双八元数

数学における双八元数（そうはちげんすう、英: bioctonion）または複素八元数（ふくそはちげんすう、英: complex octonion）は、双四元数（英語版） $p, q$ の対 $(p, q)$ として与えられる。二つの双八元数の積は、双四元数の乗法と双共軛 (biconjugate) $p \mapsto p*$ を用いて $(p,q)(r,s):=(pr-s^{*}q,\ sp+qr^{*})$ と定義される。

双八元数 $z ≔ (p, q)$ の共軛は $z* ≔ (p*, - q)$ とする。
双八元数 $z$ のノルムは $N (z) ≔ zz* (= pp* + qq*)$ と定義され、これは八つの項を持つ複素二次形式（エルミート二次形式）である。

双八元数全体の成す多元環（双八元数代数、双八元数環）は、単純に実係数の八元数体の複素化（英語版）として導入されることもあるが、抽象代数学においては複素数体・自明な対合・二次形式 $z 2$ の三つ組からのケイリー–ディクソン構成の結果として得られる。双八元数環は一般八元数環の一つの例である。

双八元数の任意の対 $y, z$ に対して $N(yz)=N(y)N(z)$ が成り立つから、これにより $N$ は合成可能な二次形式であることが分かり、したがって双八元数環は合成代数を成す。

複素八元数はクォークやレプトンの世代を記述するのに用いられた^[1]。

脚注

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^ C. Furey (2016) Standard Model Physics from an Algebra ?

参考文献

J. D. Edmonds (1978) Nine-vectors, complex octonion/quaternion hypercomplex numbers, Lie groups and the ‘real’ world, Foundations of Physics 8(3-4): 303–11, doi:10.1007/BF00715215 link from PhilPapers.
J. Koeplinger & V. Dzhunushaliev (2008) "Nonassociative decomposition of angular momentum operator using complex octonions", presentation at a meeting of the American Physical Society
D.G. Kabe (1984) "Hypercomplex Multivariate Normal Distribution", Metrika 31(2):63−76 MR 744966
A.A. Eliovich & V.I. Sanyuk (2010) "Polynorms", Theoretical and Mathematics Physics 162(2) 135−48 MR2681963

[1] C. Furey (2016) Standard Model Physics from an Algebra ?

[1]