利用者:NGiraffe/作業中の記事/コンツェビッチ不変量

数学の結び目理論においてコンツェビッチ不変量(Kontsevich invariant)とは、反復積分によって定義される結び目または絡み目の不変量である。全ての有限型不変量、特に量子不変量はコンツェビッチ不変量から復元されるため、普遍量子不変量と呼ばれることもある。

1990年代初頭ににマキシム・コンツェビッチが定義した。

この項では関連する概念としてヤコビ図についても述べる。

ヤコビ図

定義

各頂点での価数が 1または 3であり、各 3価の頂点では三本の辺に順序がついているようなグラフ G とコンパクトで向き付けられた 1次元多様体 X を考える。G の各 1価の頂点を(重ならないように) X の一点に接続してできる図をヤコビ図(Jacobi diagram)という。ときには G だけを指してヤコビ図と呼ぶこともある。 G の辺をしばしばコード(chord)と呼ぶ。 一次元多様体 X 上のヤコビ図全体から生成される可換群を以下の関係式で割った空間を $A(X)$ と書く。

(AS 関係式) +=0

(IHX 関係式) =-

(STU 関係式)=-

(FI 関係式)=0

図中で、実線の矢印は多様体 X の一部を表し、破線はコードを表す。

三価の頂点を持たないヤコビ図を特にコード図(chord diagram)と呼ぶ。コード図だけを考えるときには、上記の四種類の関係式は次の二つの関係式として表される。

(四項関係式)-+-=0

(FI 関係式)=0

性質

• タングルと同様に、上下方向への積み重ねを合成とし、並置をテンソル積としてモノイド圏をなす。
  • 特に X が線分であるとき、 $A(X)$ は可換代数をなす。

ウェイトシステム

ヤコビ図に数を対応させる写像をウェイトシステムと呼ぶ。この対応をヤコビ図の空間 $A(X)$ 上に拡張したものも同じ名前で呼ぶ。

• 特に、半単純リー代数 g とその表現 ρ を固定したとき、ヤコビ図のコードに g の不変テンソルを「代入」し、ヤコビ図の台となる多様体 X に ρ を「代入」することでウェイトシステムが得られる。
  • ヤコビ図の 3価の頂点がリー代数のブラケット積、 実線の矢印がρの表現空間、それに接続する1価の頂点がリー代数の作用とみなせる。
  • IHX 関係式、STU 関係式はそれぞれヤコビ恒等式と表現の定義(ρ([a,b])v=ρ(a)ρ(b)v-ρ(b)ρ(a)v)に対応する。
• sl₂ の表現からはジョーンズ多項式の係数、sl_n の表現からはホムフリー多項式の係数が導かれる。
• アレクサンダー多項式とジョーンズ多項式の係数を関係付ける、メルビン-モートン予想の解決に本質的な役割を演じた。

歴史

ヤコビ図は 1990年代前半にコンツェビッチが反復積分による結び目の不変量を定義したときにファインマン図の類似として導入された。その際、特異結び目の特異点の引き戻しを弦(chord)で表し、即ちコード図のみを扱っていた。その後バル-ナタンが 1-3-価グラフとして定式化し、代数的な性質を調べた。彼の論文では「漢字図」(chinese character diagram)と呼ばれている箇所がある。その後コード図、ウェブ図、ファインマン図などと複数の呼称が用いられたが 2000年頃からヤコビ図(Jacobi diagram)という呼称が一般的になっている。これは、IHX 関係式がリー代数のヤコビ恒等式に相当することに由来する。

1990年代後半にグサロフと葉廣和夫が独立に定義したクラスパーによって更に一般的な見地から解釈されている。

コンツェビッチ不変量

定義

K を三次元空間 C× R に埋め込まれたモース結び目とする。つまり、K を S¹ から C× R への写像 s → (z (s), h (s)) と書いたとき、h の臨界点は全て孤立しているとする。更に、h の一つの臨界値に対して、その逆像は一点から成るとする。

積分による定義

次の式で定義される無限級数 Z (K) を結び目 K のコンツェビッチ積分、あるいはコンツェビッチ不変量という。

$Z(K)=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {1}{(2\pi {\sqrt {-1}})^{m}}}\int _{-\infty <t_{1}<t_{2}<\dots <t_{m}<\infty }\sum _{p\in P}(-1)^{\sharp p\downarrow }D_{p}\wedge _{i=1}^{m}{\frac {dz_{i}-dz_{i}^{\prime }}{z_{i}-z_{i}^{\prime }}}$

ここで

• C×{ t_i } と K の共通部分から二点 z_i と z' _i を選んで組にする。このような組の列 {(z_i , z' _i)}_{i = 1,2,...,m} 全てからなる集合が P。
• #p↓ は p に現れる 2m 個の点のうち、そこで K が下向きになっているものの個数である。
• D_p は p の各点 (zi , z' i ) の逆像から得られるコード図。

右辺に現れる微分形式は KZ方程式に由来するものである。KZ方程式は配置空間に平坦な接続を定め、配置空間内のループ(=組み紐)に沿った積分はループの微小変形で値を変えない。このことがコンツェビッチ積分が不変量であることに寄与している。

組み合わせ的な定義

K を幾つかの水平面 C×{t_i } で分割する。このとき、切断面において K の切り口は実軸上に並んでいるとして構わない。すると、K はタングルに対する合成とテンソル積を繰り返してできていると考えることができる。

K を構成する基本的要素に対しては、以下のようにコンツェビッチ不変量 Z を定める。

• Z () = ()·e^t/2, Z () = ()·e^-t/2。ここで t は水平な一本のコードだけを持つコード図で、e^x は形式的な指数写像。
• Z() = $\sharp$ U^-1/2, Z() = $\sharp$ U^-1/2。ここで U は極大点と極小点をそれぞれ二つもつ自明な結び目のコンツェビッチ不変量で $\sharp$ は連結和。
• Z() は直接コンツェビッチ積分を計算することで得られる。この値を Φ と表記すると、 Z() = Φ^-1。

そして、合成とテンソル積に対しては以下のようにコンツェビッチ不変量を定める。

• Z(s·u)=Z(s)·Z(u)。
• Z(s ⊗ u)=Z(s) ⊗ Z(u)。

通常のタングルとは異なり、隣り合う端点との距離が等しいことを仮定しないことに注意すべきである(これにより、ここで扱うようなタングルを非結合的タングル、準タングルと呼ぶこともある)。また、上記の U や Φ は無限級数であり、一般の結び目に対する Z の値を求めることは低次の項を除いて非常に難しい。

性質

• Hopf 代数との相性
• 完全不変量だと予想されていること
• ループ展開
• 低次の項の係数

歴史

コンツェビッチ不変量はまずコンツェビッチによって反復積分の形で定義された。しかしその定義から、結び目を水平線で幾つかの部分に分割し、部分ごとに不変量の値を求めてもよいことが容易にわかる。実際、レ(Le) と村上順は、結び目の生成系であるタングルを準タングルに拡張し、生成元ごとにコンツェビッチ不変量の値を計算することで組み合わせ的な定義を得た。同時に彼らは紐のねじれ(framing)に対応するコンツェビッチ不変量の値も定式化し、三次元多様体に対する普遍量子不変量への道を開いた(技術的な要請から、反復積分による定義ではヤコビ図(正確にはコード図)に FI 関係式が必要で、紐のねじれの情報は値に反映されなかった)。

コンツェビッチ不変量は本質的に無限級数であるため、その値を決定することは非常に難しい。実際自明な結び目に対する値が決定されたのはにおいてである。

関連項目

• トポロジー
• 結び目理論
• マキシム・コンツェビッチ

参考文献

• 大槻知忠 『量子不変量』 日本評論社、1999年 (ISBN 4-535-78260-1)
• 村上順 『結び目と量子群』 朝倉書店、2000年 (ISBN 4-254-11553-9)
• 河野俊丈 『反復積分の幾何学』 シュプリンガー・ジャパン、2009年 (ISBN 978-4431706694)