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フォンマンゴルト関数（フォンマンゴルトかんすう、英: von Mangoldt function）は数論における関数である。ドイツの数学者ハンス・フォン・マンゴルト（Hans von Mangoldt）に因んで名付けられた。これは、乗法でも加法でもない重要な算術関数の例である。

定義

Λ（n）で表されるフォン・マンゴルト関数は、次のように定義されます。

\Lambda (n)={\begin{cases}\log p&{\text{if }}n=p^{k}{\text{ for some prime }}p{\text{ and integer }}k\geq 1,\\0&{\text{otherwise.}}\end{cases}}

最初の9個の正の整数（つまり自然数）のΛ（n）の値は次のとおりです。

0,\log 2,\log 3,\log 2,\log 5,0,\log 7,\log 2,\log 3,

（OEISのシーケンスA014963）に関連しています。

チェビシェフ関数としても知られている合計フォンマンゴールド関数 $ψ (x)$ は、次のように定義されます。

\psi (x)=\sum _{n\leq x}\Lambda (n).

フォン・マンゴルト関数は、リーマンゼータ関数の非自明なゼロ上の合計を含むψ（x）の明示的な公式の厳密な証明を提供しました。これは素数定理の最初の証明の重要な部分でした。

物性

フォン・マンゴルト関数は、恒等式^[1] ^[2]満たし^[2]

\log(n)=\sum _{d\mid n}\Lambda (d).

合計は、 $n$ を分割するすべての整数 $d$ で取得されます。これは、素数の累乗ではない項が $0$ 等しいため、算術の基本定理によって証明され $0$ 。たとえば、 $n = 12 = 2 2 \times 3$ の場合を考えます。それから

{\begin{aligned}\sum _{d\mid 12}\Lambda (d)&=\Lambda (1)+\Lambda (2)+\Lambda (3)+\Lambda (4)+\Lambda (6)+\Lambda (12)\\&=\Lambda (1)+\Lambda (2)+\Lambda (3)+\Lambda \left(2^{2}\right)+\Lambda (2\times 3)+\Lambda \left(2^{2}\times 3\right)\\&=0+\log(2)+\log(3)+\log(2)+0+0\\&=\log(2\times 3\times 2)\\&=\log(12).\end{aligned}}

メビウスの反転により、 ^[2] ^[3] ^[4]

\Lambda (n)=-\sum _{d\mid n}\mu (d)\log(d)\ .

ディリクレシリーズ

フォンマンゴールド関数は、ディリクレ級数の理論、特にリーマンゼータ関数において重要な役割を果たします。たとえば、

\log \zeta (s)=\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {\Lambda (n)}{\log(n)}}\,{\frac {1}{n^{s}}},\qquad {\text{Re}}(s)>1.

対数微分は^[5]

{\frac {\zeta ^{\prime }(s)}{\zeta (s)}}=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\Lambda (n)}{n^{s}}}.

これらは、ディリクレ級数に関するより一般的な関係の特別な場合です。持っている場合

F(s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {f(n)}{n^{s}}}

完全な乗法的関数 $f (n)$ 及びシリーズは、次に $Re(s) > σ 0$ 収束

{\frac {F^{\prime }(s)}{F(s)}}=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {f(n)\Lambda (n)}{n^{s}}}

Re（s）>σ0で収束

チェビシェフ関数

チェビシェフ関数 'ψがあるsummatory機能フォン・マンゴルト機能： ^[6]

\psi (x)=\sum _{p^{k}\leq x}\log p=\sum _{n\leq x}\Lambda (n)\ .

チェビシェフ関数のメリン変換は、ペロンの式を適用することで見つけることができます：

{\frac {\zeta ^{\prime }(s)}{\zeta (s)}}=-s\int _{1}^{\infty }{\frac {\psi (x)}{x^{s+1}}}\,dx

Re（s）> 1 の場合に成り立ちます。

指数シリーズ

ハーディとリトルウッドはシリーズを調べました^[7]

F(y)=\sum _{n=2}^{\infty }\left(\Lambda (n)-1\right)e^{-ny}

限界y →0 ⁺でリーマン仮説を仮定すると、

F(y)=O\left({\frac {1}{\sqrt {y}}}\right)\quad {\text{and}}\quad F(y)=\Omega _{\pm }\left({\frac {1}{\sqrt {y}}}\right)

特に、この関数は、発散振動を伴う振動です。値 $K > 0$ が存在するため、両方の不等式

F(y)<-{\frac {K}{\sqrt {y}}},\quad {\text{ and }}\quad F(z)>{\frac {K}{\sqrt {z}}}

0の任意の近傍で無限に頻繁に保持。右の図は、この動作が最初は数値的に明らかではないことを示している。シリーズが1億項を超えて合計されるまで振動ははっきりと見られず、y <10 ^-5。

リース平均

フォン・マンゴルト関数のリース平均は、

{\begin{aligned}\sum _{n\leq \lambda }\left(1-{\frac {n}{\lambda }}\right)^{\delta }\Lambda (n)&=-{\frac {1}{2\pi i}}\int _{c-i\infty }^{c+i\infty }{\frac {\Gamma (1+\delta )\Gamma (s)}{\Gamma (1+\delta +s)}}{\frac {\zeta ^{\prime }(s)}{\zeta (s)}}\lambda ^{s}ds\\&={\frac {\lambda }{1+\delta }}+\sum _{\rho }{\frac {\Gamma (1+\delta )\Gamma (\rho )}{\Gamma (1+\delta +\rho )}}+\sum _{n}c_{n}\lambda ^{-n}.\end{aligned}}

ここで、λとδは、リース平均を特徴付ける数値です。c > 1を取る必要があります。以上の合計ρはリーマンゼータ関数の零点以上の合計であり、かつ

\sum _{n}c_{n}\lambda ^{-n}\,

は、λ > 1の収束級数であることが示されます。

リーマンゼータゼロによる近似

von Mangoldt関数を近似する合計の最初のリーマンゼータゼロ波

ゼータゼロの合計の実部：

-\sum _{i=1}^{\infty }n^{\rho (i)}

, where

ρ (i)

is the

i

-th zeta zero,

ここでρ（i）はi番目のゼータゼロであり、隣接するグラフに見られるように素数にピークがあり、数値計算によっても検証できます。フォン・マンゴルト関数の要約ではありません。^[8]

von Mangoldt関数のフーリエ変換は、リーマンゼータゼロの虚数部のスペクトルを $x$ 軸縦座標のスパイクとして与えます（右）。一方、von Mangoldt関数はゼータゼロ波で近似できます（左）。

フォン・マンゴルト関数のフーリエ変換は、リーマンゼータ関数のゼロの虚数部に等しい縦座標にスパイクのあるスペクトルを与える。これは、二重性と呼ばれることもあります。

関連項目

プライムカウント機能

脚注

^ Apostol (1976) p.32
^ ^a ^b ^c Tenenbaum (1995) p.30
^ Apostol (1976) p.33
^ Schroeder, Manfred R. (1997). Number theory in science and communication. With applications in cryptography, physics, digital information, computing, and self-similarity. Springer Series in Information Sciences. 7 (3rd ed.). Berlin: Springer-Verlag. ISBN 3-540-62006-0. Zbl 0997.11501
^ Hardy & Wright (2008) §17.7, Theorem 294
^ Apostol (1976) p.246
^ Hardy, G. H.; Littlewood, J. E. (1916). “Contributions to the Theory of the Riemann Zeta-Function and the Theory of the Distribution of Primes”. Acta Mathematica 41: 119–196. doi:10.1007/BF02422942 2014年7月3日閲覧。.
^ Conrey, J. Brian (March 2003). “The Riemann hypothesis”. Notices Am. Math. Soc. 50 (3): 341–353. Page 346

Apostol, Tom M. (1976), Introduction to analytic number theory, Undergraduate Texts in Mathematics, New York-Heidelberg: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90163-3, MR0434929, Zbl 0335.10001
Hardy, G. H.; Wright, E. M. (2008) [1938]. Heath-Brown, D. R.; Silverman, J. H.. eds. An Introduction to the Theory of Numbers (6th ed.). Oxford: Oxford University Press. ISBN 978-0-19-921985-8. MR2445243. Zbl 1159.11001

Tenebaum, Gérald C.B. Thomas訳 (1995). Introduction to analytic and probabilistic number theory. Cambridge Studies in Advanced Mathematics. 46. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-41261-7. Zbl 0831.11001

外部リンク

アラン・ガット、 リーマン・ゼータ分布に関するいくつかの発言 （2005）
S.A. Stepanov (2001), “Mangoldt function”, in Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4 メディアS.A. Stepanov (2001), “Mangoldt function”, in Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4 S.A. Stepanov (2001), “Mangoldt function”, in Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4
クリス・キング、 プライムズ・オブ・シン・エア （2010）
平家、 リーマンゼータゼロスペクトルをMathematicaでどのようにプロットしますか？ （2012）

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