三十七角形

正三十七角形

三十七角形（さんじゅうしちかくけい、さんじゅうななかっけい、triacontaheptagon）は、多角形の一つで、37本の辺と37個の頂点を持つ図形である。内角の和は6300°、対角線の本数は629本である。

正三十七角形

正三十七角形においては、中心角と外角は9.729…°で、内角は170.27…°となる。一辺の長さが a の正三十七角形の面積 S は

$S={\frac {37}{4}}a^{2}\cot {\frac {\pi }{37}}\simeq 108.67963a^{2}$

$\cos(2\pi /37)$を平方根と立方根で表すことが可能であるが、三次方程式→三次方程式（2つ）→二次方程式と解く必要がある。

以下には、中間結果（三次方程式を1回解いた際の関係式）を示す。

${\begin{aligned}\lambda _{1}=&2\cos {\frac {2\pi }{37}}+2\cos {\frac {12\pi }{37}}+2\cos {\frac {16\pi }{37}}+2\cos {\frac {20\pi }{37}}+2\cos {\frac {22\pi }{37}}+2\cos {\frac {28\pi }{37}}=-{\frac {1}{3}}+{\frac {\sqrt {37}}{3}}{\sqrt[{3}]{\frac {-11+3{\sqrt {3}}i}{2{\sqrt {37}}}}}\omega ^{2}+{\frac {\sqrt {37}}{3}}{\sqrt[{3}]{\frac {-11-3{\sqrt {3}}i}{2{\sqrt {37}}}}}\omega \\\lambda _{2}=&2\cos {\frac {4\pi }{37}}+2\cos {\frac {18\pi }{37}}+2\cos {\frac {24\pi }{37}}+2\cos {\frac {30\pi }{37}}+2\cos {\frac {32\pi }{37}}+2\cos {\frac {34\pi }{37}}=-{\frac {1}{3}}+{\frac {\sqrt {37}}{3}}{\sqrt[{3}]{\frac {-11+3{\sqrt {3}}i}{2{\sqrt {37}}}}}\omega +{\frac {\sqrt {37}}{3}}{\sqrt[{3}]{\frac {-11-3{\sqrt {3}}i}{2{\sqrt {37}}}}}\omega ^{2}\\\lambda _{3}=&2\cos {\frac {6\pi }{37}}+2\cos {\frac {8\pi }{37}}+2\cos {\frac {10\pi }{37}}+2\cos {\frac {14\pi }{37}}+2\cos {\frac {26\pi }{37}}+2\cos {\frac {36\pi }{37}}=-{\frac {1}{3}}+{\frac {\sqrt {37}}{3}}{\sqrt[{3}]{\frac {-11+3{\sqrt {3}}i}{2{\sqrt {37}}}}}+{\frac {\sqrt {37}}{3}}{\sqrt[{3}]{\frac {-11-3{\sqrt {3}}i}{2{\sqrt {37}}}}}\\\end{aligned}}$

各式を3つの組に分ける。$\cos {\frac {k\pi }{37}}$と$\cos {\frac {2^{9}k\pi }{37}}\left(=\cos {\frac {-6k\pi }{37}}\right)$

${\begin{aligned}\lambda _{1}=&\left(2\cos {\frac {2\pi }{37}}+2\cos {\frac {12\pi }{37}}\right)+\left(2\cos {\frac {20\pi }{37}}+2\cos {\frac {28\pi }{37}}\right)+\left(2\cos {\frac {16\pi }{37}}+2\cos {\frac {22\pi }{37}}\right)=u_{1}+u_{2}+u_{3}\\\lambda _{2}=&\left(2\cos {\frac {4\pi }{37}}+2\cos {\frac {24\pi }{37}}\right)+\left(2\cos {\frac {30\pi }{37}}+2\cos {\frac {32\pi }{37}}\right)+\left(2\cos {\frac {18\pi }{37}}+2\cos {\frac {34\pi }{37}}\right)=v_{1}+v_{2}+v_{3}\\\lambda _{3}=&\left(2\cos {\frac {10\pi }{37}}+2\cos {\frac {14\pi }{37}}\right)+\left(2\cos {\frac {6\pi }{37}}+2\cos {\frac {36\pi }{37}}\right)+\left(2\cos {\frac {8\pi }{37}}+2\cos {\frac {26\pi }{37}}\right)=w_{1}+w_{2}+w_{3}\\\end{aligned}}$

和積公式で変形する。また、$\cos(\pi -\theta )=-\cos \theta$ の関係を使って変形する。

${\begin{aligned}\lambda _{1}=&\left(2\cos {\frac {30\pi }{37}}\cdot 2\cos {\frac {32\pi }{37}}\right)+\left(2\cos {\frac {4\pi }{37}}\cdot 2\cos {\frac {24\pi }{37}}\right)+\left(2\cos {\frac {18\pi }{37}}\cdot 2\cos {\frac {34\pi }{37}}\right)=u_{1}+u_{2}+u_{3}\\\lambda _{2}=&\left(2\cos {\frac {10\pi }{37}}\cdot 2\cos {\frac {14\pi }{37}}\right)+\left(2\cos {\frac {6\pi }{37}}\cdot 2\cos {\frac {36\pi }{37}}\right)+\left(2\cos {\frac {8\pi }{37}}\cdot 2\cos {\frac {26\pi }{37}}\right)=v_{1}+v_{2}+v_{3}\\\lambda _{3}=&\left(2\cos {\frac {2\pi }{37}}\cdot 2\cos {\frac {12\pi }{37}}\right)+\left(2\cos {\frac {16\pi }{37}}\cdot 2\cos {\frac {22\pi }{37}}\right)+\left(2\cos {\frac {20\pi }{37}}\cdot 2\cos {\frac {28\pi }{37}}\right)=w_{1}+w_{2}+w_{3}\\\end{aligned}}$

解と係数の関係を使って二次方程式を解くと

$\cos {\frac {2\pi }{37}}={\frac {u_{1}+{\sqrt {u_{1}^{2}-4w_{1}}}}{4}}$

ここで、$u_{1},w_{1}$は以下の三次方程式の解である。

$u^{3}-\lambda _{1}u^{2}+(\lambda _{2}-1)u+(\lambda _{1}-2)=0$

$w^{3}-\lambda _{3}w^{2}+(\lambda _{1}-1)w+(\lambda _{3}-2)=0$

三角関数、逆三角関数を用いた解は

$u_{1}={\frac {\lambda _{1}}{3}}+{\frac {2{\sqrt {11-2\lambda _{1}-2\lambda _{2}}}}{3}}\cdot \cos \left({\frac {1}{3}}\arccos {\frac {111-4\lambda _{1}-9\lambda _{2}}{62{\sqrt {11-2\lambda _{1}-2\lambda _{2}}}}}\right)$

$w_{1}={\frac {\lambda _{3}}{3}}+{\frac {2{\sqrt {11-2\lambda _{3}-2\lambda _{1}}}}{3}}\cdot \cos \left({\frac {1}{3}}\arccos {\frac {111-4\lambda _{3}-9\lambda _{1}}{62{\sqrt {11-2\lambda _{3}-2\lambda _{1}}}}}\right)$

平方根、立方根で表すと

${\begin{aligned}u_{1}={\frac {\lambda _{1}}{3}}+{\frac {2{\sqrt {11-2\lambda _{1}-2\lambda _{2}}}}{3}}{\sqrt[{3}]{{\frac {111-4\lambda _{1}-9\lambda _{2}}{62{\sqrt {11-2\lambda _{1}-2\lambda _{2}}}}}+i{\frac {\sqrt {27(1092-253\lambda _{1}-205\lambda _{2})}}{62{\sqrt {11-2\lambda _{1}-2\lambda _{2}}}}}}}\\+{\frac {2{\sqrt {11-2\lambda _{1}-2\lambda _{2}}}}{3}}{\sqrt[{3}]{{\frac {111-4\lambda _{1}-9\lambda _{2}}{62{\sqrt {11-2\lambda _{1}-2\lambda _{2}}}}}-i{\frac {\sqrt {27(1092-253\lambda _{1}-205\lambda _{2})}}{62{\sqrt {11-2\lambda _{1}-2\lambda _{2}}}}}}}\end{aligned}}$

${\begin{aligned}w_{1}={\frac {\lambda _{3}}{3}}+{\frac {2{\sqrt {11-2\lambda _{3}-2\lambda _{1}}}}{3}}{\sqrt[{3}]{{\frac {111-4\lambda _{3}-9\lambda _{1}}{62{\sqrt {11-2\lambda _{3}-2\lambda _{1}}}}}+i{\frac {\sqrt {27(1092-253\lambda _{3}-205\lambda _{1})}}{62{\sqrt {11-2\lambda _{3}-2\lambda _{1}}}}}}}\\+{\frac {2{\sqrt {11-2\lambda _{3}-2\lambda _{1}}}}{3}}{\sqrt[{3}]{{\frac {111-4\lambda _{3}-9\lambda _{1}}{62{\sqrt {11-2\lambda _{3}-2\lambda _{1}}}}}-i{\frac {\sqrt {27(1092-253\lambda _{3}-205\lambda _{1})}}{62{\sqrt {11-2\lambda _{3}-2\lambda _{1}}}}}}}\end{aligned}}$

正三十七角形の作図

正三十七角形は定規とコンパスによる作図が不可能な図形である。

正三十七角形は折紙により作図可能である。

外部リンク

• z^37=1 の解法 | てっぃちMarshの数学（Mathematics)教室