胡蝶定理

胡蝶定理（こちょうていり、英: butterfly theorem）は、ユークリッド幾何学における古典的な結果である。ウィリアム・ウォレスによってはじめて提起されたとされる^[1]。この定理は次のように述べられる^[2]^{:p. 78}。

胡蝶定理 ― 弦 $PQ$ の中点を $M$ とし、 $M$ を通る二つの弦 $AB$ , $CD$ をひき、 $AD$ , $BC$ が $PQ$ と交わる点をそれぞれ $X$ , $Y$ とする。このとき $M$ は $XY$ の中点である。

証明

形式的な証明を以下に述べる。

$XX'$ , $XX''$ をそれぞれ $X$ から $AM$ , $DM$ に下ろした垂線とし、同様に $YY'$ , $YY''$ をそれぞれ $Y$ から $BM$ , $CM$ に下ろした垂線とする。

$∠MX'X = ∠MY'Y = 90°$ かつ $∠X'MX = ∠Y'MY$ （対頂角）であるから $△MXX'$ と $△MYY'$ は相似。従って次式が成り立つ。

\mathrm {{MX \over MY}={XX' \over YY'}}

同様に $△MXX''$ と $△MYY''$ も相似であるので、次式が成り立つ。

\mathrm {{MX \over MY}={XX'' \over YY''}}

$∠AX'X = ∠CY''Y = 90°$ かつ $∠XAX' = ∠YCY''$ （円周角の定理）であるから $△AXX'$ と $△CYY''$ は相似。従って次式が成り立つ。

\mathrm {{XX' \over YY''}={AX \over CY}}

同様に $△DXX''$ と $△BYY'$ も相似であるので、次式が成り立つ。

\mathrm {{XX'' \over YY'}={DX \over BY}}

以上の式より

\mathrm {\left({MX \over MY}\right)^{2}={XX' \over YY'}{XX'' \over YY''}}

\mathrm {\qquad \qquad \;={AX\cdot DX \over CY\cdot BY}}

\mathrm {\qquad \qquad \;={PX\cdot QX \over PY\cdot QY}}

\mathrm {\qquad \qquad \;={(PM-XM)\cdot (MQ+XM) \over (PM+MY)\cdot (QM-MY)}}

\mathrm {\qquad \qquad \;={(PM)^{2}-(MX)^{2} \over (PM)^{2}-(MY)^{2}}\quad (\because PM=MQ)}

となり、ゆえに

\mathrm {{(MX)^{2} \over (MY)^{2}}={(PM)^{2}-(MX)^{2} \over (PM)^{2}-(MY)^{2}}}

であるから、 $MX = MY$ 即ち $M$ が $XY$ の中点であることが従う。

このほか射影幾何学を用いた証明も存在する^[3]^[4]。

円の弦

AB

上に、

AM = BN

を満たすように点

M, N

を取る。それぞれ

M, N

を通る弦

PQ, RS

を描く。それぞれ弦

PR, SQ

が

AB

と交わる点を

L, K

とすれば、

AK = BL

が成立する。

^ “William Wallace's 1803 Statement of the Butterfly Theorem”. www.cut-the-knot.org. 2024年6月21日閲覧。
^ Johnson, Roger A., Advanced Euclidean Geometry, Dover Publ., 2007 (orig. 1929).
^ [1], problem 8.
^ Martin Celli (2016). “A Proof of the Butterfly Theorem Using the Similarity Factor of the Two Wings”. Forum Geometricorum (Volume 16): 337-338.
^ Протасов В. Ю., Тихомиров В. М. Геометрические шедевры И. Ф. Шарыгина. В книге «Геометрические олимпиады имени И. Ф. Шарыгина», стр. 146.