自己数

数論において、ある基数 $b$ における自己数（じこすう、英: self number）とは、自然数で、他の自然数 $n$ で $n$ と $n$ の各桁の数字の合計がその値となるようなものが無いものをいう。自己数はコロンビア数（英: Colombian number）ともよばれる。例として、20は基数10における自己数である（ $n$ < 15では合計は20未満であり、 $n$ ≥ 15では合計は20超である）。一方、21は自己数ではない（ $n$ = 15で 15 + 1 + 5 = 21）。この数は、1949年にインドの数学者、D. R. カプレカルによって最初に記述された。

定義と性質

$n$ を自然数とする。基数 $b>1$ に対して $b$ -自己関数 $F_{b}:\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {N}$ を以下のように定義する:

F_{b}(n)=n+\sum _{i=0}^{k-1}d_{i}.

ここで $k=\lfloor \log _{b}{n}\rfloor +1$ は基数 $b$ における桁数、

d_{i}={\frac {n{\bmod {b^{i+1}}}-n{\bmod {b}}^{i}}{b^{i}}}

は各桁の値。自然数 $n$ は $F_{b}$ による $n$ の逆像が空集合である場合に $b$ -自己数である。

一般に、偶数基数において、基数より小さいすべての奇数は自己数である（ $n$ が一桁の場合のみを考えればよく、これらにおいて合計は偶数 $2n$ となる）。奇数基数の場合、すべての奇数は自己数である^[1]。基数 $b$ における自己数の集合は無限個あり、その自然密度は正の値となる。 $b$ が奇数の場合、密度は1/2である^[2]。

漸化式

以下の漸化式により基数10のいくつかの自己数を得ることができる:

C_{1}=9

,

C_{k}=8\cdot 10^{k-1}+C_{k-1}+8

.

基数2の場合:

C_{k}=2^{j}+C_{k-1}+1

,

(j は桁数)。

任意の基数 $b$ に対して以下のように一般化できる:

C_{k}=(b-2)b^{k-1}+C_{k-1}+(b-2)\,

ここでC₁ = b − 1（偶数の場合）、C₁ = b − 2（奇数の場合）。

これにより任意の基数において自己数が無限に存在することが示される。

特定の基数における自己数

基数2の場合については A010061を参照(基数10で記載)。

基数10の場合のはじめのいくつかは以下の通り:

1, 3, 5, 7, 9, 20, 31, 42, 53, 64, 75, 86, 97, 108, 110, 121, 132, 143, 154, 165, 176, 187, 198, 209, 211, 222, 233, 244, 255, 266, 277, 288, 299, 310, 312, 323, 334, 345, 356, 367, 378, 389, 400, 411, 413, 424, 435, 446, 457, 468, 479, 490, ... オンライン整数列大辞典の数列 A003052

基数12の場合（倒立した2（「ᘔ」）を10の意味で、倒立した3（「Ɛ」）を11の意味で使用）:

1, 3, 5, 7, 9, Ɛ, 20, 31, 42, 53, 64, 75, 86, 97, ᘔ8, Ɛ9, 102, 110, 121, 132, 143, 154, 165, 176, 187, 198, 1ᘔ9, 1Ɛᘔ, 20Ɛ, 211, 222, 233, 244, 255, 266, 277, 288, 299, 2ᘔᘔ, 2ƐƐ, 310, 312, 323, 334, 345, 356, 367, 378, 389, 39ᘔ, 3ᘔƐ, 400, 411, 413, 424, 435, 446, 457, 468, 479, 48ᘔ, 49Ɛ, 4Ɛ0, 501, 512, 514, 525, 536, 547, 558, 569, 57ᘔ, 58Ɛ, 5ᘔ0, 5Ɛ1, ...

自己素数

自己素数（じこそすう、英: self prime）とは、素数でもある自己数である。基数10におけるはじめのいくつかの自己素数は:

3, 5, 7, 31, 53, 97, 211, 233, 277, 367, 389, 457, 479, 547, 569, 613, 659, 727, 839, 883, 929, 1021, 1087, 1109, 1223, 1289, 1447, 1559, 1627, 1693, 1783, 1873, ... オンライン整数列大辞典の数列 A006378

基数12の場合（倒立した2（「ᘔ」）を10の意味で、倒立した3（「Ɛ」）を11の意味で使用）:

3, 5, 7, Ɛ, 31, 75, 255, 277, 2ƐƐ, 3ᘔƐ, 435, 457, 58Ɛ, 5Ɛ1, ...

2006年10月、ルーク・ピーボディ（英語版）はメルセンヌ素数であって基数10における自己数でもある既知の最大のものとして2^24036583−1を示した。これは基数10における既知の最大の自己素数である^{[注 1]}。

脚注

注釈

^ 2006年現在^[update]

出典

^ Sándor & Crstici (2004) p.384
^ Sándor & Crstici (2004) p.385

Kaprekar, D. R. The Mathematics of New Self-Numbers Devaiali (1963): 19 - 20.
R. B. Patel (1991). “Some Tests for k-Self Numbers”. Math. Student 56: 206–210.
B. Recaman (1974). “Problem E2408”. Amer. Math. Monthly 81 (4): 407. doi:10.2307/2319017.
Sándor, Jozsef; Crstici, Borislav (2004). Handbook of number theory II. Dordrecht: Kluwer Academic. pp. 32–36. ISBN 1-4020-2546-7. Zbl 1079.11001
Weisstein, Eric W. "Self Number". mathworld.wolfram.com (英語).

[3] 2006年現在^[update]

[CS384-1] Sándor & Crstici (2004) p.384

[CS385-2] Sándor & Crstici (2004) p.385

[1]

[2]

[注 1]

表話編歴素数の分類
生成式	フェルマー ( $2 2 n + 1$ ) メルセンヌ ( $2 p - 1$ ) 二重メルセンヌ ( $2 2 p -1 - 1$ ) ワグスタッフ ( $(2 p + 1)/3$ ) プロス ( $k \cdot2 n + 1$ ) 階乗 ( $n! \pm 1$ ) 素数階乗 ( $p n # \pm 1$ ) ユークリッド ( $p n # + 1$ ) ピタゴラス ( $4 n + 1$ ) ピアポント ( $2 u \cdot3 v + 1$ ) Quartan（英語版） ( $x 4 + y 4$ ) ソリナス（英語版） ( $2 a \pm 2 b \pm 1$ ) カレン ( $n \cdot2 n + 1$ ) ウッダル ( $n \cdot2 n - 1$ ) Cuban（英語版） ( $(x 3 - y 3)/(x - y)$ ) キャロル ( $(2 n - 1) 2 - 2$ ) Kynea ( $(2 n + 1) 2 - 2$ ) レイランド ( $x y + y x$ ) サービト（英語版） ( $3\cdot2 n - 1$ ) ミルズ ( $[A] 3 n$ )
漸化式（英語版）	フィボナッチリュカペルニューマン–シャンクス–ウィリアムズペラン分割ベルモツキン
各種の性質	ヴィーフェリッヒ（英語版） (対（英語版）) ウォール–孫–孫（英語版）ウォルステンホルムウィルソン幸運フォーチュンラマヌジャン（英語版）ピライ正則強（英語版）スターン Supersingular (楕円曲線)（英語版） Supersingular (ムーンシャイン理論)（英語版）良いスーパーヒッグス（英語版）高度コトーティエント（英語版）
基数依存	ハッピー二面（英語版）回文エマープレピュニット ( $(10 n - 1)/9$ ) 置換可能 Circular（英語版）切り捨て可能 Strobogrammatic（英語版） Minimal（英語版）弱いフルサイクルプライム Unique（英語版） Primeval（英語版）自己スマランダチェ–ウェラン（英語版）
組	互いに素双子 ( $p, p + 2$ ) Bi-twin chain ( $n - 1, n + 1, 2 n - 1, 2 n + 1, \dots$ ) 三つ子 ( $p, p + 2$ or $p + 4, p + 6$ ) 四つ子 ( $p, p + 2, p + 6, p + 8$ ) k−Tuple いとこ ( $p, p + 4$ ) セクシー ( $p, p + 6$ ) 陳ソフィー・ジェルマン ( $p, 2 p + 1$ ) カニンガム鎖 ( $p, 2 p \pm 1, \dots$ ) 安全 ( $p, (p - 1)/2$ ) 算術数列（英語版） ( $p + an; n = 0, 1, \dots$ ) 平衡 ( $p - n, p, p + n$ )
桁数	タイタニック ( $103$ 桁以上) 巨大 ( $104$ 桁以上) メガ ( $106$ 桁以上)
複素数	アイゼンシュタイン素数（英語版）ガウス素数
合成数	擬素数概素数半素数楔数 Interprime（英語版）
関連する話題	確率的素数 Industrial-grade prime（英語版）違法素数素数の公式（英語版）素数の間隔『巨大な素数の一覧』
最初の50個	$2$ $3$ $5$ $7$ $11$ $13$ $17$ $19$ $23$ $29$ $31$ $37$ $41$ $43$ $47$ $53$ $59$ $61$ $67$ $71$ $73$ $79$ $83$ $89$ $97$ $101$ $103$ $107$ $109$ $113$ $127$ $131$ $137$ $139$ $149$ $151$ $157$ $163$ $167$ $173$ $179$ $181$ $191$ $193$ $197$ $199$ $211$ $223$ $227$ $229$
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