利用者:YasuakiH/Weibull distribution

英語版 Weibull distribution の 2021-10-03T15:36:27(UTC)版を翻訳のため転記

---

ワイブル分布

ワイブル (2パラメータ)

確率密度関数
累積分布関数
母数	$\lambda \in (0,+\infty )\,$ 尺度 $k\in (0,+\infty )\,$ 形状
台	$x\in [0,+\infty )\,$
確率密度関数	$f(x)={\begin{cases}{\frac {k}{\lambda }}\left({\frac {x}{\lambda }}\right)^{k-1}e^{-(x/\lambda )^{k}}&x\geq 0\\0&x<0\end{cases}}$
累積分布関数	${\begin{cases}1-e^{-(x/\lambda )^{k}}&x\geq 0\\0&x<0\end{cases}}$
期待値	$\lambda \,\Gamma (1+1/k)\,$
中央値	$\lambda (\ln 2)^{1/k}\,$
最頻値	${\begin{cases}\lambda \left({\frac {k-1}{k}}\right)^{1/k}\,&k>1\\0&k\leq 1\end{cases}}$
分散	$\lambda ^{2}\left[\Gamma \left(1+{\frac {2}{k}}\right)-\left(\Gamma ^{2}\left(1+{\frac {1}{k}}\right)\right)\right]\,$
歪度	${\frac {\Gamma (1+3/k)\lambda ^{3}-3\mu \sigma ^{2}-\mu ^{3}}{\sigma ^{3}}}$
尖度	(see text)
エントロピー	$\gamma (1-1/k)+\ln(\lambda /k)+1\,$
モーメント母関数	$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {t^{n}\lambda ^{n}}{n!}}\Gamma (1+n/k),\ k\geq 1$
特性関数	$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(it)^{n}\lambda ^{n}}{n!}}\Gamma (1+n/k)$

確率論や統計学では、ワイブル分布（ワイブルぶんぷ、英: weibull distribution）[ˈwaɪbʊl]とは、連続確率分布の一つである。これは、1951年に詳細に記述したスウェーデンの数学者ワロッディ・ワイブルにちなんで名付けられたが、最初にフレシェ（1927年）によって明らかにされ、Rosin & Rammler (1933)が粒度分布の記述に初めて適用した。

定義

標準的なパラメータ化

ワイブル確率変数の確率密度関数は次のようになる。

$f(x;\lambda ,k)={\begin{cases}{\frac {k}{\lambda }}\left({\frac {x}{\lambda }}\right)^{k-1}e^{-(x/\lambda )^{k}}&x\geq 0,\\0&x<0,\end{cases}}$

ここで、k > 0 は分布の形状パラメータ、λ > 0 は尺度パラメータである。その相補累積分布関数は伸張指数関数である。ワイブル分布は、他の多くの確率分布と関連しており、特に、指数分布（k = 1）とレイリー分布（k = 2 および $\lambda ={\sqrt {2}}\sigma$）の間を補完する。

量 X が「故障するまでの時間（time-to-failure）」である場合、ワイブル分布は、故障率が時間の累乗に比例する分布を与える。形状パラメータ k は、その累乗に1を加えたものであり、このパラメータは次のように直接解釈することができる。

• $k<1\,$の場合、故障率が時間とともに減少することを示している（リンディ効果の場合のように、ワイブル分布ではなくパレート分布に対応する）。これは「初期不良率」（infant mortality）が大きい場合や、不良品が早期に故障して、不良品が母集団から除去されるにつれて故障率が時間の経過とともに低下する場合に起こる。普及学の文脈では、これは否定的な口コミを意味する。そのハザード関数は、採用者の割合の単調に減少する関数である。
• $k=1\,$の場合、故障率が時間的に一定であることを示す。 これは、ランダムな外部事象が死亡または故障の原因になっていることを示唆している可能性がある。そのワイブル分布は指数分布になる。
• $k>1\,$の場合、故障率が時間とともに増加することを示す。これは、「経年劣化」のプロセスがある場合、または時間が経つにつれて故障しやすくなる部品がある場合に起こる。普及学の文脈では、これは肯定的な口コミを意味する。そのハザード関数は、採用者の割合が単調に増加する関数である。この関数は、最初は凸型で、次に $(e^{1/k}-1)/e^{1/k},\,k>1\,$ に変曲点がある凹型となる。

材料科学の分野では、強度分布の形状パラメータ k は、ワイブル係数 (英語版) として知られている。普及学の文脈では、ワイブル分布は「純粋な」模倣/不採用モデルである。

代替パラメータ化

医療統計学や計量経済学の分野では、異なるパラメータ化を採用することが多くある。形状パラメータ k は上記と同じであるが、尺度パラメータは $b=\lambda ^{-k}$ である。この場合、 x ≥ 0 に対して、確率密度関数は、

$f(x;k,b)=bkx^{k-1}e^{-bx^{k}},$

累積分布関数は、

$F(x;k,b)=1-e^{-bx^{k}},$

ハザード関数は、

$h(x;k,b)=bkx^{k-1},$

平均は、

$b^{-1/k}\Gamma (1+1/k)$

となる。また、3番目のパラメータ化も可能である。形状パラメータ k は標準的な場合と同じで、尺度パラメータ λ は比率パラメータ β = 1/λ に置き換えられている。そして、 x ≥ 0 に対して、確率密度関数は、

$f(x;k,\beta )=\beta k({\beta x})^{k-1}e^{-(\beta x)^{k}}$

累積分布関数は、

$F(x;k,\beta )=1-e^{-(\beta x)^{k}},$

ハザード関数は、

$h(x;k,\beta )=\beta k({\beta x})^{k-1}$

となる。

3つのパラメータ化すべてにおいて、ハザードは k < 1では減少し、k > 1 では増加し、k = 1 では一定であり、この場合、ワイブル分布は指数分布に減少する。

特性

密度関数

ワイブル分布の密度関数の形状は、k の値によって大きく変化する。0 < k < 1の場合、密度関数は x が高から 0 へと近づくにつれて ∞ になり、忠実に減少する。k = 1 の場合、密度関数は x が高から0へと近づくにつれて 1/λ に近づき、忠実に減少する。k > 1の場合、密度関数は x が高から0に近づくにつれて0になり、最頻値までは増加し、最頻値以降は減少する。この密度関数は、0 < k < 1 の場合は x = 0 で無限の負の勾配を持ち、1 < k < 2 の場合は x = 0 で無限の正の勾配を持ち、k > 2 の場合は x = 0 で無の勾配を持つ。k = 1 の場合、密度は x = 0 で有限の負の勾配を持つ。k = 2 の場合、密度は x = 0 で有限の正の勾配を持つ。k が無限大になると、ワイブル分布は x = λ を中心とするディラックのデルタ分布に収束する。さらに、歪度と変動係数は形状パラメータにのみ依存する。ワイブル分布の一般化は、タイプIIIの極値分布である。

累積分布関数

ワイブル分布の累積分布関数は、x ≥ 0の場合は

$F(x;k,\lambda )=1-e^{-(x/\lambda )^{k}}\,$

x < 0 の場合は、F(x; k; λ) = 0 となる。

x = λ の場合、すべての k の値に対して F(x; k; λ) = 1 − e⁻¹ ≈ 0.632 を満たす。逆に、F(x; k; λ) = 0.632 のとき、x ≈ λ となる。

ワイブル分布の分位点関数（逆累積分布）は、0 ≤ p < 1 の場合、

$Q(p;k,\lambda )=\lambda (-\ln(1-p))^{1/k}$

となる。

故障率 h（またはハザード関数）は、

$h(x;k,\lambda )={k \over \lambda }\left({x \over \lambda }\right)^{k-1}$

で与えられる。

平均故障間隔 MTBFは、

${\text{MTBF}}(k,\lambda )=\lambda \Gamma (1+1/k)$

である。

モーメント

ワイブル分布の確率変数の対数のモーメント母関数は、

$\operatorname {E} \left[e^{t\log X}\right]=\lambda ^{t}\Gamma \left({\frac {t}{k}}+1\right)$

で与えられ、ここに Γ はガンマ関数である。同様に、log X の特性関数は、

$\operatorname {E} \left[e^{it\log X}\right]=\lambda ^{it}\Gamma \left({\frac {it}{k}}+1\right)$

で与えられる。

特に、X の n 番目の素モーメントは、

$m_{n}=\lambda ^{n}\Gamma \left(1+{\frac {n}{k}}\right)$

で与えられる。

ワイブル確率変数の平均と分散は、

$\operatorname {E} (X)=\lambda \Gamma \left(1+{\frac {1}{k}}\right)\,$

と

$\operatorname {var} (X)=\lambda ^{2}\left[\Gamma \left(1+{\frac {2}{k}}\right)-\left(\Gamma \left(1+{\frac {1}{k}}\right)\right)^{2}\right]\,$

で表される。

歪度は、

$\gamma _{1}={\frac {\Gamma \left(1+{\frac {3}{k}}\right)\lambda ^{3}-3\mu \sigma ^{2}-\mu ^{3}}{\sigma ^{3}}}$

で与えられ、平均は μ 、標準偏差は σ で表される。

過剰尖度は、

$\gamma _{2}={\frac {-6\Gamma _{1}^{4}+12\Gamma _{1}^{2}\Gamma _{2}-3\Gamma _{2}^{2}-4\Gamma _{1}\Gamma _{3}+\Gamma _{4}}{[\Gamma _{2}-\Gamma _{1}^{2}]^{2}}}$

で与えられ、ここで $\Gamma _{i}=\Gamma (1+i/k)$ である。また、過剰尖度は、

$\gamma _{2}={\frac {\lambda ^{4}\Gamma (1+{\frac {4}{k}})-4\gamma _{1}\sigma ^{3}\mu -6\mu ^{2}\sigma ^{2}-\mu ^{4}}{\sigma ^{4}}}-3$

と書くこともできる。

モーメント母関数

X 自身のモーメント母関数には、さまざまな式がある。冪級数として、素モーメントはすでにわかっているので、

$\operatorname {E} \left[e^{tX}\right]=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {t^{n}\lambda ^{n}}{n!}}\Gamma \left(1+{\frac {n}{k}}\right)$

となる。

あるいは、積分

$\operatorname {E} \left[e^{tX}\right]=\int _{0}^{\infty }e^{tx}{\frac {k}{\lambda }}\left({\frac {x}{\lambda }}\right)^{k-1}e^{-(x/\lambda )^{k}}\,dx$

を直接扱うこともできる。パラメータ k を、k = p/q （ここで p と q は整数）と表わされる有理数と仮定すれば、この積分は解析的に評価することができる。t を −t に置き換えると、

$\operatorname {E} \left[e^{-tX}\right]={\frac {1}{\lambda ^{k}\,t^{k}}}\,{\frac {p^{k}\,{\sqrt {q/p}}}{({\sqrt {2\pi }})^{q+p-2}}}\,G_{p,q}^{\,q,p}\!\left(\left.{\begin{matrix}{\frac {1-k}{p}},{\frac {2-k}{p}},\dots ,{\frac {p-k}{p}}\\{\frac {0}{q}},{\frac {1}{q}},\dots ,{\frac {q-1}{q}}\end{matrix}}\;\right|\,{\frac {p^{p}}{\left(q\,\lambda ^{k}\,t^{k}\right)^{q}}}\right)$

が得られる。ここで G はマイヤーのG関数である。

特性関数は、Muraleedharan et al. (2007)によっても得られている。また、Muraleedharan & Soares (2014)は、3パラメータワイブル分布の特性関数とモーメント母関数を直接法で導出した。

シャノンエントロピー

情報エントロピーは、

$H(\lambda ,k)=\gamma \left(1-{\frac {1}{k}}\right)+\ln \left({\frac {\lambda }{k}}\right)+1$

で与えられ、ここで $\gamma$ はオイラー・マスケローニ定数である。ワイブル分布は、x^k の固定期待値が λ^k に等しく、ln(x^k) の固定期待値が ln(λ^k) − $\gamma$ に等しい非負の実確率変量の最大エントロピー分布である。

パラメータ推定

最大尤度

$k$ が与えられた時の $\lambda$ パラメータの最尤推定量は、

${\widehat {\lambda }}=({\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{k})^{\frac {1}{k}}$

である。

$k$ の最尤推定量は、次の式

$0={\frac {\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{k}\ln x_{i}}{\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{k}}}-{\frac {1}{k}}-{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\ln x_{i}$

の k の解となる。

この式は ${\widehat {k}}$ を陰伏的に定義しているので、一般には数値的に $k$ を解く必要がある。$x_{1}>x_{2}>\cdots >x_{N}$ が、$N$ 個以上のサンプルからなるデータセットからの $N$ 個の最大の観測サンプルである場合、$k$に対する $\lambda$ パラメータの最尤推定量は

${\widehat {\lambda }}^{k}={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}(x_{i}^{k}-x_{N}^{k})$

となる。

また、この条件では、$k$ の最尤推定値は、

$0={\frac {\sum _{i=1}^{N}(x_{i}^{k}\ln x_{i}-x_{N}^{k}\ln x_{N})}{\sum _{i=1}^{N}(x_{i}^{k}-x_{N}^{k})}}-{\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}\ln x_{i}$

となる。

繰り返すが、これは陰関数であるため、一般的には数値的な手段で $k$ を解かなければならない。

ワイブルプロット

ワイブル分布のデータへの適合性は、ワイブルプロットを用いて視覚的に評価することができる。ワイブルプロットは、データの経験累積分布関数${\widehat {F}}(x)$ の、Q-Qプロットのような特別な軸上へのプロットである。その軸は、$\ln(-\ln(1-{\widehat {F}}(x)))$ 対 $\ln(x)$ である。この変数変換の理由は、累積分布関数を線形化できるためである。

${\begin{aligned}F(x)&=1-e^{-(x/\lambda )^{k}}\\[4pt]-\ln(1-F(x))&=(x/\lambda )^{k}\\[4pt]\underbrace {\ln(-\ln(1-F(x)))} _{\textrm {'y'}}&=\underbrace {k\ln x} _{\textrm {'mx'}}-\underbrace {k\ln \lambda } _{\textrm {'c'}}\end{aligned}}$

このように、標準的な直線の形になることがわかる。したがって、データがワイブル分布であれば、ワイブルプロットでは直線が期待できる。データから経験分布関数を得るには、さまざまな方法がある。1つの方法は、${\widehat {F}}={\frac {i-0.3}{n+0.4}}$ を使って各点の垂直座標を求めるもので、ここに $i$ はデータ点のランク、$n$ はデータ点の数である。

線形回帰を使用して、適合度を数値的に評価し、ワイブル分布のパラメータを推定することもできる。勾配から形状パラメータ $k$ を直接知ることができ、尺度パラメータ $\lambda$ も推測できる。

カルバック・ライブラー情報量

→詳細は「カルバック・ライブラー情報量」を参照

$D_{\text{KL}}(\mathrm {Weib} _{1}\parallel \mathrm {Weib} _{2})=\log {\frac {k_{1}}{\lambda _{1}^{k_{1}}}}-\log {\frac {k_{2}}{\lambda _{2}^{k_{2}}}}+(k_{1}-k_{2})\left[\log \lambda _{1}-{\frac {\gamma }{k_{1}}}\right]+\left({\frac {\lambda _{1}}{\lambda _{2}}}\right)^{k_{2}}\Gamma \left({\frac {k_{2}}{k_{1}}}+1\right)-1$

応用

ワイブル分布を用いた応用を以下に示す。

CumFreqを用いて累積ワイブル分布を1日の最大降水量に適合させた。分布フィットも参照。

石油生産量の時系列データのフィッティング曲線。

• 生存分析

• 信頼性工学と故障解析

• 電気工学において、電気システムで発生する過電圧を表す。

• インダストリアル・エンジニアリングでは、製造時間や納期を表現する。

• 極値理論

• 天気予報や風力発電業界では、自然分布がワイブル形状と一致することが多いため、風速分布を表すのに使われる。

• 通信システム工学では、
  • レーダーシステムにおいて、いくつかの種類のクラッターによって生じる受信信号レベルの分散のモデル化や、
  • 無線通信におけるフェージングチャネルのモデル化において、ワイブル・フェージングモデルは、実験的なフェージングチャネル測定値によく適合すると考えられている。

• 情報検索において、ウェブページの滞在時間をモデル化する。

• 損害保険業界では、再保険請求の規模や、石綿症の損失による累積的影響をモデル化している。

• 技術的変化の予測（Sharif-Islamモデルとも呼ばれる）。

• 水文学では、ワイブル分布は、1日の最大降雨量や河川流量などの極端な事象に適用される。

• シェールオイル油井の石油生産率曲線をモデル化するための減衰曲線解析。

• 粉砕、製粉、破砕操作によって発生する粒子のサイズを記述するのに、2パラメータのワイブル分布が使用される。これらの用途では、ロジン・ラムラ－分布として知られる。この文脈では、対数正規分布よりも微細粒子を予測し、一般的には狭い粒度分布に対して最も正確である。累積分布関数の解釈としては、$F(x;k,\lambda )$ は $x$ より小さい直径を持つ粒子の質量分率である。ここに $\lambda$ は平均粒子径、$k$ は粒子径の広がりの尺度である。
  

• ランダムな点群（理想気体中の粒子の位置など）を記述する場合：特定の粒子から距離xにある最近接粒子を見つける確率は、$k=3$ で、粒子の密度に等しい $\rho =1/\lambda ^{3}$ を持つワイブル分布で与えられる。

関連する分布

• ワイブル分布は、一般化ガンマ分布で、両方の形状パラメータが k に等しい。

• 変形されたワイブル分布（または3パラメータワイブル）には、追加パラメータが含まれている。$x\geq \theta$ の場合は確率密度関数

  $f(x;k,\lambda ,\theta )={k \over \lambda }\left({x-\theta \over \lambda }\right)^{k-1}e^{-\left({x-\theta \over \lambda }\right)^{k}}\,$

  で、$x<\theta$ の場合は $f(x;k,\lambda ,\theta )=0$ となり、ここに $k>0$ は形状パラメータ、$\lambda >0$ は尺度パラメータ、$\theta$ は分布の位置パラメータである。$\theta$ の値は、通常のワイブルプロセスが始まる前の初期故障のない時間を設定する。$\theta =0$ の場合は、2パラメータ分布になる。

• ワイブル分布は、確率変数

  $X=\left({\frac {W}{\lambda }}\right)^{k}$

  が強度1の標準指数分布であるような確率変数 $W$ の分布として特徴づけることができる。

• このことは、ワイブル分布が一様分布の観点からも特徴づけられることを意味している。$U$ が $(0,1)$ 上の一様分布である場合、確率変数 $W=\lambda (-\ln(U))^{1/k}\,$ はパラメータ $k$ と $\lambda$ を持つワイブル分布となる。なお、ここでの $-\ln(U)$ は先ほどの $X$ と同等である。これにより、ワイブル分布をシミュレートするための数値計算スキームが簡単に実装できる。

• ワイブル分布は、$k=1$ の時の強度 $1/\lambda$ の指数分布と、$k=2$ の時のモード $\sigma =\lambda /{\sqrt {2}}$ のレイリー分布の間を補完するものである。

• ワイブル分布（通常、信頼性工学では十分である）は、3パラメータの指数型ワイブル分布の特殊なケースで、追加の指数が1に等しい。指数化ワイブル分布は、単峰性、バスタブ型、単調な故障率に対応する。

• ワイブル分布は、一般化極値分布の特殊なケースある。 この点について、この分布は、1927年にモーリス・フレシェによって初めて特定された。この研究にちなんで名付けられた密接に関係するフレシェ分布は、確率密度関数

  $f_{\rm {Frechet}}(x;k,\lambda )={\frac {k}{\lambda }}\left({\frac {x}{\lambda }}\right)^{-1-k}e^{-(x/\lambda )^{-k}}=-f_{\rm {Weibull}}(x;-k,\lambda )$

  を持つ。

• それぞれが異なるワイブル分布を持つ複数の確率変数の最小値として定義される確率変数の分布をポリ・ワイブル分布という。

• ワイブル分布は、Rosin & Rammler (1933) によって粒子径分布を記述するために初めて適用された。それは、選鉱工程において、粉砕 (en:英語版) プロセスにおける粒径分布を記述するために広く使用されている。この文脈では、累積分布は

  $f(x;P_{\rm {80}},m)={\begin{cases}1-e^{\ln \left(0.2\right)\left({\frac {x}{P_{\rm {80}}}}\right)^{m}}&x\geq 0,\\0&x<0,\end{cases}}$

  で与えられ、ここに、
  • $x$ は粒子径、
  • $P_{\rm {80}}$ は粒子径分布の80パーセンタイル、
  • $m$ は分布の広がりを表すパラメータである。

• 表計算ソフトで利用できるため、潜在的な挙動が実際にはアーラン分布でモデル化した方が適切な場合にも使用される。

• $X\sim \mathrm {Weibull} (\lambda ,{\frac {1}{2}})$ の場合、 ${\sqrt {X}}\sim \mathrm {Exponential} ({\frac {1}{\sqrt {\lambda }}})$ (指数分布)

• kの値が同じ場合、ガンマ分布は同様の形状を採るが、ワイブル分布はより広幅な分布になる。

• 安定計数分布の観点から、$k$ は Lévy の安定性パラメータと見なすことができる。ワイブル分布は、カーネル密度の積分に分解することができる。このカーネルは、ラプラス分布 $F(x;1,\lambda )$ またはレイリー分布 $F(x;2,\lambda )$ のいずれかで、

  $F(x;k,\lambda )={\begin{cases}\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {1}{\nu }}\,F(x;1,\lambda \nu )\left(\Gamma \left({\frac {1}{k}}+1\right){\mathfrak {N}}_{k}(\nu )\right)\,d\nu ,&1\geq k>0;{\text{or }}\\\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {1}{s}}\,F(x;2,{\sqrt {2}}\lambda s)\left({\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\,\Gamma \left({\frac {1}{k}}+1\right)V_{k}(s)\right)\,ds,&2\geq k>0;\end{cases}}$

  ここに、${\mathfrak {N}}_{k}(\nu )$ は安定計数分布、$V_{k}(s)$ は安定vol分布である。

関連項目

• Fisher–Tippett–Gnedenko theorem
• Logistic distribution
• Rosin–Rammler distribution for particle size analysis
• Rayleigh distribution
• Stable count distribution

参考書目

• Fréchet, Maurice (1927), “Sur la loi de probabilité de l'écart maximum”, Annales de la Société Polonaise de Mathématique, Cracovie 6: 93–116 .
• Johnson, Norman L.; Kotz, Samuel; Balakrishnan, N. (1994), Continuous univariate distributions. Vol. 1, Wiley Series in Probability and Mathematical Statistics: Applied Probability and Statistics (2nd ed.), New York: John Wiley & Sons, ISBN 978-0-471-58495-7, MR1299979 
• Mann, Nancy R.; Schafer, Ray E.; Singpurwalla, Nozer D. (1974), Methods for Statistical Analysis of Reliability and Life Data, Wiley Series in Probability and Mathematical Statistics: Applied Probability and Statistics (1st ed.), New York: John Wiley & Sons, ISBN 978-0-471-56737-0, https://archive.org/details/methodsforstatis00mann 
• Muraleedharan, G.; Rao, A.D.; Kurup, P.G.; Nair, N. Unnikrishnan; Sinha, Mourani (2007), “Modified Weibull Distribution for Maximum and Significant Wave Height Simulation and Prediction”, Coastal Engineering 54 (8): 630–638, doi:10.1016/j.coastaleng.2007.05.001 
• Rosin, P.; Rammler, E. (1933), “The Laws Governing the Fineness of Powdered Coal”, Journal of the Institute of Fuel 7: 29–36 .
• Sagias, N.C.; Karagiannidis, G.K. (2005). “Gaussian Class Multivariate Weibull Distributions: Theory and Applications in Fading Channels”. IEEE Transactions on Information Theory 51 (10): 3608–19. doi:10.1109/TIT.2005.855598. MR2237527. 
• Weibull, W. (1951), “A statistical distribution function of wide applicability”, Journal of Applied Mechanics 18 (3): 293–297, Bibcode: 1951JAM....18..293W, http://web.cecs.pdx.edu/~cgshirl/Documents/Weibull-ASME-Paper-1951.pdf .
• “Weibull Distribution”. Engineering statistics handbook. National Institute of Standards and Technology. (2008). http://www.itl.nist.gov/div898/handbook/eda/section3/eda3668.htm 
• Nelson Jr, Ralph (2008年2月5日). “Dispersing Powders in Liquids, Part 1, Chap 6: Particle Volume Distribution”. 2008年2月5日閲覧。

外部リンク

• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), “Weibull distribution”, Encyclopaedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4, http://eom.springer.de/p/w097370.htm 
• Mathpages – Weibull analysis
• The Weibull Distribution
• Reliability Analysis with Weibull
• Interactive graphic: Univariate Distribution Relationships
• Online Weibull Probability Plotting