トムソン問題

トムソン問題（トムソンもんだい、英: Thomson problem）は、静電エネルギーが最小になるよう単位球面上に N 個の電子を配置する問題である（電子間力はクーロンの法則に従うものとする）。1904年、物理学者J. J. トムソンが、後年ブドウパンモデルと呼ばれる原子模型の発表後、「（電気的な）中性原子中には、負に帯電した電子が存在している」という知見を基に提出した^[1]。

この問題に関連して、最小エネルギー配置の幾何の研究や、N を大きくしたときの最小エネルギーの研究がある。

数学的定式化

トムソン問題は、数学者スティーヴン・スメイルによる18個の未解決問題の1つ — "2次元球面上の点の分布" — の特別な場合である^[2]。冒頭述べたように単位球面（ $r=1$ ）の場合だけ考えればよい。

電気量 $e_{i}=e_{j}=e$ （ $e$ は電気素量）の電子ペアがもつ静電エネルギーは、クーロンの法則より

U_{ij}(N)=k_{e}{e_{i}e_{j} \over r_{ij}}

ここで $k_{e}$ はクーロン定数、 $r_{ij}=|\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} _{j}|$ は位置ベクトル $\mathbf {r} _{i}$ 、 $\mathbf {r} _{j}$ で表した電子間距離。

$e=1$ 、 $k_{e}=1$ であるとしても一般性は失わない。このとき、

U_{ij}(N)={1 \over r_{ij}}

N-電子配置のエネルギーの総和は、ペアごとの値を合算して次のように書ける。

U(N)=\sum _{i<j}{\frac {1}{r_{ij}}}

大局的な $U(N)$ の最小化配置は、大体において数値計算で得られる。

例

電子2個の場合のトムソン問題の解は、電子が原点を挟んで最も遠ざかったときが解となる： $r_{ij}=2r=2,\quad U(2)={1 \over 2}$

既知の解

最小エネルギー配置が厳密に分かっているのはほんの限られた場合だけである。

N =1のとき：解は自明であり、電子は球面上のどこにあってもよい。このときのエネルギーは、電子が別の電場源からの影響を一切受けないことからゼロと定義することにする。
N =2のとき：2電子が対蹠点に位置するときが解。
N =3のとき：3電子が大円上の正三角形の頂点になるときが解^[3]。
N =4のとき：4電子が正四面体の頂点になるときが解。
N =5のとき：コンピュータを用いた数学的厳密解が2010年に報告された。5電子が双三角錐の頂点になるときが解^[4]。
N =6のとき：6電子が正八面体の頂点になるときが解^[5]。
N =12のとき：12電子が正二十面体の頂点になるときが解^[6]。

注目すべきことに、 N =4,6,12のときのトムソン問題の解は、全ての面が合同な正三角形であるプラトンの立体を形作っている。 N =8,20のときの数値計算による解は残り2つのプラトンの立体（面が正方形、正五角形）にはなっていない。

一般化

粒子間のポテンシャルが任意の形で与えられているときの基底状態を考えることもできる。数学的に正式に述べると、 f を実数値減少関数とし、全エネルギーを $\sum _{i<j}f(|\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} _{j}|)$ とする。

伝統的に $f(x)=x^{-\alpha }$ （リースの $\alpha$ -カーネル）を考えることが多い。可積分なリースカーネルについては文献^[7]を参照のこと。また可積分でないリースカーネルについてはPoppy-seed bagel theorem（英語版）が成り立っている^[8]。

有名なケースは

α → ∞ としたとき：「球面上の2点間の距離の最大値が最小となる配置を求める問題」と解釈する。Tammes problem（英語版）として知られている。
α = 1のとき：トムソン問題。
α = 0のとき： $f(x)=\ln \left({\frac {1}{|x|}}\right)$ と解釈する。Whyte's problemとして知られている。

高次元空間での N 個の点の配置を考えることもできる。球デザイン（英語版）を参照。

他の自然科学の問題との関係

トムソン問題は、トムソンのブドウパンモデルにおいて一様に広がる正電荷がないものとすれば自然に導かれる^[9]。

『自然哲学の大部分は原子の構造及び機構が生み出しているのだから、原子に関する発見に取るに足らないものはないし、物理学の進歩を加速させないものもない。』

—J. J.トムソン卿^[10]

実験によってトムソンのブドウパンモデルは原子の完全なモデルにはなり得ないことがわかったが、数値計算によるトムソン問題の変則的な解の中には、周期表上の一連の元素における自然な殻内電子配置と対応が見つかっているものもある^[11]。

トムソン問題はまた、電子バブル（英語版）や、四重極イオントラップ内の金属液滴の表面配向といった他の物理モデルの研究でも有用である。

一般化されたトムソン問題は、例えばウイルスの球状殻を構成するタンパク質のサブユニット配置を決定するときに現れる。この場合の「粒子」とは殻上のサブユニットのことである。他の具体例として、コロイドソーム（colloidosome；薬物、栄養物、生細胞等、活性成分のカプセル封じとして提案されている）におけるコロイド粒子の均整な配置、炭素原子のフラーレン構造、原子価殻電子対反発則の理論等が挙げられる。低温状態で、巨大単極子を中心としたシェル構造超伝導金属が形成するとされるアブリコソフ-ボルテックスは、対数ポテンシャルによる長距離相互作用の例である。

現在までに知られている最良の結果

下記の表で、 $N$ は点（電荷）の個数、 $E_{1}$ はエネルギー、対称性の記述はシェーンフリース記号（三次元の点群を参照）によるもの、また $r_{i}$ は点電荷の位置を表す。ほとんどの対称性のタイプにおいてベクトルの総和はゼロになり、従って電気双極子モーメントもゼロになる。

点集合の凸包による多面体も併せて考えることが慣習となっている。ここで、 $v_{i}$ は添字に等しい辺が集まる頂点の数、 $e$ は辺の数、 $f_{3}$ は三角形の面の数、 $f_{4}$ は四角形の面の数、 $\theta _{1}$ は隣接する2辺が成す角の最小値である。辺の長さは一定とは限らないことに注意。このため（ N =4, 6, 12, 24を除いて）凸包は表の最終列に記した一様多面体またはジョンソンの立体とはグラフ同型であるにとどまる^[12]。

N	$E_{1}$	対称性	$\left\|\sum \mathbf {r} _{i}\right\|$	$v_{3}$	$v_{4}$	$v_{5}$	$v_{6}$	$v_{7}$	$v_{8}$	$e$	$f_{3}$	$f_{4}$	$\theta _{1}$	対応する多面体
2	0.500000000	$D_{\infty h}$	0	–	–	–	–	–	–	1	–	–	180.000°	二角形
3	1.732050808	$D_{3h}$	0	–	–	–	–	–	–	3	1	–	120.000°	三角形
4	3.674234614	$T_{d}$	0	4	0	0	0	0	0	6	4	0	109.471°	四面体
5	6.474691495	$D_{3h}$	0	2	3	0	0	0	0	9	6	0	90.000°	双三角錐
6	9.985281374	$O_{h}$	0	0	6	0	0	0	0	12	8	0	90.000°	八面体
7	14.452977414	$D_{5h}$	0	0	5	2	0	0	0	15	10	0	72.000°	双五角錐
8	19.675287861	$D_{4d}$	0	0	8	0	0	0	0	16	8	2	71.694°	反四角柱形（英語版）
9	25.759986531	$D_{3h}$	0	0	3	6	0	0	0	21	14	0	69.190°	三側錐三角柱
10	32.716949460	$D_{4d}$	0	0	2	8	0	0	0	24	16	0	64.996°	双四角錐反柱
11	40.596450510	$C_{2v}$	0.013219635	0	2	8	1	0	0	27	18	0	58.540°	edge-contracted icosahedron（英語版）
12	49.165253058	$I_{h}$	0	0	0	12	0	0	0	30	20	0	63.435°	正二十面体
13	58.853230612	$C_{2v}$	0.008820367	0	1	10	2	0	0	33	22	0	52.317°
14	69.306363297	$D_{6d}$	0	0	0	12	2	0	0	36	24	0	52.866°	gyroelongated hexagonal dipyramid
15	80.670244114	$D_{3}$	0	0	0	12	3	0	0	39	26	0	49.225°
16	92.911655302	$T$	0	0	0	12	4	0	0	42	28	0	48.936°
17	106.050404829	$D_{5h}$	0	0	0	12	5	0	0	45	30	0	50.108°
18	120.084467447	$D_{4d}$	0	0	2	8	8	0	0	48	32	0	47.534°
19	135.089467557	$C_{2v}$	0.000135163	0	0	14	5	0	0	50	32	1	44.910°
20	150.881568334	$D_{3h}$	0	0	0	12	8	0	0	54	36	0	46.093°
21	167.641622399	$C_{2v}$	0.001406124	0	1	10	10	0	0	57	38	0	44.321°
22	185.287536149	$T_{d}$	0	0	0	12	10	0	0	60	40	0	43.302°
23	203.930190663	$D_{3}$	0	0	0	12	11	0	0	63	42	0	41.481°
24	223.347074052	$O$	0	0	0	24	0	0	0	60	32	6	42.065°	変形立方体
25	243.812760299	$C_{s}$	0.001021305	0	0	14	11	0	0	68	44	1	39.610°
26	265.133326317	$C_{2}$	0.001919065	0	0	12	14	0	0	72	48	0	38.842°
27	287.302615033	$D_{5h}$	0	0	0	12	15	0	0	75	50	0	39.940°
28	310.491542358	$T$	0	0	0	12	16	0	0	78	52	0	37.824°
29	334.634439920	$D_{3}$	0	0	0	12	17	0	0	81	54	0	36.391°
30	359.603945904	$D_{2}$	0	0	0	12	18	0	0	84	56	0	36.942°
31	385.530838063	$C_{3v}$	0.003204712	0	0	12	19	0	0	87	58	0	36.373°
32	412.261274651	$I_{h}$	0	0	0	12	20	0	0	90	60	0	37.377°
33	440.204057448	$C_{s}$	0.004356481	0	0	15	17	1	0	92	60	1	33.700°
34	468.904853281	$D_{2}$	0	0	0	12	22	0	0	96	64	0	33.273°
35	498.569872491	$C_{2}$	0.000419208	0	0	12	23	0	0	99	66	0	33.100°
36	529.122408375	$D_{2}$	0	0	0	12	24	0	0	102	68	0	33.229°
37	560.618887731	$D_{5h}$	0	0	0	12	25	0	0	105	70	0	32.332°
38	593.038503566	$D_{6d}$	0	0	0	12	26	0	0	108	72	0	33.236°
39	626.389009017	$D_{3h}$	0	0	0	12	27	0	0	111	74	0	32.053°
40	660.675278835	$T_{d}$	0	0	0	12	28	0	0	114	76	0	31.916°
41	695.916744342	$D_{3h}$	0	0	0	12	29	0	0	117	78	0	31.528°
42	732.078107544	$D_{5h}$	0	0	0	12	30	0	0	120	80	0	31.245°
43	769.190846459	$C_{2v}$	0.000399668	0	0	12	31	0	0	123	82	0	30.867°
44	807.174263085	$O_{h}$	0	0	0	24	20	0	0	120	72	6	31.258°
45	846.188401061	$D_{3}$	0	0	0	12	33	0	0	129	86	0	30.207°
46	886.167113639	$T$	0	0	0	12	34	0	0	132	88	0	29.790°
47	927.059270680	$C_{s}$	0.002482914	0	0	14	33	0	0	134	88	1	28.787°
48	968.713455344	$O$	0	0	0	24	24	0	0	132	80	6	29.690°
49	1011.557182654	$C_{3}$	0.001529341	0	0	12	37	0	0	141	94	0	28.387°
50	1055.182314726	$D_{6d}$	0	0	0	12	38	0	0	144	96	0	29.231°
51	1099.819290319	$D_{3}$	0	0	0	12	39	0	0	147	98	0	28.165°
52	1145.418964319	$C_{3}$	0.000457327	0	0	12	40	0	0	150	100	0	27.670°
53	1191.922290416	$C_{2v}$	0.000278469	0	0	18	35	0	0	150	96	3	27.137°
54	1239.361474729	$C_{2}$	0.000137870	0	0	12	42	0	0	156	104	0	27.030°
55	1287.772720783	$C_{2}$	0.000391696	0	0	12	43	0	0	159	106	0	26.615°
56	1337.094945276	$D_{2}$	0	0	0	12	44	0	0	162	108	0	26.683°
57	1387.383229253	$D_{3}$	0	0	0	12	45	0	0	165	110	0	26.702°
58	1438.618250640	$D_{2}$	0	0	0	12	46	0	0	168	112	0	26.155°
59	1490.773335279	$C_{2}$	0.000154286	0	0	14	43	2	0	171	114	0	26.170°
60	1543.830400976	$D_{3}$	0	0	0	12	48	0	0	174	116	0	25.958°
61	1597.941830199	$C_{1}$	0.001091717	0	0	12	49	0	0	177	118	0	25.392°
62	1652.909409898	$D_{5}$	0	0	0	12	50	0	0	180	120	0	25.880°
63	1708.879681503	$D_{3}$	0	0	0	12	51	0	0	183	122	0	25.257°
64	1765.802577927	$D_{2}$	0	0	0	12	52	0	0	186	124	0	24.920°
65	1823.667960264	$C_{2}$	0.000399515	0	0	12	53	0	0	189	126	0	24.527°
66	1882.441525304	$C_{2}$	0.000776245	0	0	12	54	0	0	192	128	0	24.765°
67	1942.122700406	$D_{5}$	0	0	0	12	55	0	0	195	130	0	24.727°
68	2002.874701749	$D_{2}$	0	0	0	12	56	0	0	198	132	0	24.433°
69	2064.533483235	$D_{3}$	0	0	0	12	57	0	0	201	134	0	24.137°
70	2127.100901551	$D_{2d}$	0	0	0	12	50	0	0	200	128	4	24.291°
71	2190.649906425	$C_{2}$	0.001256769	0	0	14	55	2	0	207	138	0	23.803°
72	2255.001190975	$I$	0	0	0	12	60	0	0	210	140	0	24.492°
73	2320.633883745	$C_{2}$	0.001572959	0	0	12	61	0	0	213	142	0	22.810°
74	2387.072981838	$C_{2}$	0.000641539	0	0	12	62	0	0	216	144	0	22.966°
75	2454.369689040	$D_{3}$	0	0	0	12	63	0	0	219	146	0	22.736°
76	2522.674871841	$C_{2}$	0.000943474	0	0	12	64	0	0	222	148	0	22.886°
77	2591.850152354	$D_{5}$	0	0	0	12	65	0	0	225	150	0	23.286°
78	2662.046474566	$T_{h}$	0	0	0	12	66	0	0	228	152	0	23.426°
79	2733.248357479	$C_{s}$	0.000702921	0	0	12	63	1	0	230	152	1	22.636°
80	2805.355875981	$D_{4d}$	0	0	0	16	64	0	0	232	152	2	22.778°
81	2878.522829664	$C_{2}$	0.000194289	0	0	12	69	0	0	237	158	0	21.892°
82	2952.569675286	$D_{2}$	0	0	0	12	70	0	0	240	160	0	22.206°
83	3027.528488921	$C_{2}$	0.000339815	0	0	14	67	2	0	243	162	0	21.646°
84	3103.465124431	$C_{2}$	0.000401973	0	0	12	72	0	0	246	164	0	21.513°
85	3180.361442939	$C_{2}$	0.000416581	0	0	12	73	0	0	249	166	0	21.498°
86	3258.211605713	$C_{2}$	0.001378932	0	0	12	74	0	0	252	168	0	21.522°
87	3337.000750014	$C_{2}$	0.000754863	0	0	12	75	0	0	255	170	0	21.456°
88	3416.720196758	$D_{2}$	0	0	0	12	76	0	0	258	172	0	21.486°
89	3497.439018625	$C_{2}$	0.000070891	0	0	12	77	0	0	261	174	0	21.182°
90	3579.091222723	$D_{3}$	0	0	0	12	78	0	0	264	176	0	21.230°
91	3661.713699320	$C_{2}$	0.000033221	0	0	12	79	0	0	267	178	0	21.105°
92	3745.291636241	$D_{2}$	0	0	0	12	80	0	0	270	180	0	21.026°
93	3829.844338421	$C_{2}$	0.000213246	0	0	12	81	0	0	273	182	0	20.751°
94	3915.309269620	$D_{2}$	0	0	0	12	82	0	0	276	184	0	20.952°
95	4001.771675565	$C_{2}$	0.000116638	0	0	12	83	0	0	279	186	0	20.711°
96	4089.154010060	$C_{2}$	0.000036310	0	0	12	84	0	0	282	188	0	20.687°
97	4177.533599622	$C_{2}$	0.000096437	0	0	12	85	0	0	285	190	0	20.450°
98	4266.822464156	$C_{2}$	0.000112916	0	0	12	86	0	0	288	192	0	20.422°
99	4357.139163132	$C_{2}$	0.000156508	0	0	12	87	0	0	291	194	0	20.284°
100	4448.350634331	$T$	0	0	0	12	88	0	0	294	196	0	20.297°
101	4540.590051694	$D_{3}$	0	0	0	12	89	0	0	297	198	0	20.011°
102	4633.736565899	$D_{3}$	0	0	0	12	90	0	0	300	200	0	20.040°
103	4727.836616833	$C_{2}$	0.000201245	0	0	12	91	0	0	303	202	0	19.907°
104	4822.876522746	$D_{6}$	0	0	0	12	92	0	0	306	204	0	19.957°
105	4919.000637616	$D_{3}$	0	0	0	12	93	0	0	309	206	0	19.842°
106	5015.984595705	$D_{2}$	0	0	0	12	94	0	0	312	208	0	19.658°
107	5113.953547724	$C_{2}$	0.000064137	0	0	12	95	0	0	315	210	0	19.327°
108	5212.813507831	$C_{2}$	0.000432525	0	0	12	96	0	0	318	212	0	19.327°
109	5312.735079920	$C_{2}$	0.000647299	0	0	14	93	2	0	321	214	0	19.103°
110	5413.549294192	$D_{6}$	0	0	0	12	98	0	0	324	216	0	19.476°
111	5515.293214587	$D_{3}$	0	0	0	12	99	0	0	327	218	0	19.255°
112	5618.044882327	$D_{5}$	0	0	0	12	100	0	0	330	220	0	19.351°
113	5721.824978027	$D_{3}$	0	0	0	12	101	0	0	333	222	0	18.978°
114	5826.521572163	$C_{2}$	0.000149772	0	0	12	102	0	0	336	224	0	18.836°
115	5932.181285777	$C_{3}$	0.000049972	0	0	12	103	0	0	339	226	0	18.458°
116	6038.815593579	$C_{2}$	0.000259726	0	0	12	104	0	0	342	228	0	18.386°
117	6146.342446579	$C_{2}$	0.000127609	0	0	12	105	0	0	345	230	0	18.566°
118	6254.877027790	$C_{2}$	0.000332475	0	0	12	106	0	0	348	232	0	18.455°
119	6364.347317479	$C_{2}$	0.000685590	0	0	12	107	0	0	351	234	0	18.336°
120	6474.756324980	$C_{s}$	0.001373062	0	0	12	108	0	0	354	236	0	18.418°
121	6586.121949584	$C_{3}$	0.000838863	0	0	12	109	0	0	357	238	0	18.199°
122	6698.374499261	$I_{h}$	0	0	0	12	110	0	0	360	240	0	18.612°
123	6811.827228174	$C_{2v}$	0.001939754	0	0	14	107	2	0	363	242	0	17.840°
124	6926.169974193	$D_{2}$	0	0	0	12	112	0	0	366	244	0	18.111°
125	7041.473264023	$C_{2}$	0.000088274	0	0	12	113	0	0	369	246	0	17.867°
126	7157.669224867	$D_{4}$	0	0	2	16	100	8	0	372	248	0	17.920°
127	7274.819504675	$D_{5}$	0	0	0	12	115	0	0	375	250	0	17.877°
128	7393.007443068	$C_{2}$	0.000054132	0	0	12	116	0	0	378	252	0	17.814°
129	7512.107319268	$C_{2}$	0.000030099	0	0	12	117	0	0	381	254	0	17.743°
130	7632.167378912	$C_{2}$	0.000025622	0	0	12	118	0	0	384	256	0	17.683°
131	7753.205166941	$C_{2}$	0.000305133	0	0	12	119	0	0	387	258	0	17.511°
132	7875.045342797	$I$	0	0	0	12	120	0	0	390	260	0	17.958°
133	7998.179212898	$C_{3}$	0.000591438	0	0	12	121	0	0	393	262	0	17.133°
134	8122.089721194	$C_{2}$	0.000470268	0	0	12	122	0	0	396	264	0	17.214°
135	8246.909486992	$D_{3}$	0	0	0	12	123	0	0	399	266	0	17.431°
136	8372.743302539	$T$	0	0	0	12	124	0	0	402	268	0	17.485°
137	8499.534494782	$D_{5}$	0	0	0	12	125	0	0	405	270	0	17.560°
138	8627.406389880	$C_{2}$	0.000473576	0	0	12	126	0	0	408	272	0	16.924°
139	8756.227056057	$C_{2}$	0.000404228	0	0	12	127	0	0	411	274	0	16.673°
140	8885.980609041	$C_{1}$	0.000630351	0	0	13	126	1	0	414	276	0	16.773°
141	9016.615349190	$C_{2v}$	0.000376365	0	0	14	126	0	1	417	278	0	16.962°
142	9148.271579993	$C_{2}$	0.000550138	0	0	12	130	0	0	420	280	0	16.840°
143	9280.839851192	$C_{2}$	0.000255449	0	0	12	131	0	0	423	282	0	16.782°
144	9414.371794460	$D_{2}$	0	0	0	12	132	0	0	426	284	0	16.953°
145	9548.928837232	$C_{s}$	0.000094938	0	0	12	133	0	0	429	286	0	16.841°
146	9684.381825575	$D_{2}$	0	0	0	12	134	0	0	432	288	0	16.905°
147	9820.932378373	$C_{2}$	0.000636651	0	0	12	135	0	0	435	290	0	16.458°
148	9958.406004270	$C_{2}$	0.000203701	0	0	12	136	0	0	438	292	0	16.627°
149	10096.859907397	$C_{1}$	0.000638186	0	0	14	133	2	0	441	294	0	16.344°
150	10236.196436701	$T$	0	0	0	12	138	0	0	444	296	0	16.405°
151	10376.571469275	$C_{2}$	0.000153836	0	0	12	139	0	0	447	298	0	16.163°
152	10517.867592878	$D_{2}$	0	0	0	12	140	0	0	450	300	0	16.117°
153	10660.082748237	$D_{3}$	0	0	0	12	141	0	0	453	302	0	16.390°
154	10803.372421141	$C_{2}$	0.000735800	0	0	12	142	0	0	456	304	0	16.078°
155	10947.574692279	$C_{2}$	0.000603670	0	0	12	143	0	0	459	306	0	15.990°
156	11092.798311456	$C_{2}$	0.000508534	0	0	12	144	0	0	462	308	0	15.822°
157	11238.903041156	$C_{2}$	0.000357679	0	0	12	145	0	0	465	310	0	15.948°
158	11385.990186197	$C_{2}$	0.000921918	0	0	12	146	0	0	468	312	0	15.987°
159	11534.023960956	$C_{2}$	0.000381457	0	0	12	147	0	0	471	314	0	15.960°
160	11683.054805549	$D_{2}$	0	0	0	12	148	0	0	474	316	0	15.961°
161	11833.084739465	$C_{2}$	0.000056447	0	0	12	149	0	0	477	318	0	15.810°
162	11984.050335814	$D_{3}$	0	0	0	12	150	0	0	480	320	0	15.813°
163	12136.013053220	$C_{2}$	0.000120798	0	0	12	151	0	0	483	322	0	15.675°
164	12288.930105320	$D_{2}$	0	0	0	12	152	0	0	486	324	0	15.655°
165	12442.804451373	$C_{2}$	0.000091119	0	0	12	153	0	0	489	326	0	15.651°
166	12597.649071323	$D_{2d}$	0	0	0	16	146	4	0	492	328	0	15.607°
167	12753.469429750	$C_{2}$	0.000097382	0	0	12	155	0	0	495	330	0	15.600°
168	12910.212672268	$D_{3}$	0	0	0	12	156	0	0	498	332	0	15.655°
169	13068.006451127	$C_{s}$	0.000068102	0	0	13	155	1	0	501	334	0	15.537°
170	13226.681078541	$D_{2d}$	0	0	0	12	158	0	0	504	336	0	15.569°
171	13386.355930717	$D_{3}$	0	0	0	12	159	0	0	507	338	0	15.497°
172	13547.018108787	$C_{2v}$	0.000547291	0	0	14	156	2	0	510	340	0	15.292°
173	13708.635243034	$C_{s}$	0.000286544	0	0	12	161	0	0	513	342	0	15.225°
174	13871.187092292	$D_{2}$	0	0	0	12	162	0	0	516	344	0	15.366°
175	14034.781306929	$C_{2}$	0.000026686	0	0	12	163	0	0	519	346	0	15.252°
176	14199.354775632	$C_{1}$	0.000283978	0	0	12	164	0	0	522	348	0	15.101°
177	14364.837545298	$D_{5}$	0	0	0	12	165	0	0	525	350	0	15.269°
178	14531.309552587	$D_{2}$	0	0	0	12	166	0	0	528	352	0	15.145°
179	14698.754594220	$C_{1}$	0.000125113	0	0	13	165	1	0	531	354	0	14.968°
180	14867.099927525	$D_{2}$	0	0	0	12	168	0	0	534	356	0	15.067°
181	15036.467239769	$C_{2}$	0.000304193	0	0	12	169	0	0	537	358	0	15.002°
182	15206.730610906	$D_{5}$	0	0	0	12	170	0	0	540	360	0	15.155°
183	15378.166571028	$C_{1}$	0.000467899	0	0	12	171	0	0	543	362	0	14.747°
184	15550.421450311	$T$	0	0	0	12	172	0	0	546	364	0	14.932°
185	15723.720074072	$C_{2}$	0.000389762	0	0	12	173	0	0	549	366	0	14.775°
186	15897.897437048	$C_{1}$	0.000389762	0	0	12	174	0	0	552	368	0	14.739°
187	16072.975186320	$D_{5}$	0	0	0	12	175	0	0	555	370	0	14.848°
188	16249.222678879	$D_{2}$	0	0	0	12	176	0	0	558	372	0	14.740°
189	16426.371938862	$C_{2}$	0.000020732	0	0	12	177	0	0	561	374	0	14.671°
190	16604.428338501	$C_{3}$	0.000586804	0	0	12	178	0	0	564	376	0	14.501°
191	16783.452219362	$C_{1}$	0.001129202	0	0	13	177	1	0	567	378	0	14.195°
192	16963.338386460	$I$	0	0	0	12	180	0	0	570	380	0	14.819°
193	17144.564740880	$C_{2}$	0.000985192	0	0	12	181	0	0	573	382	0	14.144°
194	17326.616136471	$C_{1}$	0.000322358	0	0	12	182	0	0	576	384	0	14.350°
195	17509.489303930	$D_{3}$	0	0	0	12	183	0	0	579	386	0	14.375°
196	17693.460548082	$C_{2}$	0.000315907	0	0	12	184	0	0	582	388	0	14.251°
197	17878.340162571	$D_{5}$	0	0	0	12	185	0	0	585	390	0	14.147°
198	18064.262177195	$C_{2}$	0.000011149	0	0	12	186	0	0	588	392	0	14.237°
199	18251.082495640	$C_{1}$	0.000534779	0	0	12	187	0	0	591	394	0	14.153°
200	18438.842717530	$D_{2}$	0	0	0	12	188	0	0	594	396	0	14.222°
201	18627.591226244	$C_{1}$	0.001048859	0	0	13	187	1	0	597	398	0	13.830°
202	18817.204718262	$D_{5}$	0	0	0	12	190	0	0	600	400	0	14.189°
203	19007.981204580	$C_{s}$	0.000600343	0	0	12	191	0	0	603	402	0	13.977°
204	19199.540775603	$T_{h}$	0	0	0	12	192	0	0	606	404	0	14.291°
212	20768.053085964	$I$	0	0	0	12	200	0	0	630	420	0	14.118°
214	21169.910410375	$T$	0	0	0	12	202	0	0	636	424	0	13.771°
216	21575.596377869	$D_{3}$	0	0	0	12	204	0	0	642	428	0	13.735°
217	21779.856080418	$D_{5}$	0	0	0	12	205	0	0	645	430	0	13.902°
232	24961.252318934	$T$	0	0	0	12	220	0	0	690	460	0	13.260°
255	30264.424251281	$D_{3}$	0	0	0	12	243	0	0	759	506	0	12.565°
256	30506.687515847	$T$	0	0	0	12	244	0	0	762	508	0	12.572°
257	30749.941417346	$D_{5}$	0	0	0	12	245	0	0	765	510	0	12.672°
272	34515.193292681	$I_{h}$	0	0	0	12	260	0	0	810	540	0	12.335°
282	37147.294418462	$I$	0	0	0	12	270	0	0	840	560	0	12.166°
292	39877.008012909	$D_{5}$	0	0	0	12	280	0	0	870	580	0	11.857°
306	43862.569780797	$T_{h}$	0	0	0	12	294	0	0	912	608	0	11.628°
312	45629.313804002	$C_{2}$	0.000306163	0	0	12	300	0	0	930	620	0	11.299°
315	46525.825643432	$D_{3}$	0	0	0	12	303	0	0	939	626	0	11.337°
317	47128.310344520	$D_{5}$	0	0	0	12	305	0	0	945	630	0	11.423°
318	47431.056020043	$D_{3}$	0	0	0	12	306	0	0	948	632	0	11.219°
334	52407.728127822	$T$	0	0	0	12	322	0	0	996	664	0	11.058°
348	56967.472454334	$T_{h}$	0	0	0	12	336	0	0	1038	692	0	10.721°
357	59999.922939598	$D_{5}$	0	0	0	12	345	0	0	1065	710	0	10.728°
358	60341.830924588	$T$	0	0	0	12	346	0	0	1068	712	0	10.647°
372	65230.027122557	$I$	0	0	0	12	360	0	0	1110	740	0	10.531°
382	68839.426839215	$D_{5}$	0	0	0	12	370	0	0	1140	760	0	10.379°
390	71797.035335953	$T_{h}$	0	0	0	12	378	0	0	1164	776	0	10.222°
392	72546.258370889	$I$	0	0	0	12	380	0	0	1170	780	0	10.278°
400	75582.448512213	$T$	0	0	0	12	388	0	0	1194	796	0	10.068°
402	76351.192432673	$D_{5}$	0	0	0	12	390	0	0	1200	800	0	10.099°
432	88353.709681956	$D_{3}$	0	0	0	24	396	12	0	1290	860	0	9.556°
448	95115.546986209	$T$	0	0	0	24	412	12	0	1338	892	0	9.322°
460	100351.763108673	$T$	0	0	0	24	424	12	0	1374	916	0	9.297°
468	103920.871715127	$S_{6}$	0	0	0	24	432	12	0	1398	932	0	9.120°
470	104822.886324279	$S_{6}$	0	0	0	24	434	12	0	1404	936	0	9.059°

脚注

^ Thomson, Joseph John (March 1904). “On the Structure of the Atom: an Investigation of the Stability and Periods of Oscillation of a number of Corpuscles arranged at equal intervals around the Circumference of a Circle; with Application of the Results to the Theory of Atomic Structure”. Philosophical Magazine. Series 6 7 (39): 237–265. doi:10.1080/14786440409463107. オリジナルの13 December 2013時点におけるアーカイブ。.
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[4] Schwartz, Richard (2010). "The 5 electron case of Thomson's Problem". arXiv:1001.3702。

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[6] Andreev, N.N. (1996). “An extremal property of the icosahedron”. East J. Approximation 2 (4): 459–462. MR1426716, Zbl 0877.51021

[7] Landkof, N. S. Foundations of modern potential theory. Translated from the Russian by A. P. Doohovskoy. Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Band 180. Springer-Verlag, New York-Heidelberg, 1972. x+424 pp.

[8] Hardin, D. P.; Saff, E. B. Discretizing manifolds via minimum energy points. Notices Amer. Math. Soc. 51 (2004), no. 10, 1186–1194

[9] Y. Levin and J. J. Arenzon, ``Why charges go to the Surface: A generalized Thomson Problem Europhys. Lett. Vol. 63 p. 415 (2003)

[10] Sir J.J. Thomson, The Romanes Lecture, 1914 (The Atomic Theory)

[11] LaFave Jr, Tim (December 2013). “Correspondences between the classical electrostatic Thomson problem and atomic electronic structure”. Journal of Electrostatics 71 (6): 1029–1035. arXiv:1403.2591. doi:10.1016/j.elstat.2013.10.001. オリジナルの22 February 2014時点におけるアーカイブ。 10 Feb 2014閲覧。.

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