場の発散の座標変換

以下の公式自体の証明においても、 座標変換$\mathbf {X} \left(u_{1},u_{2},u_{3}\right)\$の直交性は一切使っていない。しかし、$\mathbf {X} \left(u_{1},u_{2},u_{3}\right)\$の直交性を仮定しないと、 「$\left(\mathbf {n} _{i}\ \times \mathbf {n} _{j}\right)=\mathbf {n} _{k}$であること」の保証ができないので、直交曲線座標の場合に比べて少し主張が弱まっている。

定理：（ベクトル場の発散の座標変換）
$\mathbb {R} ^{3}$のベクトル場が、以下の形で与えられているものとする。
$\mathbf {A} \left(x_{1},x_{2},x_{3}\right)=A_{u_{2},\ u_{3}}\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right)\ \left(\mathbf {n} _{\mathbf {2} }\times \mathbf {n} _{\mathbf {3} }\right)\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right)$$+A_{u_{3},\ u_{1}}\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right)\ \left(\mathbf {n} _{\mathbf {3} }\times \mathbf {n} _{\mathbf {1} }\right)\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right)$$+A_{u_{1},\ u_{2}}\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right)\ \left(\mathbf {n} _{\mathbf {1} }\times \mathbf {n} _{\mathbf {2} }\right)\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right)$
このとき、
$div\left[A_{u_{i},\ u_{j}}\ \left(\mathbf {n} _{i}\times \mathbf {n} _{j}\right)\right]\$$={\frac {1}{L_{1}L_{2}L_{3}}}\left({\frac {\partial (A_{u_{i},\ u_{j}}L_{i}L_{j})\circ \mathbf {X} }{\partial u_{\widehat {1,2}}}}\circ \mathbf {U} \right)\ det[\mathbf {n} _{i}\ ,\ \mathbf {n} _{\mathbf {j} },\ \mathbf {n} _{\widehat {i,j}}]$

が成り立つ。但し、$k:={\widehat {i,j}}$ は、i,j,kが背反となるようなkのことである。また、detは行列式を意味する。

証明：ベクトル解析の一般的な公式として、
$div\left[\ f\mathbf {X} \ \right]\ =\left\langle \ \nabla \ f\ |\mathbf {X} \ \ \right\rangle \ -fdiv[\mathbf {X} ]$
が知られている。この公式を用いると、

$div\left[A_{u_{i},\ u_{j}}\ \left(\mathbf {n} _{i}\times \mathbf {n} _{\mathbf {j} }\right)\right]$
$=div\left[A_{u_{i},\ u_{j}}L_{i}L_{j}\left(\nabla {U}_{i}\times \nabla {U}_{j}\right)\right]$
$=<\nabla [A_{u_{i},u_{j}}L_{i}L_{j}]|(\nabla {U}_{i}\times \nabla U_{j})>-(A_{u_{i},u_{j}}L_{i}L_{j})div[\nabla {U}_{i}\times \nabla {U}_{j}]$ （★）

ここで、上の★式最右辺の第一項を整理する。まず、
$\ \ \ <\nabla [A_{u_{i},u_{j}}L_{i}L_{j}]|(\nabla {U}_{i}\times \nabla U_{j})>$
$=\ \left\langle \nabla \left[A_{u_{i},\ u_{j}}L_{i}L_{j}\right]|{\frac {1}{L_{i}L_{j}}}\ \mathbf {n} _{i}\times \mathbf {n} _{j}\ \ \right\rangle$
であり、上の内積の前側の項は、前述の、勾配ベクトル場の座標変換の公式より以下のように展開できる。 $\nabla \left[A_{u_{i},\ u_{j}}L_{i}L_{j}\right]=\sum _{k=1}^{3}{{\frac {1}{L_{k}}}\left({\frac {\partial (A_{u_{i},\ u_{j}}L_{i}L_{j})\circ \mathbf {X} }{\partial u_{k}}}\circ \mathbf {U} \right)\mathbf {n} _{\mathbf {k} }}$
ここで、線形代数学の一般的な公式$\left\langle \ \ \mathbf {a} \ \ |\ \ \mathbf {b} \ \times \ \mathbf {c} \ \ \right\rangle \ =\ det[\mathbf {a} ,\ \mathbf {b} \ ,\ \mathbf {c} ]$
を用いると、
$\left\langle \nabla \left[A_{u_{i},\ u_{j}}L_{i}L_{j}\right]|{\frac {1}{L_{i}L_{j}}}\ \mathbf {n} _{i}\times \mathbf {n} _{j}\ \ \right\rangle$
$=\sum _{k=1}^{3}{{\frac {1}{{L_{i}L_{j}L}_{k}}}\left({\frac {\partial (A_{u_{i},\ u_{j}}L_{i}L_{j})\circ \mathbf {X} }{\partial u_{k}}}\circ \mathbf {U} \right)}\ \left\langle \mathbf {n} _{\mathbf {k} }\ |\mathbf {n} _{i}\times \mathbf {n} _{j}\ \ \right\rangle$
$={\frac {1}{L_{1}L_{2}L_{3}}}\left({\frac {\partial (A_{u_{i},\ u_{j}}L_{i}L_{j})\circ \mathbf {X} }{\partial u_{k}}}\circ \mathbf {U} \right)\ det[\mathbf {n} _{i}\ ,\ \mathbf {n} _{j},\ \mathbf {n} _{k}\ ]$　　　(但しi,j,kは背反)
$={\frac {1}{{L_{1}L_{2}L}_{3}}}\left({\frac {\partial (A_{u_{i},\ u_{j}}L_{i}L_{j})\circ \mathbf {X} }{\partial u_{\mathbf {n} _{\widehat {{\textbf {I}},\mathbf {j} }}}}}\circ \mathbf {U} \right)\ det[\mathbf {n} _{i}\ ,\ \mathbf {n} _{j},\ \mathbf {n} _{\widehat {i,j}}]$
となる。

次に、★式最右辺の第二項について検討する。
ベクトル解析において一般的に以下の公式が成り立つ。
$div[\mathbf {X} \times \mathbf {Y} ]=\left\langle rot\left[\mathbf {X} \right]|\mathbf {Y} \right\rangle -\ \left\langle rot\left[\mathbf {Y} \right]|\mathbf {X} \right\rangle$
従って、
$div[\nabla U_{i}\times \nabla U_{j}]=\left\langle rot[\nabla U_{i}]|\nabla U_{j}\right\rangle -\left\langle rot[\nabla U_{j}]|\nabla U_{i}\right\rangle$
=⟨ 0 │∇U_j ⟩ ―　⟨ 0 │∇U_j ⟩ =0

よって、★式最右辺の第一項のみが生き残るので、 $div\left[A_{u_{i},\ u_{j}}\ \left(\mathbf {n} _{i}\times \mathbf {n} _{j}\right)\right]\ ={\frac {1}{{L_{1}L_{2}L}_{3}}}\left({\frac {\partial (A_{u_{i},\ u_{j}}L_{i}L_{j})\circ \mathbf {X} }{\partial u_{\widehat {i,j}}}}\circ \mathbf {U} \right)\ det[\mathbf {n} _{i}\ ,\ \mathbf {n} _{j},\ \mathbf {n} _{\widehat {i,j}}]$
が得られた。

hパラメータと基本ベクトルの別の定義

座標変換
$\mathbf {X} \left(u_{1},u_{2},u_{3}\right)\ :=\left({\begin{matrix}X_{1}\left(u_{1},u_{2},u_{3}\right)\\X_{2}\left(u_{1},u_{2},u_{3}\right)\\X_{3}\left(u_{1},u_{2},u_{3}\right)\\\end{matrix}}\right)$
が与えられた時に、本記事では、$L_{j}(x_{1},x_{2},x_{3})$ と$\mathbf {n} _{\mathbf {j} }\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right)$ を以下のように定めた。

${L_{j}}\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right):={\frac {1}{\lVert {\nabla U_{j}}\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right)\|}}$
$\mathbf {n} _{\mathbf {j} }\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right):=(L_{j}\nabla U_{j})\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right)$
但し、$\mathbf {U} \left(x_{1},x_{2},x_{3}\right)$は、$\mathbf {X} \left(u_{1},u_{2},u_{3}\right)$の（局所的な）逆座標変換の一つである。

実は、h-パラメータには、次に示す別の定義もある。即ち、
${h_{i}}\left(u_{1},u_{2},u_{3}\right):=\lVert {\frac {\partial \mathbf {X} }{\partial u_{i}}}\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right)\|$
$\mathbf {t} _{i}\left(u_{1},u_{2},u_{3}\right):={\frac {{\frac {\partial \mathbf {X} }{\partial u_{i}}}\left(u_{1},u_{2},u_{3}\right)}{{h_{i}}\left(u_{1},u_{2},u_{3}\right)}}$
と定める立場のある。これらについては、本記事では $<u_{1},u_{2},u_{3}>$座標系上で定まっているものと考えることにする 。この${h_{i}}\left(u_{1},u_{2},u_{3}\right)$のことも、「hパラメータ」と呼ぶ。

${\textbf {u}}\in \mathbb {R} ^{3}$は$<u_{1},u_{2},u_{3}>$空間の 点とする。このとき、
$c_{[{\textbf {u}},i]}(t):=\mathbf {X} \left(\ t{\textbf {I}}_{i}+{\textbf {u}}\right)\$
のことを、「${\textbf {u}}\in \mathbb {R} ^{3}$を起点とした$u_{i}$曲線」という。実は、$\mathbf {t} _{i}$は、$u_{i}$曲線の単位接線になっている。実際、
${\frac {dc_{[{\textbf {u}},i]}}{dt}}(0)=J[\mathbf {X} \left(\ t{\textbf {I}}_{i}+{\textbf {u}}\right)](0)\ =(J[\mathbf {X} ]({\textbf {u}})){\textbf {I}}_{i}={\frac {\partial \mathbf {X} }{\partial u_{i}}}\left({\textbf {u}}\right)$
となっているので、${\frac {\partial \mathbf {X} }{\partial u_{i}}}\left({\textbf {u}}\right)$が$u_{i}$曲線の接線になっていることがわかり、$\mathbf {t} _{i}({\textbf {u}})$は、${\frac {\partial \mathbf {X} }{\partial u_{i}}}\left({\textbf {u}}\right)$を規格化したものなので、 従って、$\mathbf {t} _{i}$は、$u_{i}$曲線の単位接線になっていることが判った。

この２つの「hパラメータ」は、$\mathbf {X} \left(u_{1},u_{2},u_{3}\right)\$が直交曲線座標変換であるときは「等価」であるが、その内容について、以下で述べる。

別の定義との「等価」性に関する補題

まず、直交性を一切仮定しなくても、以下の補題は言える。

補題：
$\mathbb {R} ^{3}$に$<x_{1},x_{2},x_{3}>$座標系と$<u_{1},u_{2},u_{3}>$　座標系が定まっているものとし、 $\mathbf {X} \left(u_{1},u_{2},u_{3}\right)\$は、 $<u_{1},u_{2},u_{3}>$座標系から$<x_{1},x_{2},x_{3}>$座標系の間の座標変換とで、至る所非退化とする。このとき、以下が成り立つ

$\delta _{i,j}=\left\langle \ \nabla {U}_{i}\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right)|\ {\frac {\partial \mathbf {X} }{\partial {u}_{j}}}(\mathbf {U} \left(x_{1},x_{2},x_{3}\right))\ \right\rangle \$
$=\left({\frac {L_{i}\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right)}{h_{j}\left(\mathbf {U} \left(x_{1},x_{2},x_{3}\right)\right)}}\right)\left\langle \ \mathbf {n} _{i}\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right)|\ \mathbf {t} _{j}(\mathbf {U} \left(x_{1},x_{2},x_{3}\right))\ \right\rangle \$

但し、$\mathbf {U} \left(x_{1},x_{2},x_{3}\right)$は、$\mathbf {X} \left(u_{1},u_{2},u_{3}\right)$の（局所的な）逆座標変換の一つで、$\delta _{i,j}$はクロネッカーのデルタである。

証明
局所的な逆変換とは、即ち、上記の$\mathbf {U}$と$\mathbf {X}$を、それぞれの定義域を適切に制限した条件下において、以下が成り立つということである。任意の点において局所的な「逆写像」が存在することは、逆写像定理から保証される。

$\left(\mathbf {X} \circ \mathbf {U} \right)\ \left(x_{1},x_{2},x_{3}\right)=\left({\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\\\end{matrix}}\right)$
$\left(\mathbf {U} \circ \mathbf {X} \right)\ \left(u_{1},u_{2},u_{3}\right)=\left({\begin{matrix}u_{1}\\u_{2}\\u_{3}\\\end{matrix}}\right)$

この両辺を微分すると、合成関数の微分法則により、
$J[\mathbf {X} \circ \mathbf {U} ]\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right)=J[\mathbf {X} ]\left(\mathbf {U} \left(x_{1},x_{2},x_{3}\right)\right)\cdot J[\mathbf {U} ]\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right)$
$\left({\frac {\partial \mathbf {X} }{\partial {u}_{1}}}(\mathbf {U} \left(x_{1},x_{2},x_{3}\right)),{\frac {\partial \mathbf {X} }{\partial {u}_{2}}}(\mathbf {U} \left(x_{1},x_{2},x_{3}\right)),{\frac {\partial \mathbf {X} }{\partial {u}_{3}}}(\mathbf {U} \left(x_{1},x_{2},x_{3}\right))\right)\cdot$ $\left({\begin{matrix}{}^{T}\nabla {U}_{1}\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right)\\{}^{T}\nabla {U}_{2}\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right)\\{}^{T}\nabla {U}_{3}\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right)\\\end{matrix}}\right)$
である。一方で、恒等写像の微分は単位行列になるので、結局のところ、
$\nabla {{U}_{i}}\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right)\cdot {}^{T}{\frac {\partial \mathbf {X} }{\partial {u}_{j}}}(\mathbf {U} \left(x_{1},x_{2},x_{3}\right))=\delta _{i,j}$
即ち、
$\delta _{i,j}=\left\langle \ \nabla {U}_{i}\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right)|\ {\frac {\partial \mathbf {X} }{\partial {u}_{j}}}(\mathbf {U} \left(x_{1},x_{2},x_{3}\right))\ \right\rangle \$

この式に
$\mathbf {n} _{i}\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right):=(L_{i}\nabla U_{i})\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right)$ $\mathbf {t} _{j}\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right):={\frac {{\frac {\partial \mathbf {X} }{\partial u_{j}}}\left(u_{1},u_{2},u_{3}\right)}{{h_{j}}\left(u_{1},u_{2},u_{3}\right)}}$
を代入すれば、

$\delta _{i,j}=\left\langle \ \nabla {{U}_{i}}\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right)|\ {\frac {\partial \mathbf {X} }{\partial {u}_{j}}}(\mathbf {U} \left(x_{1},x_{2},x_{3}\right))\ \right\rangle \$
$=\left({\frac {L_{i}\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right)}{h_{j}\left(\mathbf {U} \left(x_{1},x_{2},x_{3}\right)\right)}}\right)\left\langle \ \mathbf {n} _{i}\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right)|\ \mathbf {t} _{j}(\mathbf {U} \left(x_{1},x_{2},x_{3}\right))\ \right\rangle \$

を得る■
意外かもしれないが、ここまでの間ではどこも、$\mathbf {X}$の「直交性」については使っていない。

直交曲線座標系の定義

ここで、直交曲線座標系とは何であるのかについて、定義をしておこう。

定義：$\mathbb {R} ^{3}$に$<x_{1},x_{2},x_{3}>$座標系と$<u_{1},u_{2},u_{3}>$　座標系が定まっているものとし、 $\mathbf {X} \left(u_{1},u_{2},u_{3}\right)\$は、至る所非退化で、 $<u_{1},u_{2},u_{3}>$座標系から$<x_{1},x_{2},x_{3}>$座標系の間の座標変換とする。
このとき$<u_{1},u_{2},u_{3}>$が直交曲線座標系であるとは、

$J\mathbf {X} \left(u_{1},u_{2},u_{3}\right)\ \cdot \ \ {}^{T}J\mathbf {X} \left(u_{1},u_{2},u_{3}\right)={\textbf {I}}$

であることを意味する。但し${\textbf {I}}$は単位行列を意味する。

直交曲線座標に関して、以下の命題が成り立つ。

命題：$\mathbb {R} ^{3}$に$<x_{1},x_{2},x_{3}>$座標系と$<u_{1},u_{2},u_{3}>$　座標系が定まっているものとし、 $\mathbf {X} \left(u_{1},u_{2},u_{3}\right)\$は、至る所非退化で、 $<u_{1},u_{2},u_{3}>$座標系から$<x_{1},x_{2},x_{3}>$座標系の間の座標変換とする。
このとき以下の(1)-(4)は同値である。

(1)$<u_{1},u_{2},u_{3}>$が直交曲線座標系である。
(2)$\mathbf {U} \left(x_{1},x_{2},x_{3}\right)\$が$\mathbf {X} \left(u_{1},u_{2},u_{3}\right)\$の局所的な逆写像であるとき、
$J\mathbf {U} \left(x_{1},x_{2},x_{3}\right)\ \cdot \ \ {}^{T}J\mathbf {X} \left(x_{1},x_{2},x_{3}\right)={\textbf {I}}$である。
(3)至る所において、$<\mathbf {n} _{1},\mathbf {n} _{2},\mathbf {n} _{3}>$は$\mathbb {R} ^{3}$の正規直交基底である。
(4)至る所において、$<\mathbf {t} _{1},\mathbf {t} _{2},\mathbf {t} _{3}>$は$\mathbb {R} ^{3}$の正規直交基底である。

但し${\textbf {I}}$は単位行列を意味する。

別の定義との「等価」性に関する定理

前々節の補題において、$\mathbf {X}$の「直交性」はどこにも使っていないが、意外にもその条件で、前々節の「補題」までは成り立つ。しかしながら、当然「すべての座標系は直交曲線座標である（間違い）」という主張は間違いである。補題と、この間違った結論の間のギャップが、次の「定理」に集約される。

定理: $\mathbb {R} ^{3}$ に $<x_{1},x_{2},x_{3}>$標準座標系と、$<u_{1},u_{2},u_{3}>$座標系を持つ。また、 $\mathbf {X} \left(u_{1},u_{2},u_{3}\right)\$ は至る所非退化な座標系で、 向きを保つ（つまり$det[J[\mathbf {X} ]({\textbf {u}})]>0$, このとき、以下の(1),(2)は同値である。
(1)$<u_{1},u_{2},u_{3}>$は直交曲線座標系である。
(2)$\mathbf {t} _{i}({\textbf {u}})=\mathbf {n} _{i}(\mathbf {X} ({\textbf {u}}))$, for all ${\textbf {u}}\in \mathbb {R} ^{3}$, for all $i=1,2,3$

証明：
(1)⇒(2)
まず、$<u_{1},u_{2},u_{3}>$が直交曲線座標であろうがなかろうが、
${\textbf {I}}=J[\mathbf {X} \circ \mathbf {U} ]\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right)=J[\mathbf {X} ]\left({\textbf {u}}\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right)\right)\cdot J[\mathbf {U} ]\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right)$

であるため、 $J[\mathbf {X} ]=J[\mathbf {U} ]^{-1}$ である。但し${\textbf {I}}$は単位行列である。

一方で、$<u_{1},u_{2},u_{3}>$が直交曲線座標であれば、 ${^{T}}J[\mathbf {U} ]J[\mathbf {U} ]=I$

であるため $J[\mathbf {U} ]^{-1}={^{T}}J[\mathbf {U} ]$である。

従って、$<u_{1},u_{2},u_{3}>$が直交曲線座標であれば、 $J[\mathbf {X} ]=J[\mathbf {U} ]^{-1}={^{T}}J[\mathbf {U} ]$

なので、
${\frac {\partial \mathbf {X} }{\partial u_{i}}}({\textbf {u}})=\nabla {U_{i}}(\mathbf {X} ({\textbf {u}}))$

であり、従って(2)が成立する。

(2)⇒(1)
まず、$<u_{1},u_{2},u_{3}>$が直交曲線座標であろうがなかろうが、前々節の補題より、以下が成り立つ。

$\delta _{i,j}=\left({\frac {L_{i}\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right)}{h_{j}\left(\mathbf {U} \left(x_{1},x_{2},x_{3}\right)\right)}}\right)\left\langle \mathbf {n} _{i}\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right)|\ \mathbf {t} _{j}(\mathbf {U} \left(x_{1},x_{2},x_{3}\right))\ \right\rangle$

従って、 (2)を仮定すれば、 $\left({\frac {h_{j}\left(\mathbf {U} \left(x_{1},x_{2},x_{3}\right)\right)}{L_{i}\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right)}}\right)\delta _{i,j}=\left\langle \mathbf {n} _{i}\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right)|\ \mathbf {t} _{j}(\mathbf {U} \left(x_{1},x_{2},x_{3}\right))\ \right\rangle$ $=\left\langle \mathbf {t} _{i}(\mathbf {U} \left(x_{1},x_{2},x_{3}\right))|\ \mathbf {t} _{j}(\mathbf {U} \left(x_{1},x_{2},x_{3}\right))\ \right\rangle$

このことは、$i\neq j$ならば、 $\left\langle \mathbf {t} _{i}(\mathbf {U} \left(x_{1},x_{2},x_{3}\right))|\ \mathbf {t} _{j}(\mathbf {U} \left(x_{1},x_{2},x_{3}\right))\ \right\rangle =0$

であり、そもそも一方で、
$\left\langle \mathbf {t} _{i}(\mathbf {U} \left(x_{1},x_{2},x_{3}\right))|\ \mathbf {t} _{j}(\mathbf {U} \left(x_{1},x_{2},x_{3}\right))\ \right\rangle =1$
でもあるので、 $1=\left\langle \mathbf {t} _{i}(\mathbf {U} \left(x_{1},x_{2},x_{3}\right))|\ \mathbf {t} _{i}(\mathbf {U} \left(x_{1},x_{2},x_{3}\right))\ \right\rangle$ $=\left({\frac {h_{i}\left(\mathbf {U} \left(x_{1},x_{2},x_{3}\right)\right)}{L_{i}\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right)}}\right)\delta _{i,i}=\left({\frac {h_{i}\left(\mathbf {U} \left(x_{1},x_{2},x_{3}\right)\right)}{L_{i}\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right)}}\right)$ となっている。

以上から、 $<\mathbf {t} _{1},\mathbf {t} _{2},\mathbf {t} _{3}>$は$\mathbb {R} ^{3}$の正規直交基底であることがわかるため、前節の命題より、$<u_{1},u_{2},u_{3}>$が直交曲線座標系であることがわかった。

向きを保つ直交曲線座標でのみ成り立つことのまとめ

本章でも、$\mathbb {R} ^{3}$に$<x_{1},x_{2},x_{3}>$標準座標系と$<u_{1},u_{2},u_{3}>$　座標系が定まっているものとし、 $\mathbf {X} \left(u_{1},u_{2},u_{3}\right)\$は、至る所非退化な、 $<u_{1},u_{2},u_{3}>$座標系から$<x_{1},x_{2},x_{3}>$標準座標系の間の座標変換とする。

これまでは、「向きを保つ直交曲線座標」でなくても成り立つことも論じられるよう、 $\mathbf {n} _{i}$や、$\mathbf {t} _{i}$のような、一般的でないノーテーションを使ってきた。我々の記号では、

・$\mathbf {n} _{i}$は、「$U_{i}=const$で定まる等位面の単位法線」
・$\mathbf {t} _{i}$は、「$u_{i}$曲線の単位法線」

であることは前章でみたとおりである。そして、前章でみたように、$<u_{1},u_{2},u_{3}>$座標系が直交曲線座標系で、座標変換$\mathbf {X} \left(u_{1},u_{2},u_{3}\right)\$が向きを保った場合に限り、

・$\mathbf {n} _{i}(\mathbf {U} ({\textbf {x}}))=\mathbf {t} _{i}({\textbf {x}})$

であった。この意味で、通常のベクトル解析の教科書では、 $\mathbf {n} _{i}(\mathbf {U} ({\textbf {x}}))$と $\mathbf {t} _{i}({\textbf {x}})$のことを混同して、慣例的に(変数を明示せずに) $\mathbf {e} _{i}$と書く。座標変換$\mathbf {X} \left(u_{1},u_{2},u_{3}\right)\$が向きを保った場合に限れば、この混同自体は、上の結論より何ら議論に支障をきたさない。無論、線形代数学では、通常$\mathbf {e} _{i}$は,我々のの記号で言うと、${\textbf {I}}_{i}$のことを指し、ベクトル解析で$\mathbf {e} _{i}$と書かれるものと（つまり$\mathbf {n} _{i}(\mathbf {U} ({\textbf {x}}))$や$\mathbf {t} _{i}({\textbf {x}})$）、線形代数学で$\mathbf {e} _{i}$と書かれるもの(つまり${\textbf {I}}_{i}$)は、全く別物なので、その点での記号の混乱には注意が必要である。

さらに、これまでの結論から、$<u_{1},u_{2},u_{3}>$が向きを保つ直交曲線座標系であるとき、以下が容易に想到できる。
・$\mathbf {n} _{1}(\mathbf {U} ({\textbf {x}}))\times \mathbf {n} _{2}(\mathbf {U} ({\textbf {x}}))=\mathbf {n} _{3}(\mathbf {U} ({\textbf {x}}))$
・$\mathbf {n} _{2}(\mathbf {U} ({\textbf {x}}))\times \mathbf {n} _{3}(\mathbf {U} ({\textbf {x}}))=\mathbf {n} _{1}(\mathbf {U} ({\textbf {x}}))$
・$\mathbf {n} _{3}(\mathbf {U} ({\textbf {x}}))\times \mathbf {n} _{1}(\mathbf {U} ({\textbf {x}}))=\mathbf {n} _{2}(\mathbf {U} ({\textbf {x}}))$

・$\mathbf {t} _{1}({\textbf {x}})\times \mathbf {t} _{2}({\textbf {x}})=\mathbf {t} _{3}({\textbf {x}})$
・$\mathbf {t} _{2}({\textbf {x}})\times \mathbf {t} _{3}({\textbf {x}})=\mathbf {t} _{1}({\textbf {x}})$
・$\mathbf {t} _{3}({\textbf {x}})\times \mathbf {t} _{1}({\textbf {x}})=\mathbf {t} _{2}({\textbf {x}})$

上の事実を、ベクトル解析の慣例に従って、$\mathbf {n} _{i}(\mathbf {U} ({\textbf {x}}))$と $\mathbf {t} _{i}({\textbf {x}})$のことを混同して、慣例的に(変数を明示せずに) $\mathbf {e} _{i}$と書くと、以下のようになる。

・$\mathbf {e} _{1}\times \mathbf {e} _{2}=\mathbf {e} _{3}$
・$\mathbf {e} _{2}\times \mathbf {e} _{3}=\mathbf {e} _{1}$
・$\mathbf {e} _{3}\times \mathbf {e} _{1}=\mathbf {e} _{2}$

この混同は、$<u_{1},u_{2},u_{3}>$が向きを保つ直交座標系の時にのみ有効である。当然、$\mathbf {e} _{i}$は$\mathbb {R} ^{3}$の標準基底とは別物である。 以上を踏まえ、前々節で述べたベクトル場の座標変換の公式を、$<u_{1},u_{2},u_{3}>$が向きを保つ直交座標系であるときに限って有効ではあるが、スッキリとした形に書き直そう。

向きを保つ直交曲線座標系での勾配・回転・発散の座標変換

前々章で述べたように、勾配ベクトル場については、$<u_{1},u_{2},u_{3}>$が直交曲線座標系であろうがなかろうが、以下が成り立った。

定理：（勾配ベクトル場の座標変換）
スカラー場、即ち３変数関数のスカラー値関数$f\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right)$に対して、以下が成り立つ。 $\nabla f\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right)=\sum _{i=1}^{3}\left({\frac {1}{L_{i}}}\left({\frac {\partial \left(f\circ \mathbf {X} \right)}{\partial u_{i}}}\circ \mathbf {U} \right)\mathbf {n} _{i}\ \right)\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right)$

座標変換$\mathbf {X} \left(u_{1},u_{2},u_{3}\right)\$が向きを保った場合に限り、 $\mathbf {n} _{i}(\mathbf {U} ({\textbf {x}}))=\mathbf {t} _{i}({\textbf {x}})$ であったことを思い出し、通常のベクトル解析の教科書に従って、 $\mathbf {n} _{i}(\mathbf {U} ({\textbf {x}}))$と $\mathbf {t} _{i}({\textbf {x}})$のことを混同して、(変数を明示せずに) $\mathbf {e} _{i}$と書くと、上の定理は、以下のように書き直せる。

定理'：（勾配ベクトル場の座標変換）
$<u_{1},u_{2},u_{3}>$が向きを保つ直交曲線座標系であるとき、 スカラー場、即ち３変数関数のスカラー値関数$f\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right)$に対して、以下が成り立つ。 $\nabla f=\sum _{i=1}^{3}\left({\frac {1}{L_{i}}}\left({\frac {\partial \left(f\circ \mathbf {X} \right)}{\partial u_{i}}}\circ \mathbf {U} \right)\mathbf {e} _{i}\ \right)$

前々章で述べたように、回転ベクトル場については、$<u_{1},u_{2},u_{3}>$が直交曲線座標系であろうがなかろうが、以下が成り立った。

定理：(回転ベクトル場の座標変換)
$\mathbb {R} ^{3}$のベクトル場が、

$\mathbf {A} \left(x_{1},x_{2},x_{3}\right)=A_{u_{1}}\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right)\mathbf {n} _{1}\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right)+A_{u_{2}}\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right)\mathbf {n} _{2}\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right)+A_{u_{3}}\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right)\mathbf {n} _{3}\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right)$

の形で与えられているものとする。このとき、以下が成立する。

$rot\left[A_{u_{j}}\mathbf {n} _{j}\right]=\sum _{i=1}^{3}{\frac {1}{L_{i}\ L_{j}}}\left(\left({\frac {\partial \ (A_{u_{j}}L_{j})\circ \mathbf {X} }{\partial u_{i}}}\right)\circ \mathbf {U} \right)\ \left(\mathbf {n} _{i}\ \times \mathbf {n} _{j}\right)$

但し$\mathbf {n} _{j}\ \times \mathbf {n} _{j}=0$である。

向きを保つ直交曲線座標系では、$\mathbf {n} _{1}\ \times \mathbf {n} _{2}=\mathbf {n} _{3}$ が成り立つので、

$rot\left[A_{u_{1}}\mathbf {n} _{1}\right]$
$={\frac {1}{L_{2}\ L_{1}}}\left(\left({\frac {\partial \ (A_{u_{1}}L_{1})\circ \mathbf {X} }{\partial u_{2}}}\right)\circ \mathbf {U} \right)\ \left(\mathbf {n} _{2}\ \times \mathbf {n} _{1}\right)$ $+{\frac {1}{L_{3}\ L_{1}}}\left(\left({\frac {\partial \ (A_{u_{1}}L_{1})\circ \mathbf {X} }{\partial u_{3}}}\right)\circ \mathbf {U} \right)\ \left(\mathbf {n} _{3}\ \times \mathbf {n} _{1}\right)$ $={\frac {1}{L_{3}\ L_{1}}}\left(\left({\frac {\partial \ (A_{u_{1}}L_{1})\circ \mathbf {X} }{\partial u_{3}}}\right)\circ \mathbf {U} \right)\ \left(\mathbf {n} _{3}\ \times \mathbf {n} _{1}\right)$ $-{\frac {1}{L_{2}\ L_{1}}}\left(\left({\frac {\partial \ (A_{u_{1}}L_{1})\circ \mathbf {X} }{\partial u_{2}}}\right)\circ \mathbf {U} \right)\ \left(\mathbf {n} _{1}\ \times \mathbf {n} _{2}\right)$ $={\frac {1}{L_{3}\ L_{1}}}\left(\left({\frac {\partial \ (A_{u_{1}}L_{1})\circ \mathbf {X} }{\partial u_{3}}}\right)\circ \mathbf {U} \right)\ \mathbf {n} _{2}$ $-{\frac {1}{L_{2}\ L_{1}}}\left(\left({\frac {\partial \ (A_{u_{1}}L_{1})\circ \mathbf {X} }{\partial u_{2}}}\right)\circ \mathbf {U} \right)\ \mathbf {n} _{3}$

同様に、 $rot\left[A_{u_{2}}\mathbf {n} _{2}\right]$
$={\frac {1}{L_{1}\ L_{2}}}\left(\left({\frac {\partial \ (A_{u_{2}}L_{2})\circ \mathbf {X} }{\partial u_{1}}}\right)\circ \mathbf {U} \right)\ \mathbf {n} _{3}$ $-{\frac {1}{L_{3}\ L_{2}}}\left(\left({\frac {\partial \ (A_{u_{2}}L_{2})\circ \mathbf {X} }{\partial u_{3}}}\right)\circ \mathbf {U} \right)\ \mathbf {n} _{1}$

同様に、 $rot\left[A_{u_{3}}\mathbf {n} _{3}\right]$
$={\frac {1}{L_{1}\ L_{3}}}\left(\left({\frac {\partial \ (A_{u_{3}}L_{3})\circ \mathbf {X} }{\partial u_{1}}}\right)\circ \mathbf {U} \right)\ \mathbf {n} _{2}$ $-{\frac {1}{L_{2}\ L_{3}}}\left(\left({\frac {\partial \ (A_{u_{3}}L_{3})\circ \mathbf {X} }{\partial u_{3}}}\right)\circ \mathbf {U} \right)\ \mathbf {n} _{1}$

となり、$\mathbf {n} _{i}$と$\mathbf {t} _{i}({\textbf {x}})$のことを混同して、(変数を明示せずに) $\mathbf {e} _{i}$と書くと、上の定理は、以下のように書き直せる。

定理'：（回転ベクトル場の座標変換）
$<u_{1},u_{2},u_{3}>$が向きを保つ直交曲線座標系であるとき、 $\mathbb {R} ^{3}$のベクトル場が、

$\mathbf {A} \left(x_{1},x_{2},x_{3}\right)=A_{u_{1}}\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right)\mathbf {e} _{1}\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right)+A_{u_{2}}\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right)\mathbf {e} _{2}\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right)+A_{u_{3}}\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right)\mathbf {e} _{3}\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right)$

の形で与えられているものとする。このとき、以下が成立する。

$rot\left[A_{u_{1}}\mathbf {e} _{1}\right]$
$={\frac {1}{L_{3}\ L_{1}}}\left(\left({\frac {\partial \ (A_{u_{1}}L_{1})\circ \mathbf {X} }{\partial u_{3}}}\right)\circ \mathbf {U} \right)\ \mathbf {e} _{2}$ $-{\frac {1}{L_{2}\ L_{1}}}\left(\left({\frac {\partial \ (A_{u_{1}}L_{1})\circ \mathbf {X} }{\partial u_{2}}}\right)\circ \mathbf {U} \right)\ \mathbf {e} _{3}$

$rot\left[A_{u_{2}}\mathbf {e} _{2}\right]$
$={\frac {1}{L_{1}\ L_{2}}}\left(\left({\frac {\partial \ (A_{u_{2}}L_{2})\circ \mathbf {X} }{\partial u_{1}}}\right)\circ \mathbf {U} \right)\ \mathbf {e} _{3}$ $-{\frac {1}{L_{3}\ L_{2}}}\left(\left({\frac {\partial \ (A_{u_{2}}L_{2})\circ \mathbf {X} }{\partial u_{3}}}\right)\circ \mathbf {U} \right)\ \mathbf {e} _{1}$

$rot\left[A_{u_{3}}\mathbf {e} _{3}\right]$
$={\frac {1}{L_{1}\ L_{3}}}\left(\left({\frac {\partial \ (A_{u_{3}}L_{3})\circ \mathbf {X} }{\partial u_{1}}}\right)\circ \mathbf {U} \right)\ \mathbf {e} _{2}$ $-{\frac {1}{L_{2}\ L_{3}}}\left(\left({\frac {\partial \ (A_{u_{3}}L_{3})\circ \mathbf {X} }{\partial u_{3}}}\right)\circ \mathbf {U} \right)\ \mathbf {e} _{1}$

前々章で述べたように、回転ベクトル場については、$<u_{1},u_{2},u_{3}>$が直交曲線座標系であろうがなかろうが、以下が成り立った。

定理：（ベクトル場の発散の座標変換）
$\mathbb {R} ^{3}$のベクトル場が、以下の形で与えられているものとする。
$\mathbf {A} \left(x_{1},x_{2},x_{3}\right)=A_{u_{2},\ u_{3}}\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right)\ \left(\mathbf {n} _{\mathbf {2} }\times \mathbf {n} _{\mathbf {3} }\right)\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right)$$+A_{u_{3},\ u_{1}}\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right)\ \left(\mathbf {n} _{\mathbf {3} }\times \mathbf {n} _{\mathbf {1} }\right)\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right)$$+A_{u_{1},\ u_{2}}\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right)\ \left(\mathbf {n} _{\mathbf {1} }\times \mathbf {n} _{\mathbf {2} }\right)\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right)$
このとき、
$div\left[A_{u_{i},\ u_{j}}\ \left(\mathbf {n} _{i}\times \mathbf {n} _{j}\right)\right]\$$={\frac {1}{L_{1}L_{2}L_{3}}}\left({\frac {\partial (A_{u_{i},\ u_{j}}L_{i}L_{j})\circ \mathbf {X} }{\partial u_{\widehat {1,2}}}}\circ \mathbf {U} \right)\ det[\mathbf {n} _{i}\ ,\ \mathbf {n} _{\mathbf {j} },\ \mathbf {n} _{\widehat {i,j}}]$
が成り立つ。但し、$k:={\widehat {i,j}}$ は、i,j,kが背反となるようなk

のことである。また、detは行列式を意味する。

向きを保つ直交座標系においては$\mathbf {n} _{2}\times \mathbf {n} _{3}=\mathbf {n} _{1}$等が成り立つので、 $\mathbf {A} \left(x_{1},x_{2},x_{3}\right)$は、以下のように簡略化出来る。

$\mathbf {A} \left(x_{1},x_{2},x_{3}\right)=A_{u_{2},\ u_{3}}\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right)\ \mathbf {n} _{1}\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right)$ $+A_{u_{3},\ u_{1}}\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right)\ \mathbf {n} _{2}$$+A_{u_{1},\ u_{2}}\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right)\ \mathbf {n} _{3}\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right)$

さらに、$div\left[A_{u_{i},\ u_{j}}\ \left(\mathbf {n} _{i}\times \mathbf {n} _{j}\right)\right]\$は、

$div\left[A_{u_{1},\ u_{2}}\ \mathbf {n} _{3}\right]\$ $={\frac {1}{L_{1}L_{2}L_{3}}}\left({\frac {\partial (A_{u_{1},\ u_{2}}L_{1}L_{2})\circ \mathbf {X} }{\partial u_{3}}}\circ \mathbf {U} \right)\ det[\mathbf {n} _{1}\ ,\ \mathbf {n} _{\mathbf {2} },\ \mathbf {n} _{3}]$
$={\frac {1}{L_{1}L_{2}L_{3}}}\left({\frac {\partial (A_{u_{1},\ u_{2}}L_{1}L_{2})\circ \mathbf {X} }{\partial u_{3}}}\circ \mathbf {U} \right)\$

$div\left[A_{u_{2},\ u_{3}}\ \mathbf {n} _{1}\right]\$$={\frac {1}{L_{1}L_{2}L_{3}}}\left({\frac {\partial (A_{u_{2},\ u_{3}}L_{2}L_{3})\circ \mathbf {X} }{\partial u_{1}}}\circ \mathbf {U} \right)\ det[\mathbf {n} _{2}\ ,\ \mathbf {n} _{\mathbf {3} },\ \mathbf {n} _{1}]$
$={\frac {1}{L_{1}L_{2}L_{3}}}\left({\frac {\partial (A_{u_{2},\ u_{3}}L_{2}L_{3})\circ \mathbf {X} }{\partial u_{1}}}\circ \mathbf {U} \right)\$

$div\left[A_{u_{3},\ u_{1}}\ \mathbf {n} _{2}\right]\$ $={\frac {1}{L_{1}L_{2}L_{3}}}\left({\frac {\partial (A_{u_{3},\ u_{1}}L_{3}L_{1})\circ \mathbf {X} }{\partial u_{2}}}\circ \mathbf {U} \right)\ det[\mathbf {n} _{3}\ ,\ \mathbf {n} _{\mathbf {1} },\ \mathbf {n} _{2}]$
$={\frac {1}{L_{1}L_{2}L_{3}}}\left({\frac {\partial (A_{u_{3},\ u_{1}}L_{3}L_{1})\circ \mathbf {X} }{\partial u_{2}}}\circ \mathbf {U} \right)\$

従って、
$div\left[\mathbf {A} \right]\$
$={\frac {1}{L_{1}L_{2}L_{3}}}\left({\frac {\partial (A_{u_{1},\ u_{2}}L_{1}L_{2})\circ \mathbf {X} }{\partial u_{3}}}\circ \mathbf {U} \right)\$

$+{\frac {1}{L_{1}L_{2}L_{3}}}\left({\frac {\partial (A_{u_{2},\ u_{3}}L_{2}L_{3})\circ \mathbf {X} }{\partial u_{1}}}\circ \mathbf {U} \right)\$

$+{\frac {1}{L_{1}L_{2}L_{3}}}\left({\frac {\partial (A_{u_{3},\ u_{1}}L_{3}L_{1})\circ \mathbf {X} }{\partial u_{2}}}\circ \mathbf {U} \right)\$

となる。従って、$\mathbf {n} _{i}$と$\mathbf {t} _{i}({\textbf {x}})$のことを混同して、(変数を明示せずに) $\mathbf {e} _{i}$と書くと、上の定理は、以下のように書き直せる。

定理'：（ベクトル場の発散の座標変換）
$<u_{1},u_{2},u_{3}>$が向きを保つ直交曲線座標系であるとき、 $\mathbb {R} ^{3}$のベクトル場が、以下の形で与えられているものとする。
$\mathbf {A} \left(x_{1},x_{2},x_{3}\right)=A_{u_{2},\ u_{3}}\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right)\ \mathbf {e} _{1}$ $+A_{u_{3},\ u_{1}}\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right)\ \mathbf {e} _{2}$
$+A_{u_{1},\ u_{2}}\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right)\ \mathbf {e} _{3}$
このとき、

$div\left[\mathbf {A} \right]\$
$={\frac {1}{L_{1}L_{2}L_{3}}}\left({\frac {\partial (A_{u_{1},\ u_{2}}L_{1}L_{2})\circ \mathbf {X} }{\partial u_{3}}}\circ \mathbf {U} \right)\$

$+{\frac {1}{L_{1}L_{2}L_{3}}}\left({\frac {\partial (A_{u_{2},\ u_{3}}L_{2}L_{3})\circ \mathbf {X} }{\partial u_{1}}}\circ \mathbf {U} \right)\$

$+{\frac {1}{L_{1}L_{2}L_{3}}}\left({\frac {\partial (A_{u_{3},\ u_{1}}L_{3}L_{1})\circ \mathbf {X} }{\partial u_{2}}}\circ \mathbf {U} \right)\$

向きを保つ直交曲線座標系でのラプラシアンの座標変換

さらに、３変数関数のスカラー値関数$f\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right)$に対して、以下が成り立つ。ラプラシアン∆は、一般的に、以下を満たす。
$\Delta f=div[grad[f]]$

$\nabla f\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right)=\sum _{i=1}^{3}\left({\frac {1}{L_{i}}}\left({\frac {\partial \left(f\circ \mathbf {X} \right)}{\partial u_{i}}}\circ \mathbf {U} \right)\mathbf {n} _{i}\ \right)\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right)$

である。ここで、 $\mathbf {A} \left(x_{1},x_{2},x_{3}\right)=A_{u_{2},\ u_{3}}\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right)\ \mathbf {n} _{1}\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right)$ $+A_{u_{3},\ u_{1}}\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right)\ \mathbf {n} _{2}$$+A_{u_{1},\ u_{2}}\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right)\ \mathbf {n} _{3}\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right)$

に∇fの各項を代入するにあたり、
$A_{u_{j},\ u_{k}}\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right)=\left({\frac {1}{L_{i}}}\left({\frac {\partial \left(f\circ \mathbf {X} \right)}{\partial u_{i}}}\circ \mathbf {U} \right)\right)$

なので、

$\left(A_{u_{j},\ u_{k}}{L_{j}}{L_{k}}\right)\circ \mathbf {X} \left(u_{1},u_{2},u_{3}\right)$$=\left({\frac {{L_{j}}{L_{k}}}{L_{i}}}\left({\frac {\partial \left(f\circ \mathbf {X} \right)}{\partial u_{i}}}\circ \mathbf {U} \right)\circ \mathbf {X} \left(u_{1},u_{2},u_{3}\right)\right)$
$=\left(\left({\frac {{L_{j}}{L_{k}}}{L_{i}}}\circ \mathbf {X} \right)\left({\frac {\partial \left(f\circ \mathbf {X} \right)}{\partial u_{i}}}\right)\right)\left(u_{1},u_{2},u_{3}\right)$

従って、
${\frac {\partial \left(A_{u_{j},\ u_{k}}{L_{j}}{L_{k}}\right)\circ \mathbf {X} }{\partial u_{i}}}\left(u_{1},u_{2},u_{3}\right)$$={\frac {\partial }{\partial u_{i}}}\left(\left({\frac {{L_{j}}{L_{k}}}{L_{i}}}\circ \mathbf {X} \right)\left({\frac {\partial \left(f\circ \mathbf {X} \right)}{\partial u_{i}}}\right)\right)\left(u_{1},u_{2},u_{3}\right)$

$div\left[\mathbf {A} \right]\$
$={\frac {1}{L_{1}L_{2}L_{3}}}\left(\left({\frac {\partial }{\partial u_{1}}}\left[\left({\frac {{L_{2}}{L_{3}}}{L_{1}}}\circ \mathbf {X} \right)\left({\frac {\partial \left(f\circ \mathbf {X} \right)}{\partial u_{1}}}\right)\right]\right)\circ \mathbf {U} \right)\$
$+{\frac {1}{L_{1}L_{2}L_{3}}}\left(\left({\frac {\partial }{\partial u_{2}}}\left[\left({\frac {{L_{3}}{L_{1}}}{L_{2}}}\circ \mathbf {X} \right)\left({\frac {\partial \left(f\circ \mathbf {X} \right)}{\partial u_{2}}}\right)\right]\right)\circ \mathbf {U} \right)\$
$+{\frac {1}{L_{1}L_{2}L_{3}}}\left(\left({\frac {\partial }{\partial u_{3}}}\left[\left({\frac {{L_{1}}{L_{2}}}{L_{3}}}\circ \mathbf {X} \right)\left({\frac {\partial \left(f\circ \mathbf {X} \right)}{\partial u_{3}}}\right)\right]\right)\circ \mathbf {U} \right)\$

参考文献・脚注等

関連項目

• ベクトル解析
• ケルビン・ストークスの定理
• 直交曲線座標
• 有限変形理論
• 電磁気学
• 遅延ポテンシャル

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