米田の補題

米田の補題（よねだのほだい、英: Yoneda lemma）とは、小さなhom集合をもつ圏 $C$ について、共変hom関手 $hom(A, _) : C \to Set$ から集合値関手 $F : C \to Set$ への自然変換と、集合である対象 $F (A)$ の要素との間に一対一対応が存在するという定理である。名称は米田信夫に因む。

概要

$C$ を局所的に小さい（locally small）圏とする。すなわち $C$ の各対象 $A$ , $B$ に対して $hom(A, B)$ は集合であるとする。対象 $A$ を固定するとき、共変hom関手 $h A = hom(A, _) : C \to Set$ は対象 $X$ に対して、集合 $hom(A, X)$ を割り当て、射 $f : X \to Y$ に対して写像 $hom(A, f) = f ◦ (_) : hom(A, X) \to hom(A, Y)$ を割り当てる関手であった。

さらに、 $F : C \to Set$ を集合値関手とし、 $h A$ から $F$ へのすべての自然変換のクラス $Nat(h A, F)$ について考える。

このとき、米田写像（Yoneda map）と呼ばれる全単射

y : Nat(h A, F) ≃ F (A)

が存在するというのが米田の補題である。

証明

$θ$ を $C$ の各対象 $X$ に $Set$ の射 $θ X : hom(A, X) \to F (X)$ を割り当てる関数とするとき、 $θ$ が $h A$ から $F$ への自然変換であるというのは、 $C$ の任意の射 $f : X \to Y$ に対して

θ Y ◦ hom(A, f) = F (f) ◦ θ X

が成り立つことであった。これは Set の射 $hom(A, X) \to F (Y)$ の等式なので、言い換えると任意の $hom(A, X)$ の元 $g : A \to X$ において等しい値

(θ Y ◦ hom(A, f))(g) = (F (f) ◦ θ X)(g)

を持つこととなる。hom関手の定義より、結局 $θ$ が自然変換であるための必要十分条件は、任意の射 $f : X \to Y$ と $g : A \to X$ に対して、

θ Y (f ◦ g) = F (f)(θ X (g))

が成り立つことである。特に、 $θ$ が自然変換であるときに $g = id A$ を選ぶと、任意の射 $f : A \to Y$ に対して、

θ Y (f) = F (f)(θ A (id A))

であることが分かる。

米田写像 $y$ を自然変換 $θ$ に対して

y (θ) = θ A (id A)

で定める。 $y$ が全単射であることを示す。

(単射性) $a ∊ F (A)$ に対して、自然変換 $θ$ が存在して $y (θ) = a$ であったとする。このとき、任意の射 $f : A \to Y$ に対して $θ$ は

θ Y (f) = F (f)(a)

を満たす。これにより $θ$ の各コンポーネントが一意に定まるため、 $y$ は単射である。

(全射性) $a ∊ F (A)$ を任意に固定する。このとき、 $C$ の対象 $X$ それぞれに対して写像 $τ X : hom(A, X) \to F (X)$ を以下で定義する：

τ X (f) := F (f)(a)

このとき、任意の射 $f : X \to Y$ と $g : A \to X$ に対して

τ Y (f ◦ g) = F (f ◦ g)(a) = F (f)(F (g)(a)) = F (f)(τ X (g))

が成り立つことから、 $τ X$ を各コンポーネントとする自然変換 $τ$ の存在が示される。定義から $τ A (id A) = a$ であるため $y (τ) = a$ が成り立つ。

圏の完備化

$C$ を局所的に小さな圏とする。C から関手圏 $Set C$ への関手 $h (_) : C op \to Set C$

（対象関数）

h A = hom(A, _)

　共変hom関手

（射関数）　

h f op : B \to A = hom(A, _)

{\dot {\rightarrow }}

hom(B, _)

　共変hom関手間の自然変換

をグロタンディーク関手（Grothendieck functor）と呼ぶ^[1]。

ここで、共変hom関手の間の自然変換について

y : Nat(h A, h B) ≃ h B (A) = hom C (B, A)

が、米田の補題から成り立つ。ここで、関手圏の射が自然変換であったことから

Nat(h A, h B) = hom Set C (h A, h B)

とhom集合で書きなおすことができ、C のhom集合と $Set C$ のhom集合との間に全単射

hom C (B, A) ≃ hom Set C (h A, h B)

が存在することがわかる。すなわち、グロタンディーク関手 $h$ は充満忠実である。

脚注

[脚注の使い方]

^ Encyclopedia of Mathematics : Grothendieck functor　ただし、添字の上下はリンク先と便宜上、反対にした。

米田の補題

概要

証明

圏の完備化

脚注

参考文献

関連項目