「独立 (確率論)」の版間の差分

2016年11月7日 (月) 10:35時点における版

確率論において、2つの事象が独立（どくりつ、英: independent）であるというのは、ある事象と別の事象の両方が成立する確率がそれぞれの確率の積で表されることを言う。2つの確率変数が独立であるというのは、「ある確率変数の値が一定範囲に入る事象」と「別の確率変数の値が別の一定範囲に入る事象」が、考えられるどのような「一定範囲」（「考えられる」とは通常ボレル集合族を指す）を定めても事象として独立であることを言う。

確率論における独立は、他の分野における独立性の概念と区別する意味で、確率論的独立（かくりつろんてきどくりつ、英: stochastic independence）あるいは統計的独立（とうけいてきどくりつ、英: statistical independence）などとも呼ばれる。

2つの事象が独立といった場合は、片方の事象が起きたことが分かっても、もう片方の事象の起きる確率が変化しないことを意味する。2つの確率変数が独立といった場合は、片方の変数の値が分かっても、もう片方の変数の分布が変化しないことを意味する^[1]。

定義

事象の独立

まず基本となる、2つの事象 $A$ と $B$ が独立であることの定義は

P(A\cap B)=P(A)P(B)

となることである。もし、 $P (B) \neq 0$ であれば、条件付確率を用いて

P(A|B)=P(A)\,

と書くこともできる。これは事象 $B$ が起きたかどうかが分かっても、 $A$ が起きるかどうかの確率には影響を与えないことを意味する。独立でないことを従属という^[2]。上の定義は $P (B) = 0$ のときにも対応しているので、通常は上の定義を用いる。

次に、事象の族 ${A λ}$ が独立であるとは、その任意の有限部分族

\{A_{\lambda _{1}},A_{\lambda _{2}},\cdots ,A_{\lambda _{n}}\}

に対して

P(A_{\lambda _{1}}\cap A_{\lambda _{2}}\cap \cdots \cap A_{\lambda _{n}})=P(A_{\lambda _{1}})P(A_{\lambda _{2}})\cdots P(A_{\lambda _{n}})

が成立することをいう。

確率変数の独立

確率変数の場合は、確率変数の族 ${X λ}$ が独立であるとは、任意の実数 $a λ$ に対して、事象の族

\{\{X_{\lambda }<a_{\lambda }\}\}\,

が独立であることをいう。

完全加法族の独立

完全加法族の場合は、完全加法族の族 ${F λ}$ が独立であるとは、その任意の有限部分族

\{{\mathcal {F}}_{\lambda _{1}},{\mathcal {F}}_{\lambda _{2}},\cdots ,{\mathcal {F}}_{\lambda _{n}}\}

に対して、

P(A_{1}\cap A_{2}\cap \cdots \cap A_{n})=P(A_{1})P(A_{2})\cdots P(A_{n}),\quad ^{\forall }A_{1}\in {\mathcal {F}}_{\lambda _{1}},^{\forall }A_{2}\in {\mathcal {F}}_{\lambda _{2}},\cdots ,^{\forall }A_{n}\in {\mathcal {F}}_{\lambda _{n}}

が成立することをいう。事象 $A$ に対しては事象の生成する完全加法族 $σ (A)$ とし、確率変数 $X$ に対しては確率変数の生成する完全加法族 $σ (X)$ とすると、完全加法族による定義は上に挙げた事象のまた確率変数の定義と一致する。またこれら3種類の対象の混ざった独立性も定義できる。

日本工業規格

日本工業規格では、「確率変数 $X$ と $Y$ が独立であるための必要十分条件は，その同時分布関数が， $F (x, y) = F (x, \infty) \cdot F (\infty, y) = G (x) \cdot H (y)$ と表されることである。ただし， $G (x) = F (x, \infty)$ 及び $H (y) = F (\infty, y)$ は，それぞれ $X$ 及び $Y$ の周辺分布関数である。」と定義している^[3] 。

定理

独立性を満たす場合に成立する定理や、独立性の十分条件の代表例を挙げる。

2つの確率変数 $X$ と $Y$ が互いに独立である場合

関数 $f$ と $g$ に対して、 $f (X)$ と $g (Y)$ も独立になる。
積と期待値は可換である。つまり

E[XY]=E[X]E[Y]\,

同時分布関数と同時確率密度関数が積に分かれる

F_{X,Y}(x,y)=F_{X}(x)F_{Y}(y),\quad f_{X,Y}(x,y)=f_{X}(x)f_{Y}(y)\,

和と分散は可換である。つまり

V(X+Y)=V(X)+V(Y)\,

次を満たすとき確率変数 $X$ と $Y$ は独立になる。

任意の有界関数 $f$ と $g$ に対して

E[f(X)g(Y)]=E[f(X)]E[g(Y)]\,

特性関数が積に分かれる

E[\exp(i(\xi X+\eta Y))]=E[\exp(i\xi X)]E[\exp(i\eta Y)]\,

独立性の検定

→「カイ二乗検定」および「分割表」も参照

独立性を判断するには、独立性を仮定した上で対象の振る舞いを調べ、独立性を仮定したことによる矛盾が引き出せるかどうかを確認する必要がある。独立性（あるいは従属性）を判別する手段として分割表を用いた独立性の検定がある。独立性の検定に用いられる手法には例えばカイ二乗検定などがある。独立性の検定によって2つの事象の間の従属性を判断することができるが、独立であるかどうか積極的に決定することは難しい。

脚注

^ 伏見, 第II章確率論 9節独立 p.67.
^ 西岡, 4.2 独立事象 p.8.
^ JIS Z 8101-1 : 1999, 1.7 独立.

参考文献

西岡康夫『数学チュートリアルやさしく語る確率統計』オーム社、2013年。ISBN 9784274214073。
伏見康治『確率論及統計論』河出書房、1942年。ISBN 9784874720127。
JIS Z 8101-1:1999 統計 − 用語と記号 − 第1部:確率及び一般統計用語, 日本規格協会, (1999)
日本数学会『数学辞典』岩波書店、2007年。ISBN 9784000803090。