数学 における分解型八元数 （ぶんかいがたはちげんすう、英 : split-octonion 実 八次元の分配多元環 を成す。通常の八元数 とは異なり、非可逆な非零元を含む。またその計量二次形式 （（二次の）ノルム）の符号数 も異なり、通常の八元数のが正定値符号数 (8, 0) を持つのに対して、分解型八元数のは分解型符号数 (4, 4) を持つ。
八元数全体と分解型八元数全体の二者が、同型を除いて 可能な実数体 ℝ 一般八元数環 の全てを尽くす。任意の体 F 上でも対応する分解型の八元数環を考えることができる。
八元数全体および分解型八元数全体は、四元数 の対の間に乗法を定義することにより、ケーリー＝ディクソン構成 から得られる。新しい虚数単位 ℓ を導入して、四元数の対 (a , b ) を a + ℓb
(
a
+
ℓ
b
)
(
c
+
ℓ
d
)
=
(
a
c
+
λ
d
¯
b
)
+
ℓ
(
d
a
+
b
c
¯
)
(
λ
:=
ℓ
2
)
{\displaystyle (a+\ell b)(c+\ell d)=(ac+\lambda {\bar {d}}b)+\ell (da+b{\bar {c}})\quad (\lambda :=\ell ^{2})}
なる規則から定められる[ 1] λ = −1八元数 である。その代わりに、λ = +1
あるいは、分解型四元数 （英語版 ） λ は ±1 の何れの値を選んでも分解型になる）。
分解型八元数の基底 を集合 {1, i , j , k , ℓ , ℓi ℓj , ℓk } とする。任意の分解型八元数 x はこれら基底元の実係数 xa を持つ線型結合 として
x
=
x
0
+
x
1
i
+
x
2
j
+
x
3
k
+
x
4
ℓ
+
x
5
ℓ
i
+
x
6
ℓ
j
+
x
7
ℓ
k
{\displaystyle x=x_{0}+x_{1}i+x_{2}j+x_{3}k+x_{4}\ell +x_{5}\ell i+x_{6}\ell j+x_{7}\ell k}
と書かれる。
線型性により、分解型八元数の乗法は、基底元の間に成り立つ以下の乗積表 によって完全に決定される：
基底の乗積表
右因子
1
{\displaystyle 1}
i
{\displaystyle i}
j
{\displaystyle j}
k
{\displaystyle k}
ℓ
{\displaystyle \ell }
ℓ
i
{\displaystyle \ell i}
ℓ
j
{\displaystyle \ell j}
ℓ
k
{\displaystyle \ell k}
左因子
1
{\displaystyle 1}
1
{\displaystyle 1}
i
{\displaystyle i}
j
{\displaystyle j}
k
{\displaystyle k}
ℓ
{\displaystyle \ell }
ℓ
i
{\displaystyle \ell i}
ℓ
j
{\displaystyle \ell j}
ℓ
k
{\displaystyle \ell k}
i
{\displaystyle i}
i
{\displaystyle i}
−
1
{\displaystyle -1}
k
{\displaystyle k}
−
j
{\displaystyle -j}
−
ℓ
i
{\displaystyle -\ell i}
ℓ
{\displaystyle \ell }
−
ℓ
k
{\displaystyle -\ell k}
ℓ
j
{\displaystyle \ell j}
j
{\displaystyle j}
j
{\displaystyle j}
−
k
{\displaystyle -k}
−
1
{\displaystyle -1}
i
{\displaystyle i}
−
ℓ
j
{\displaystyle -\ell j}
ℓ
k
{\displaystyle \ell k}
ℓ
{\displaystyle \ell }
−
ℓ
i
{\displaystyle -\ell i}
k
{\displaystyle k}
k
{\displaystyle k}
j
{\displaystyle j}
−
i
{\displaystyle -i}
−
1
{\displaystyle -1}
−
ℓ
k
{\displaystyle -\ell k}
−
ℓ
j
{\displaystyle -\ell j}
ℓ
i
{\displaystyle \ell i}
ℓ
{\displaystyle \ell }
ℓ
{\displaystyle \ell }
ℓ
{\displaystyle \ell }
ℓ
i
{\displaystyle \ell i}
ℓ
j
{\displaystyle \ell j}
ℓ
k
{\displaystyle \ell k}
1
{\displaystyle 1}
i
{\displaystyle i}
j
{\displaystyle j}
k
{\displaystyle k}
ℓ
i
{\displaystyle \ell i}
ℓ
i
{\displaystyle \ell i}
−
ℓ
{\displaystyle -\ell }
−
ℓ
k
{\displaystyle -\ell k}
ℓ
j
{\displaystyle \ell j}
−
i
{\displaystyle -i}
1
{\displaystyle 1}
k
{\displaystyle k}
−
j
{\displaystyle -j}
ℓ
j
{\displaystyle \ell j}
ℓ
j
{\displaystyle \ell j}
ℓ
k
{\displaystyle \ell k}
−
ℓ
{\displaystyle -\ell }
−
ℓ
i
{\displaystyle -\ell i}
−
j
{\displaystyle -j}
−
k
{\displaystyle -k}
1
{\displaystyle 1}
i
{\displaystyle i}
ℓ
k
{\displaystyle \ell k}
ℓ
k
{\displaystyle \ell k}
−
ℓ
j
{\displaystyle -\ell j}
ℓ
i
{\displaystyle \ell i}
−
ℓ
{\displaystyle -\ell }
−
k
{\displaystyle -k}
j
{\displaystyle j}
−
i
{\displaystyle -i}
1
{\displaystyle 1}
八元数の積の記憶術 分解型八元数の基底元の乗法表を表す簡便な記憶術 が右図である。これは（基底元の記号を少し改めて書けば）以下のような計算規則（同値なものが480通りある）：
スカラーである基底元を e 0
e
i
e
j
=
−
δ
i
j
e
0
+
ε
i
j
k
e
k
(
i
,
j
,
k
=
1
,
⋯
,
7
)
{\displaystyle e_{i}e_{j}=-\delta _{ij}e_{0}+\varepsilon _{ijk}e_{k}\ (i,j,k=1,\cdots ,7)}
e
i
e
0
=
e
0
e
i
=
e
i
;
e
0
e
0
=
e
0
{\displaystyle e_{i}e_{0}=e_{0}e_{i}=e_{i};\quad e_{0}e_{0}=e_{0}}
から導かれる。ここで、δij はクロネッカーのデルタ 、εijk はエディントンのイプシロン （これが +1 の値を取るのは
(i , j , k ) = (1, 2, 3), (1, 5, 4), (1, 7, 6), (2, 6, 4), (2, 5, 7), (3, 7, 4), (3, 6, 5) のとき）である。
図の赤矢印は、矢印の向き（掛ける順番）を逆転することで符号が逆になることを指し示すものである（上記、分解型八元数の基底同士の乗積表において、右下四分の一の部分を確認せよ）。
分解型八元数 x の共軛元 は
x
¯
=
x
0
−
x
1
i
−
x
2
j
−
x
3
k
−
x
4
ℓ
−
x
5
ℓ
i
−
x
6
ℓ
j
−
x
7
ℓ
k
{\displaystyle {\bar {x}}=x_{0}-x_{1}i-x_{2}j-x_{3}k-x_{4}\ell -x_{5}\ell i-x_{6}\ell j-x_{7}\ell k}
x のノルム （計量二次形式）は
N
(
x
)
=
x
¯
x
=
(
x
0
2
+
x
1
2
+
x
2
2
+
x
3
2
)
−
(
x
4
2
+
x
5
2
+
x
6
2
+
x
7
2
)
{\displaystyle N(x)={\bar {x}}x=(x_{0}^{2}+x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2})-(x_{4}^{2}+x_{5}^{2}+x_{6}^{2}+x_{7}^{2})}
x で N (x ) = 0等方元 ）が存在するから、このノルム N (x )等方二次形式 である。ノルム N を考えることで、分解型八元数の全体は ℝ 擬ユークリッド空間 （英語版 ） ℝ 4,4
N (x ) ≠ 0x は（両側）逆元 x −1
x
−
1
=
N
(
x
)
−
1
x
¯
{\displaystyle x^{-1}=N(x)^{-1}{\bar {x}}}
分解型八元数の全体は、通常の八元数と同様に非可換かつ非結合的である。またやはり通常の八元数と同様に合成代数 を成す（これはノルム N が乗法的、すなわち
N
(
x
y
)
=
N
(
x
)
N
(
y
)
{\textstyle N(xy)=N(x)N(y)}
ムーファング恒等式 （英語版 ） 交代代数 を成す。したがって、アルティンの定理 （英語版 ） {x | N (x ) ≠ 0} はムーファングループ （英語版 ）
分解型八元数の積は非結合的であるから、それを通常の行列 として表すことはできない（行列の積 は常に結合的である）。マックス・オーギュスト・ツォルン は、行列の積を少しく修正したものを用いて、スカラーとベクトルを混合的に成分に持つ「行列」として書き表す方法を発見した[ 2] ベクトル行列 は、実数 a, b および ℝ 3 v, w 2 × 2 行列として
(
a
v
w
b
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}a&\mathbf {v} \\\mathbf {w} &b\end{pmatrix}}}
[ 3] [ 4] [ 5] 点乗積 ⋅ および交叉積 × を用いて
(
a
v
w
b
)
(
a
′
v
′
w
′
b
′
)
=
(
a
a
′
+
v
⋅
w
′
a
v
′
+
b
′
v
+
w
×
w
′
a
′
w
+
b
w
′
−
v
×
v
′
b
b
′
+
v
′
⋅
w
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}a&\mathbf {v} \\\mathbf {w} &b\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a'&\mathbf {v} '\\\mathbf {w} '&b'\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}aa'+\mathbf {v} \cdot \mathbf {w} '&a\mathbf {v} '+b'\mathbf {v} +\mathbf {w} \times \mathbf {w} '\\a'\mathbf {w} +b\mathbf {w} '-\mathbf {v} \times \mathbf {v} '&bb'+\mathbf {v} '\cdot \mathbf {w} \end{pmatrix}}}
成分ごと に定めるものとすると、ベクトル行列の全体は ℝ ツォルンのベクトル行列代数 と呼ばれる。
ベクトル行列の「行列式」を
det
(
a
v
w
b
)
=
a
b
−
v
⋅
w
{\displaystyle \det {\begin{pmatrix}a&\mathbf {v} \\\mathbf {w} &b\end{pmatrix}}=ab-\mathbf {v} \cdot \mathbf {w} }
det はツォルンのベクトル行列代数上の二次形式として、合成律:
det
(
A
B
)
=
det
(
A
)
det
(
B
)
{\displaystyle \det(AB)=\det(A)\det(B)}
実はこのベクトル行列代数は分解型八元数全体の成す多元環に同型になる。分解型八元数 x を実数 a, b および純虚四元数 v, w ℝ 3
x
=
(
a
+
v
)
+
ℓ
(
b
+
w
)
{\displaystyle x=(a+\mathbf {v} )+\ell (b+\mathbf {w} )}
φ が
x
↦
φ
(
x
)
:=
(
a
+
b
v
+
w
−
v
+
w
a
−
b
)
{\displaystyle x\mapsto \varphi (x):={\begin{pmatrix}a+b&\mathbf {v} +\mathbf {w} \\-\mathbf {v} +\mathbf {w} &a-b\end{pmatrix}}}
N (x ) = det(φ (x ))
分解型八元数は物理法則の記述に用いられる。例えば
(a) ディラック方程式 （電子や陽子のような、スピン1/2の自由粒子の運動の方程式）は生の分解型八元数の算術で表すことができる[ 6]
(b) 超対称量子力学は octonionic extension を持つ[ 7]
^ Kevin McCrimmon (2004) A Taste of Jordan Algebras , page 158, Universitext, Springer ISBN 0-387-95447-3 MR 2014924
^ Max Zorn (1931) "Alternativekörper und quadratische Systeme", Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg 9(3/4): 395–402^ Nathan Jacobson (1962) Lie Algebras , page 142, Interscience Publishers.^ Richard D. Schafer (1966) An Introduction to Nonassociative Algebras , pp 52–6, Academic Press
^ Lowell J. Page (1963) "Jordan Algebras", pages 144–186 in Studies in Modern Algebra edited by A.A. Albert, Mathematics Association of America : Zorn’s vector-matrix algebra on page 180
^ M. Gogberashvili (2006) "Octonionic Electrodynamics", Journal of Physics A 39: 7099-7104. doi :10.1088/0305-4470/39/22/020
^ V. Dzhunushaliev (2008) "Non-associativity, supersymmetry and hidden variables", Journal of Mathematical Physics 49: 042108 doi :10.1063/1.2907868 ; arXiv :0712.1647
Harvey, F. Reese (1990). Spinors and Calibrations . San Diego: Academic Press. ISBN 0-12-329650-1 Springer, T. A.; F. D. Veldkamp (2000). Octonions, Jordan Algebras and Exceptional Groups . Springer-Verlag. ISBN 3-540-66337-1 
![{\displaystyle \mathbb {Z} [i]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ffa94e9e2e6d9e5e5373d5fafb954b902743fde)
![{\displaystyle \mathbb {Z} [\omega ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ae955a9a0d0f342fc73aaafe28af604d23267f7)
