プラスチック数

プラスチック数（Plastic number）は、

x^{3}=x+1,\;

という代数方程式の唯一の実数解であり、

\rho ={\sqrt[{3}]{{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{6}}{\sqrt {\frac {23}{3}}}}}+{\sqrt[{3}]{{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{6}}{\sqrt {\frac {23}{3}}}}}

または

\rho ={\sqrt[{3}]{\frac {9+{\sqrt {69}}}{18}}}+{\sqrt[{3}]{\frac {9-{\sqrt {69}}}{18}}}

と書ける。また、小数点以下27桁まで 1.324717957244746025960908854 と近似できる。(オンライン整数列大辞典の数列 A060006)

黄金比がフィボナッチ数列の隣接項比の、白銀比がペル数の隣接項比の極限であるように、プラスチック数はパドヴァン数列及びペラン数列の隣接項比の極限である。

性質

{\begin{aligned}x^{5}&=x^{4}+1\\x^{5}&=x^{2}+x+1\\x^{6}&=x^{2}+2x+1\\x^{6}&=x^{4}+x+1\\x^{7}&=2x^{5}-1\\x^{7}&=2x^{4}+1\\x^{8}&=x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1\\x^{9}&=x^{6}+x^{4}+x^{2}+x+1\\x^{12}&=2x^{10}-x^{4}-1\\x^{14}&=4x^{9}+1\end{aligned}}

\rho ^{2}=1.754877666246692760049508896\cdots

{\begin{aligned}\rho &={\frac {2}{\sqrt {3}}}\cosh \left({\frac {1}{3}}\operatorname {arcosh} \left({\frac {3{\sqrt {3}}}{2}}\right)\right)\\&={\sqrt {1+{\cfrac {1}{\sqrt {1+{\cfrac {1}{\sqrt {1+{\cfrac {1}{\ddots }}}}}}}}}}\\&={\sqrt[{3}]{1+{\sqrt[{3}]{1+{\sqrt[{3}]{1+\cdots }}}}}}\end{aligned}}

\rho =\sum _{n=0}^{\infty }\rho ^{-5n}

および

\rho ^{2}=\sum _{n=0}^{\infty }\rho ^{-3n}

表話編歴代数的数
代数的整数チェビシェフ分点（英語版）作図可能数コンウェイの定数（英語版） ( $λ$ ) アイゼンシュタイン整数ガウス整数黄金数 ( $φ$ ) クンマー環ペロン数（英語版）ピゾ＝ヴィジャヤラガヴァン数（英語版）二次の無理数（英語版）有理数 ( $\mathbb {Q}$ ) 1の冪根サレム数白銀比 ( $δ S$ ) プラスチック数 ( $ρ$ ) $\sqrt 2$ $\sqrt 3$ $\sqrt 5$ $\sqrt 6$ $\sqrt 7$ $\sqrt 10$ $3 \sqrt 2$ $12 \sqrt 2$		$ℚ$
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