四角形
A
B
C
D
{\displaystyle ABCD}
E
F
G
H
{\displaystyle EFGH}
双心四角形 （そうしんしかっけい、英 : Bicentric Quadrilateral, chord-tangent, quadrilateralinscribed and circumscribed quadrilateral [ 1] 外接円 と内接円 の両方をもつ四角形 のことである。双心多角形 の一種。
ポンスレの閉形定理 より、ある二円についての双心四角形が一つ見つかれば、そのような四角形は無数に存在する[ 2]
直角凧形 双心四角形の一つに正方形 、直角凧形 、円に外接する等脚台形 などがある。
4辺が a , b , c , d である双心四角形ABCD の面積は次の公式で表される。
S
=
a
b
c
d
{\displaystyle S={\sqrt {abcd}}}
より一般に、内接円を持つ四角形 ABCD の面積は、
t
=
A
+
C
2
{\displaystyle t={\frac {A+C}{2}}}
S
=
a
b
c
d
sin
t
{\displaystyle S={\sqrt {abcd}}\sin t}
双心四角形に対する公式は、t = 90°
双心四角形ABCD において、外接円を持つことからブラーマグプタの公式 が使えて、次の式が成り立つ。
S
=
(
s
−
a
)
(
s
−
b
)
(
s
−
c
)
(
s
−
d
)
{\displaystyle S={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}}}
ただし
s
=
a
+
b
+
c
+
d
2
{\displaystyle s={\frac {a+b+c+d}{2}}}
半周長 ） 内接円を持つ四角形の対辺の和は等しいので
a + c = b + d = s したがって
s − a = c s − c = a s − b = d s − d = b ゆえに
S
=
a
b
c
d
{\displaystyle S={\sqrt {abcd}}}
（証終）
外接円を持つとは限らない一般の場合の公式は、ブレートシュナイダーの公式 を用いて同様に示せる。
またA,B,C,Dに対する接線長 をe,f,g,h 、内心 をI 、対角線 の成す角をθ などとすれば次のように書ける[ 3] [ 4] [ 5]
K
=
e
f
g
h
4
(
e
+
f
+
g
+
h
)
.
{\displaystyle K={\sqrt[{4}]{efgh}}(e+f+g+h).}
K
=
A
I
¯
⋅
C
I
¯
+
B
I
¯
⋅
D
I
¯
.
{\displaystyle K={\overline {AI}}\cdot {\overline {CI}}+{\overline {BI}}\cdot {\overline {DI}}.}
K
=
r
(
r
+
4
R
2
+
r
2
)
sin
θ
{\displaystyle K=r(r+{\sqrt {4R^{2}+r^{2}}})\sin \theta }
ただし、r,R はそれぞれ内半径 と外半径 。
面積の関係する不等式には以下の様なものがある[ 6]
4
r
2
≤
K
≤
2
R
2
.
{\displaystyle \displaystyle 4r^{2}\leq K\leq 2R^{2}.}
K
≤
4
3
r
4
R
2
+
r
2
{\displaystyle K\leq {\tfrac {4}{3}}r{\sqrt {4R^{2}+r^{2}}}}
2
K
≤
s
≤
r
+
r
2
+
4
R
2
;
{\displaystyle 2{\sqrt {K}}\leq s\leq r+{\sqrt {r^{2}+4R^{2}}};}
凧形 。
角の三角関数 について、以下の式が成り立つ[ 4] [ 7] [ 8]
tan
A
2
=
b
c
a
d
=
cot
C
2
,
tan
B
2
=
c
d
a
b
=
cot
D
2
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\tan {\frac {A}{2}}&={\sqrt {\frac {bc}{ad}}}=\cot {\frac {C}{2}},\\\tan {\frac {B}{2}}&={\sqrt {\frac {cd}{ab}}}=\cot {\frac {D}{2}}.\end{aligned}}}
sin
A
2
=
b
c
a
d
+
b
c
=
cos
C
2
,
cos
A
2
=
a
d
a
d
+
b
c
=
sin
C
2
,
sin
B
2
=
c
d
a
b
+
c
d
=
cos
D
2
,
cos
B
2
=
a
b
a
b
+
c
d
=
sin
D
2
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\sin {\frac {A}{2}}&={\sqrt {\frac {bc}{ad+bc}}}=\cos {\frac {C}{2}},\\\cos {\frac {A}{2}}&={\sqrt {\frac {ad}{ad+bc}}}=\sin {\frac {C}{2}},\\\sin {\frac {B}{2}}&={\sqrt {\frac {cd}{ab+cd}}}=\cos {\frac {D}{2}},\\\cos {\frac {B}{2}}&={\sqrt {\frac {ab}{ab+cd}}}=\sin {\frac {D}{2}}.\end{aligned}}}
tan
θ
2
=
b
d
a
c
.
{\displaystyle \displaystyle \tan {\frac {\theta }{2}}={\sqrt {\frac {bd}{ac}}}.}
ファスの定理（Fuss's theorem） 外接円の半径を R 、内接円の半径を r 、外接円の中心と内接円の中心の距離を d としたとき、
1
(
R
−
d
)
2
+
1
(
R
+
d
)
2
=
1
r
2
,
{\displaystyle {\frac {1}{(R-d)^{2}}}+{\frac {1}{(R+d)^{2}}}={\frac {1}{r^{2}}},}
または
2
r
2
(
R
2
+
d
2
)
=
(
R
2
−
d
2
)
2
{\displaystyle 2r^{2}(R^{2}+d^{2})=(R^{2}-d^{2})^{2}}
が成り立つ[ 1] [ 9] [ 10] ニコラス・ファス （英語版 ）
とくにdについて整理すれば
d
=
R
2
+
r
2
−
r
4
R
2
+
r
2
.
{\displaystyle d={\sqrt {R^{2}+r^{2}-r{\sqrt {4R^{2}+r^{2}}}}}.}
を得る。これはオイラーの定理 の拡張である。また、この式を満たすd,r,R が存在すれば四角形についてポンスレの閉形定理 が成立する。
Leonard Carlitz (Leonard Carlitz によれば、次の式が成り立つ[ 11]
d
2
=
R
2
−
2
R
r
⋅
μ
{\displaystyle \displaystyle d^{2}=R^{2}-2Rr\cdot \mu }
ただし
μ
=
(
a
b
+
c
d
)
(
a
d
+
b
c
)
(
a
+
c
)
2
(
a
c
+
b
d
)
=
(
a
b
+
c
d
)
(
a
d
+
b
c
)
(
b
+
d
)
2
(
a
c
+
b
d
)
{\displaystyle \displaystyle \mu ={\sqrt {\frac {(ab+cd)(ad+bc)}{(a+c)^{2}(ac+bd)}}}={\sqrt {\frac {(ab+cd)(ad+bc)}{(b+d)^{2}(ac+bd)}}}}
A,B,C,D の接線長をe,f,g,h とすると以下の不等式が成立する[ 12]
4
r
≤
e
+
f
+
g
+
h
≤
4
r
⋅
R
2
+
x
2
R
2
−
x
2
{\displaystyle 4r\leq e+f+g+h\leq 4r\cdot {\frac {R^{2}+x^{2}}{R^{2}-x^{2}}}}
4
r
2
≤
e
2
+
f
2
+
g
2
+
h
2
≤
4
(
R
2
+
x
2
−
r
2
)
{\displaystyle 4r^{2}\leq e^{2}+f^{2}+g^{2}+h^{2}\leq 4(R^{2}+x^{2}-r^{2})}
同様に辺a,b,c,d でも以下の不等式が成立する[ 12]
8
r
≤
a
+
b
+
c
+
d
≤
8
r
⋅
R
2
+
x
2
R
2
−
x
2
{\displaystyle 8r\leq a+b+c+d\leq 8r\cdot {\frac {R^{2}+x^{2}}{R^{2}-x^{2}}}}
4
(
R
2
−
x
2
+
2
r
2
)
≤
a
2
+
b
2
+
c
2
+
d
2
≤
4
(
3
R
2
−
2
r
2
)
.
{\displaystyle 4(R^{2}-x^{2}+2r^{2})\leq a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}\leq 4(3R^{2}-2r^{2}).}
双心四角形の内心 、外心 、対角線の交点は共線 である[ 13]
内接円の半径と、内心と各頂点の距離について
1
A
I
¯
2
+
1
C
I
¯
2
=
1
B
I
¯
2
+
1
D
I
¯
2
=
1
r
2
{\displaystyle {\frac {1}{{\overline {AI}}^{2}}}+{\frac {1}{{\overline {CI}}^{2}}}={\frac {1}{{\overline {BI}}^{2}}}+{\frac {1}{{\overline {DI}}^{2}}}={\frac {1}{r^{2}}}}
[ 14]
また、対角線の交点をP と置けば、
A
P
¯
C
P
¯
=
A
I
¯
2
C
I
¯
2
.
{\displaystyle {\frac {\overline {AP}}{\overline {CP}}}={\frac {{\overline {AI}}^{2}}{{\overline {CI}}^{2}}}.}
[ 15]
双心三角形ABCD の外心O △OAB , △OBC , △OCD , △ODA の内心は共円 である[ 16]
^ a b Dörrie, Heinrich; Dörrie, Heinrich (2009). 100 great problems of elementary mathematics: their history and solution . New York: Dover Publ. ISBN 978-0-486-61348-2
^ Weisstein, Eric W.. “Poncelet's Porism ” (英語). Mathworld 2024年7月16日 閲覧。 ^ Josefsson, Martin (2010), “Calculations concerning the tangent lengths and tangency chords of a tangential quadrilateral” , Forum Geometricorum 10 : 119–130, http://forumgeom.fau.edu/FG2010volume10/FG201013.pdf ^ a b JosefssonMartin「The Area of a Bicentric Quadrilateral 」『Forum Geometricorum 』第11巻、155–164頁、2011年。http://forumgeom.fau.edu/FG2011volume11/FG201116.pdf 。
^ Josefsson, Martin (2012), “Maximal Area of a Bicentric Quadrilateral” , Forum Geometricorum 12 : 237–241, http://forumgeom.fau.edu/FG2012volume12/FG201222.pdf ^ Inequalities proposed in Crux Mathematicorum [1]
^ Josefsson, Martin (2012), “A New Proof of Yun’s Inequality for Bicentric Quadrilaterals” , Forum Geometricorum 12 : 79–82, http://forumgeom.fau.edu/FG2012volume12/FG201208.pdf ^ Durell, C. V. and Robson, A., Advanced Trigonometry , Dover, 2003, pp. 28, 30.
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^ Salazar, Juan Carlos (2006), “Fuss's Theorem”, Mathematical Gazette 90 (July) : 306–307 ^ Calin, Ovidiu, Euclidean and Non-Euclidean Geometry a metric approach , [3] , pp. 153–158.
^ a b Radic, Mirko, "Certain inequalities concerning bicentric quadrilaterals, hexagons and octagons", Journal of Inequalities in Pure and Applied Mathematics , Volume 6, Issue 1, 2005, [4]
^ Bogomolny, Alex, Collinearity in Bicentric Quadrilaterals [5] , 2004.
^ L. V. Nagarajan, Bi-centric Polygons , 2014, [6] .
^ Crux Mathematicorum 34 (2008) no 4, p. 242.^ Alexey A. Zaslavsky, One property of bicentral quadrilaterals, 2019, [7]
非古典的 (2辺以下) 辺の数: 3–10
辺の数: 11–20 辺の数: 21–30 辺の数: 31–40 辺の数: 41–50 辺の数: 51–70 辺の数: 71–100 辺の数: 101– 無限 星型多角形 多角形のクラス
![{\displaystyle K={\sqrt[{4}]{efgh}}(e+f+g+h).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ef723678f235a25b2488c717837a47cb493f9bd)
