対数正規分布

対数正規分布
	確率密度関数; ; μ = 0
	累積分布関数; ; μ = 0
母数	;
台
確率密度関数
累積分布関数
期待値
中央値
最頻値
分散
歪度
尖度
エントロピー
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確率論および統計学において、対数正規分布（たいすうせいきぶんぷ、英: log-normal distribution）は、連続確率分布の一種である。この分布に従う確率変数の対数をとったとき、対応する分布が正規分布に従うものとして定義される。そのため中心極限定理の乗法的な類似が成り立ち、独立同分布に従う確率変数の積は漸近的に対数正規分布に従う。

定義

平均 $μ$ と標準偏差 $σ > 0$ に対し、正の実数を値にとる確率変数 $X$ の確率密度関数 $f (x)$ が

f(x)={\frac {1}{{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}}}x}}\exp \left(-{\frac {(\ln x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right),\quad 0<x<\infty

で与えられるとき、確率変数 $X$ は対数正規分布に従うという。また、上記の確率密度分布に対応する対数正規分布を $Λ(μ, σ 2)$ と表記する^[1]。

このとき、対応する分布関数 $F (X)$ は

{\begin{aligned}F_{X}(x;\mu ,\sigma )&={\frac {1}{2}}\left[1+\operatorname {erf} \!\left({\frac {\ln x-\mu }{\sigma {\sqrt {2}}}}\right)\right]\\&={\frac {1}{2}}\operatorname {erfc} \!\left(-{\frac {\ln x-\mu }{\sigma {\sqrt {2}}}}\right)\\&=\Phi {\bigg (}{\frac {\ln x-\mu }{\sigma }}{\bigg )}\end{aligned}}

である。ただし、erfc は相補誤差関数、 $Φ$ は標準正規分布の分布関数である。

標準対数正規分布

特に $μ = 0$ , $σ 2 = 1$ のとき、この分布は標準対数正規分布と呼ばれる。

つまり標準対数正規分布 $Λ(0, 1)$ は

f(x)={\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}x}}\exp \!\left(-{\frac {(\ln x)^{2}}{2}}\right)

なる確率密度関数を持つ確率分布として与えられる。

正規分布との関係

対数正規分布という名は、対数正規分布 $Λ(μ, σ 2)$ に従う確率変数 $X$ の対数関数を取ったときに、新たな確率変数 $Y = ln X$ が正規分布 $N(μ, σ 2)$ に従うことに由来する。また、正規分布に従う確率変数が負の値を取りうるのに対して、対数正規分布に従う確率変数は正の値のみ取るという性質を有する。

性質

平均・分散

対数正規分布 $Λ(μ, σ 2)$ に従う確率変数 $X$ に対し、平均 $E(x)$ および分散 $V(x)$ はそれぞれ以下で与えられる。

{\begin{aligned}\operatorname {E} (X)&=e^{\mu +\sigma ^{2}/2},\\\operatorname {V} (X)&=e^{2\mu +\sigma ^{2}}(e^{\sigma ^{2}}-1).\end{aligned}}

再生性

対数正規分布 $Λ(μ 1, σ 12)$ に従う確率変数 $X$ と対数正規分布 $Λ(μ 2, σ 22)$ に従う確率変数 $Y$ が互いに独立であるとき、確率変数の積 $XY$ は対数正規分布 $Λ(μ 1 + μ 2, σ 12 + σ 22)$ に従う。

この性質は正規分布が再生性を有することから導かれる。

中心極限定理の類似

正の値を取る独立同分布に従う確率変数 $X 1, \dots, X n$ が条件

{\begin{aligned}\mu &=\operatorname {E} (\ln X_{i})<\infty \\\sigma ^{2}&=\operatorname {V} (\ln X_{i})<\infty \end{aligned}}

を満たすならば、積 $X 1 \dots X n$ は漸近的に対数正規分布 $Λ(nμ, nσ 2)$ に従う^[2]。

$n$ 次対数正規分布

エスペンシェイドらによって提案された次の分布 $f n (x)$ を $n$ 次対数正規分布 ( $n$ -th order log-normal distribution) という^[3]：

f_{n}(x)=c_{n}x^{n}\exp \left(-{\frac {(\ln x-\ln \mu )^{2}}{2(\ln \sigma )^{2}}}\right)

ここで、 $μ, σ$ はそれぞれ平均、分散に関する値、 $c n$ は正規化のための定数で

c_{n}^{-1}={\sqrt {2\pi }}\ln \sigma \mu ^{n+1}\exp \left({\frac {(n+1)^{2}(\ln \sigma )^{2}}{2}}\right)

である。通常の対数正規分布は $n = -1$ 次の場合に相当する。

0次対数正規分布

特に0次対数正規分布 (ZOLD)：

f_{0}(x)={\frac {\exp \left(-{\dfrac {(\ln x-\ln \mu )^{2}}{2(\ln \sigma )^{2}}}\right)}{{\sqrt {2\pi }}\ln \sigma \mu \exp \left({\dfrac {(\ln \sigma )^{2}}{2}}\right)}}

は、最頻値が $μ$ に等しく、 $σ$ に依存しないことから感覚的な理解が容易で、物理学の分野で用いられることがある。

脚注

^ Crow & Shimizu 1988, p. 2.
^ Crow & Shimizu 1988, p. 5.
^ 高橋幹二著、日本エアロゾル学会編『エアロゾル学の基礎』森北出版、2003年、124頁。ISBN 4-627-67251-9。

参考文献

蓑谷千凰彦『統計分布ハンドブック』朝倉書店、2003年。
Crow, Edwin L.; Shimizu, Kunio (1988). Lognormal distributions. Statistics: Textbooks and Monographs. 88. Marcel Dekker. ISBN 0-8247-7803-0. MR0939191. Zbl 0644.62014

表話編歴確率分布
離散単変量で有限台	ベンフォードベルヌーイベータ二項（英語版）二項 categorical（英語版）超幾何ポワソン二項ラーデマッハ（英語版）離散一様ジップジップ–マンデルブロー（英語版）
離散単変量で無限台	ベータ負二項（英語版）ボレル（英語版）コンウェイ–マクスウェル–ポワソン（英語版）離散位相型（英語版）ドラポルト（英語版）拡張負二項（英語版）ガウス–クズミン幾何対数（英語版）負の二項放物フラクタル（英語版）ポワソンスケラム（英語版）ユール–サイモン（英語版）ゼータ（英語版）
連続単変量で有界区間に台を持つ	逆正弦（英語版） ARGUS（英語版）バルディング–ニコルス（英語版）ベイツ（英語版）ベータ beta rectangular（英語版）アーウィン–ホール（英語版）クマラスワミー（英語版）ロジット-正規（英語版）非中心ベータ（英語版） raised cosine（英語版） reciprocal（英語版）三角 U-quadratic（英語版）一様ウィグナー半円
連続単変量で半無限区間に台を持つ	ベニーニ（英語版）ベンクタンダー第一種（英語版）ベンクタンダー第二種（英語版）第2種ベータ Burr（英語版）カイ二乗カイ（英語版） Dagum（英語版）デービス（英語版）指数-対数（英語版）アーラン指数 F folded normal（英語版） Flory–Schulz（英語版）フレシェガンマ gamma/Gompertz（英語版）一般逆ガウス（英語版） Gompertz（英語版） half-logistic（英語版） half-normal（英語版） Hotelling's T-squared（英語版）超アーラン（英語版）超指数（英語版） hypoexponential（英語版）逆カイ二乗（英語版） scaled inverse chi-squared（英語版）逆ガウス逆ガンマコルモゴロフレヴィ対数コーシー対数ラプラス（英語版）対数ロジスティック（英語版）対数正規ロマックス（英語版）行列指数（英語版）マクスウェル–ボルツマンマクスウェル–ユットナー（英語版）ミッタク-レフラー（英語版）仲上（英語版）非心カイ二乗パレート位相型（英語版） poly-Weibull（英語版）レイリー relativistic Breit–Wigner（英語版）ライス（英語版） shifted Gompertz（英語版）切断正規タイプ2ガンベル（英語版）ワイブル離散ワイブル（英語版）ウィルクスのラムダ（英語版）
連続単変量で実数直線全体に台を持つ	コーシー（ローレンツ、ブライト・ウィグナー）指数冪（英語版）フィッシャーの z（英語版）ガウスの q（英語版）一般正規（英語版）一般化双曲型幾何安定（英語版）ガンベルホルツマルク（英語版）双曲線正割ジョンソンの S_U（英語版）ランダウラプラス非対称ラプラス（英語版）ロジスティック非心 t 正規 (ガウス) 正規逆ガウス（英語版）歪正規（英語版）スラッシュ安定スチューデントの t タイプ1ガンベル（英語版）トレイシー–ウィダム（英語版）分散ガンマ（英語版）フォークト
連続単変量でタイプの変わる台を持つ	一般極値一般パレート（英語版）マルチェンコ–パストゥール（英語版） q-指数（英語版） q-ガウス q-ワイブル（英語版） shifted log-logistic（英語版）トゥーキーのラムダ（英語版）
混連続-離散単変量	rectified Gaussian（英語版）
多変量 (結合)	【離散】エウェンズ（英語版）多項ディリクレ多項（英語版）負多項（英語版）【連続】ディリクレ一般ディリクレ（英語版）多変量正規多変量安定（英語版）多変量 t（英語版）正規逆ガンマ（英語版）正規ガンマ（英語版）【行列値】逆行列ガンマ（英語版）逆ウィッシャート（英語版）行列正規（英語版）行列 t（英語版）行列ガンマ（英語版）正規逆ウィッシャート（英語版）正規ウィッシャート（英語版）ウィッシャート
方向	【単変量 (円周) 方向】円周一様（英語版）単変数フォン・ミーゼス wrapped 正規（英語版） wrapped コーシー（英語版） wrapped 指数（英語版） wrapped 非対称ラプラス（英語版） wrapped レヴィ（英語版）【二変量 (球面)】ケント（英語版）【二変量 (トロイダル)】二変数フォン・ミーゼス（英語版）【多変量】フォン・ミーゼス–フィッシャー（英語版）ビンガム（英語版）
退化と特異	【退化】ディラックのデルタ関数【特異】カントール
族	円周（英語版）混合ポワソン（英語版）楕円（英語版）指数自然指数（英語版）位置尺度（英語版）最大エントロピー（英語版）混合（英語版）ピアソン（英語版）トウィーディ（英語版） wrapped（英語版）
サンプリング法（英語版）	逆関数サンプリング法マルコフ連鎖モンテカルロ法（メトロポリス・ヘイスティングス法・ギブスサンプリング・スライスサンプリング）粒子フィルタボックス＝ミュラー法棄却サンプリング（英語版）ジッグラト法（英語版）マルサグリア法（英語版）
一覧（英語版）カテゴリ

対数正規分布
確率密度関数 $μ = 0$
累積分布関数 $μ = 0$
母数	$\mu \in \mathbb {R}$ $\sigma >0$
台	$(0,\infty )$
確率密度関数	$f(x)={\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}\sigma x}}\exp \left(-{\frac {(\ln {x}-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)$
累積分布関数	${\frac {1}{2}}\operatorname {erfc} \!\left[-{\frac {\ln x-\mu }{{\sqrt {2}}\sigma }}\right]$
期待値	$e^{\mu +\sigma ^{2}/2}$
中央値	$e^{\mu }$
最頻値	$e^{\mu -\sigma ^{2}}$
分散	$e^{2\mu +\sigma ^{2}}(e^{\sigma ^{2}}-1)$
歪度	${\sqrt {e^{\sigma ^{2}}-1}}(e^{\sigma ^{2}}+2)$
尖度	$e^{4\sigma ^{2}}+2e^{3\sigma ^{2}}+3e^{2\sigma ^{2}}-6$
エントロピー	${\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\ln {(2\pi \sigma ^{2})}+\mu$
モーメント母関数	-
特性関数	-
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定義