レピュニット

レピュニット (レピュニット数、レプユニット数、単位反復数、英: Repunit) とは 1, 11, 111, 1111, … のように全ての桁の数字が 1である自然数のことである。名前の由来は repeated unitを省略した単語であり、1966年にアルバート・ベイラーが Recreations in the Theory of Numbers の中で命名したものである^{[注釈 1]}。

10進法におけるn桁のレピュニットは $R_{n}={\frac {10^{n}-1}{9}}$ の形に表される。n = 2, 19, 23, 317, 1031, ...(オンライン整数列大辞典の数列 A004023) のときに、R_n は素数となる。2進法におけるn桁のレピュニットはメルセンヌ数 $(M_{n}=2^{n}-1)$ である。レピュニットが素数であるとき、レピュニット素数 (またはレプユニット素数、英: Repunit prime)という。レピュニット素数は無限にあると予想されているが、証明されていない。

レピュニットの性質

m が n を割り切るならば、R_m は R_n を割り切る。よって、n が合成数ならば、R_n は合成数となる。

100 を法として 11 と合同な平方数は存在しないから、レピュニットで平方数となるものは 1 のみである。一般に、レピュニットで累乗数となるものは 1 のみであることが知られている (Bugeaud, Mignotte 1999a^[2])。

レピュニットは各桁の総乗が 1 となるため、すべてズッカーマン数である。

R_n は、n が3の累乗数のとき（n が 1 = 3⁰ のときも含む）は全てハーシャッド数である。

nの値と必ず含まれる約数

偶数 - 11
- 4の倍数 - 11 · 101
- 6の倍数 - 3・7・11・13・37
3の倍数 - 3 · 37
5の倍数 - 41 · 271
7の倍数 - 239 · 4649
17の倍数 - 2071723 · 5363222357

など

901型の例

前述の通り、R_2n は11つまりR₂ で割り切れる。同様に、2×n桁のR_2n は、n桁のR_n で割り切れる。さらに、nが奇数の時、R_n は11で割り切れないから、R₂ と　R_n　は互いに素となる。よって、R_2nは、R₂ × R_n で割り切れて、その商は、n桁の数 100…1 ÷ 11 の計算値となるから、 n-1 桁の数 9090…91 である。

これらの関係を表にまとめると以下のようになる。

n（奇数）	2 × n	R_2n	R_2nの値（2×n桁）		R₂ × R_n	R₂ × R_nの値（n+1桁）		R_2n ÷ R₂ ÷ R_nの値（n-1桁）	R_2n ÷ R₂ ÷ R_nの素因数分解
3	6	R₀₆	111111	＝	R₂ × R₃	1221	×	91	7 · 13
5	10	R₁₀	1111111111		R₂ × R₅	122221		9091	素数
7	14	R₁₄	11111111111111		R₂ × R₇	12222221		909091	素数
9	18	R₁₈	111111111111111111		R₂ × R₉	1222222221		90909091	7 · 13 · 19 · 52579
11	22	R₂₂	1111111111111111111111		R₂ × R₁₁	122222222221		9090909091	11 · 23 · 4093 · 8779

nが偶数の時のR_2n、その他についての例は以下。

R₁₂ = 11222211 × 9901
R₂₀ = 1222210000122221 × 9091
R₂₄ = 112233332211 × 990000999901 = 1111222222221111 × 99990001
R₂₈ = 1222222100000012222221 × 909091
R₃₆ = 111111222222222222111111× 999999000001
R₃₉ = 123333333333321 × 900900900900990990990991

など

R₀₆ = 11 × (9091 + 1010)
R₀₈ = 11 × (909091 + 101010)
R₁₀ = 11 × (90909091 + 10101010)

^[3]^[4]^[5]^[6]

1と0のみで表す例

_n	(10^n/2 − 1) / 9	^[7]	10^n/2 + 1
R₀₂	1	1 × 11	11
R₀₄	11	11 × 101	101
R₀₆	3 · 37	111 × 1001	7 · 11 · 13
R₀₈	11 · 101	1111 × 10001	73 · 137
R₁₀	41 · 271	11111 × 100001	11 · 9091

_n
R₀₂		0001 × 11	1 × 11
R₀₃	#	0001 × 111
R₀₄	$	0001 × 1111	11 × 101
R₀₅	%	0001 × 11111
R₀₆	&	0001 × 111111	111 × 1001
R₀₆	#	0011 × 10101
R₀₇	*	0001 × 1111111
R₀₈	$	0011 × 1010101	1111 × 10001
R₀₉	#	0111 × 1001001
R₁₀	%	0011 × 101010101	11111 × 100001
R₁₂	&	0011 × 10101010101	111111 × 1000001
	$	0111 × 1001001001
	#	1111 × 100010001
R₁₄	*	0011 × 1010101010101	1111111 × 10000001

_n
R₀₆	1 × 111 × 1001	91 · 11
R₁₂	11 × 10101 × 1000001	9901 · 101
R₁₈	111 × 1001001 × 1000000001	999001 · 1001
R₂₄	1111 × 100010001 × 1000000000001	99990001 · 10001

_n
R₀₄	11 × 101
R₀₈	101 × 110011
R₁₂	1001 × 111000111	1221001221 × 91
R₁₆	10001 × 111100001111
R₂₀	100001 × 111110000011111	1222210000122221 × 9091
R₂₄	1000001 × 111111000000111111	1221001221001221001221 × 91

累乗数 − 累乗数

^[8]

_n	R_n×(10ⁿ+1)
	^[9]^[10]^[11]
R₀₂	6² − 5²	6² − 5²		6² − 5²
R₀₃		56² − 55²	56² − 55²
R₀₄	56² − 45²	556² − 555²
R₀₅		5556² − 5555²
R₀₆	556² − 445²	55556² − 55555²	5056² − 5045²	656² − 565²
R₀₇		555556² − 555555²
R₀₈	5556² − 4445²	0G（省略）
R₀₉		0F（省略）	500556² − 500445²
R₁₀	0E（省略）	0E（省略）		65656² − 56565²
R₁₁		0D（省略）
R₁₂	0C（省略）	0C（省略）	50005556² − 50004445²
R₁₃		0B（省略）
R₁₄	0C（省略）	0A（省略）		6565656² - 5656565²

レピュニット素数

現在、R_n で n = 2, 19, 23, 317, 1031, 49081 の場合に素数となることが証明されている。しかし桁数が大きい確率的素数 (PRP, probable prime) は素数判定が困難であり、例えば2022年3月に素数であることが証明された R₄₉₀₈₁ は、1999年に H. Dubner が確率的素数として発見してから P. Underwood によって素数判定されるまで23年を要した^[12]。

2007年4月3日、H. Dubner は n=109297 の場合が PRP であると発表し^[13]、その後 n≦200000 にはそれ以外の PRP は見つかっていないと報告している^[14]^{[リンク切れ]}。同年7月15日、M. Voznyy は n=270343 の場合が PRP であると発表した^[15]。

2021年4月20日、S. Batalov と R. Propper は n=5794777 を^[16]、同年5月8日に n=8177207 を PRP であると発表した^[17]。発表時点ではそれぞれが知られている最大の PRP であった。

*R_n* = (10ⁿ − 1) / 9
No.	n	年	発見者	素数判定
1	2	-	-	○
2	19	-	-	○
3	23	-	-	○
4	317	1978	Williams	○
5	1031	1986	Williams, Dubner	○
6	49081	1999	Dubner	○
7	86453	2000	Baxter	-
8	109297	2007	Dubner	-
9	270343	2007	Voznyy	-
10	5794777	2021	Batalov, Ryan	-
11	8177207	2021	Batalov, Ryan	-

(オンライン整数列大辞典の数列 A004023)

レピュニットの素因数分解

レピュニットは、2と5を除く素数の積で構成されている^[18]。

基数 10 のレピュニットの R₁ から R₁₂₂ までの素因数分解の一覧を示す^[19]。

n が素数の場合は背景のセルを水色にして示す。

※ 素因数の数(含重複)

2022年末現在、素因数分解が完全には計算されていない最小のレピュニットは、n=353に当たる数である。

基数10 のレピュニットのRn(n=1~122)の素因数分解の表
n	※	素因数分解

1	0	01
2	1	11 (素数)
3	2	03 · 37
4	2	11 · ‾C101
5	2	41 · 271
6	5	03 · 07 · 11 · 13 · 37
7	2	‾C239 · 4649
8	4	11 · 73 · ‾C101 · 137
9	4	03² · 37 · ‾F333667
10	4	11 · 41 · ‾C271 · 9091
11	2	‾E21649 · 513239
12	7	03 · 07 · 11 · 13 · 37 · ‾C101 · 9901
13	3	53 · 79 · 265371653
14	4	11 · ‾C239 · 4649 · 909091
15	6	03 · 31 · 37 · 41 · ‾C271 · 2906161
16	6	11 · 17 · 73 · 101 · 137 · 5882353
17	2	‾G2071723 · 5363222357
18	9	03² · 07 · 11 · 13 · 19 · 37 · ‾E52579 · 333667
19	1	‾S1111111111111111111 (素数)
20	7	11 · 41 · ‾C101 · 271 · 3541 · 9091 · 27961
21	7	03 · 37 · 43 · 239 · 1933 · 4649 · 10838689
22	7	11² · 23 · ‾D4093 · 8779 · 21649 · 513239
23	1	‾W11111111111111111111111 (素数)
24	10	03 · 07 · 11 · 13 · 37 · 73 · 101 · 137 · 9901 · 99990001
25	5	41 · 271 · ‾E21401 · 25601 · 182521213001
26	6	11 · 53 · 79 · 859 · 265371653 · 1058313049
27	7	03³ · 37 · 757 · 333667 · 440334654777631
28	8	11 · 29 · ‾C101 · 239 · 281 · 4649 · 909091 · 121499449
29	5	‾D3191 · 16763 · 43037 · 62003 · 77843839397
30	13	03 · 07 · 11 · 13 · 31 · 37 · 41 · ‾C211 · 241 · 271 · 2161 · 9091 · 2906161
31	3	‾D2791 · 6943319 · 57336415063790604359
32	11	11 · 17 · 73 · 101 · 137 · 353 · 449 · 641 · 1409 · 69857 · 5882353
33	6	03 · 37 · 67 · 21649 · 513239 · 1344628210313298373
34	6	11 · ‾C103 · 4013 · 2071723 · 5363222357 · 21993833369
35	7	41 · 071 · 239 · 271 · 4649 · 123551 · 102598800232111471
36	12	03² · 07 · 11 · 13 · 19 · 37 · ‾C101 · 9901 · 52579 · 333667 · 999999000001
37	3	‾G2028119 · 247629013 · 2212394296770203368013
38	3	11 · ‾R909090909090909091 · 1111111111111111111
39	6	03 · 37 · 53 · 79 · 265371653 · 900900900900990990990991
40	11	11 · 41 · 73 · 101 · 137 · 271 · 3541 · 9091 · 27961 · 1676321 · 5964848081
41	4	83 · 1231 · 538987 · 201763709900322803748657942361
42	15	03 · 07² · 11 · 13 · 37 · 43 · 127 · 239 · 1933 · 2689 · 4649 · 459691 · 909091 · 10838689
43	4	‾C173 · 1527791 · 1963506722254397 · 2140992015395526641
44	11	11² · 23 · 89 · 101 · 4093 · 8779 · 21649 · 513239 · 1052788969 · 1056689261
45	10	03² · 31 · 37 · 41 · 271 · 238681 · 333667 · 2906161 · 4185502830133110721
46	6	11 · 47 · 139 · 2531 · 549797184491917 · 11111111111111111111111
47	2	‾H35121409 · 316362908763458525001406154038726382279
48	13	03 · 07 · 11 · 13 · 17 · 37 · 73 · ‾C101 · 137 · 9901 · 5882353 · 99990001 · 9999999900000001
49	4	‾C239 · 4649 · ‾I505885997 · 1976730144598190963568023014679333
50	10	11 · 41 · ‾C251 · 271 · 5051 · 9091 · 21401 · 25601 · 182521213001 · 78875943472201
51	8	03 · 37 · ‾C613 · 210631 · 2071723 · 52986961 · 5363222357 · 13168164561429877
52	9	11 · 53 · 79 · 101 · 521 · 859 · 265371653 · 1058313049 · 1900381976777332243781
53	4	‾C107 · 1659431 · 1325815267337711173 · 7198858799491425660200071
54	14	03³ · 07 · 11 · 13 · 19 · 37 · 757 · 52579 · 333667 · 70541929 · 14175966169 · 440334654777631
55	8	41 · 271 · 1321 · 21649 · 62921 · 513239 · 83251631 · 1300635692678058358830121
56	12	11 · 29 · 73 · 101 · 137 · 239 · 281 · 4649 · 7841 · 909091 · 121499449 · 127522001020150503761
57	6	03 · 37 · ‾E21319 · 10749631 · 1111111111111111111 · 3931123022305129377976519
58	8	11 · 59 · ‾D3191 · 16763 · 43037 · 62003 · 77843839397 · 154083204930662557781201849
59	2	‾M2559647034361 · 4340876285657460212144534289928559826755746751
60	20	03 · 07 · 11 · 13 · 31 · 37 · 41 · 61 · ‾C101 · 211 · 241 · 271 · 2161 · 3541 · 9091 · 9901 · 27961 · 2906161 · 4188901 · 39526741
61	7	‾C733 · 4637 · 329401 · 974293 · 1360682471 · 106007173861643 · 7061709990156159479
62	5	11 · ‾D2791 · 6943319 · 57336415063790604359 · 909090909090909090909090909091
63	14	03² · 37 · 43 · 239 · 1933 · 4649 · 10837 · 23311 · 45613 · 333667 · 10838689 · 45121231 · 1921436048294281
64	15	11 · 17 · 73 · 101 · 137 · 353 · 449 · 641 · 1409 · 19841 · 69857 · 976193 · 5882353 · 6187457 · 834427406578561
65	7	41 · 053 · 79 · 271 · 265371653 · 162503518711 · 5538396997364024056286510640780600481
66	15	03 · 07 · 11² · 13 · 23 · 37 · 67 · 4093 · 8779 · 21649 · 513239 · 599144041 · 183411838171 · 1344628210313298373
67	3	‾F493121 · 79863595778924342083 · 28213380943176667001263153660999177245677
68	10	11 · ‾C101 · 103 · 4013 · 2071723 · 28559389 · 1491383821 · 5363222357 · 21993833369 · 2324557465671829
69	6	03 · 37 · ‾C277 · 203864078068831 · 11111111111111111111111 · 1595352086329224644348978893
70	12	11 · 41 · 71 · 239 · 271 · 4649 · 9091 · 123551 · 909091 · 4147571 · 102598800232111471 · 265212793249617641
71	2	‾ZD241573142393627673576957439049 · 45994811347886846310221728895223034301839
72	18	03² · 07 · 11 · 13 · 19 · 37 · 73 · 101 · 137 · 3169 · 9901 · 52579 · 98641 · 333667 · 99990001 · 999999000001 · 3199044596370769
73	3	‾K12171337159 · 1855193842151350117 · 49207341634646326934001739482502131487446637
74	7	11 · ‾D7253 · 2028119 · 247629013 · 422650073734453 · 296557347313446299 · 2212394296770203368013
75	12	03 · 31 · 37 · 41 · ‾C151 · 271 · 4201 · 21401 · 25601 · 2906161 · 182521213001 · 15763985553739191709164170940063151
76	6	11 · ‾C101 · 722817036322379041 · 909090909090909091 · 1111111111111111111 · 1369778187490592461
77	8	‾C239 · 4649 · 5237 · 21649 · 42043 · 513239 · 29920507 · 136614668576002329371496447555915740910181043
78	15	03 · 07 · 11 · 13² · 37 · 53 · 79 · 157 · 859 · 6397 · 216451 · 265371653 · 1058313049 · 388847808493 · 900900900900990990990991
79	6	‾C317 · 6163 · 10271 · 307627 · 49172195536083790769 · 3660574762725521461527140564875080461079917
80	15	11 · 17 · 41 · 73 · 101 · 137 · 271 · 3541 · 9091 · 27961 · 1676321 · 5070721 · 5882353 · 5964848081 · 19721061166646717498359681
81	13	03⁴ · 37 · 163 · 757 · 9397 · 333667 · 2462401 · 440334654777631 · 676421558270641 · 130654897808007778425046117
82	7	11 · 83 · 1231 · 538987 · 2670502781396266997 · 3404193829806058997303 · 201763709900322803748657942361
83	3	‾M3367147378267 · 9512538508624154373682136329 · 346895716385857804544741137394505425384477
84	21	03 · 07² · 11 · 13 · 29 · 37 · 43 · 101 · 127 · 239 · 281 · 1933 · 2689 · 4649 · 9901 · 226549 · 459691 · 909091 · 10838689 · 121499449 · 4458192223320340849
85	7	41 · 271 · ‾G2071723 · 262533041 · 5363222357 · 8119594779271 · 4222100119405530170179331190291488789678081
86	8	11 · ‾C173 · 1527791 · 57009401 · 2182600451 · 1963506722254397 · 2140992015395526641 · 7306116556571817748755241
87	10	03 · 37 · ‾D3191 · 4003 · 16763 · 43037 · 62003 · 72559 · 77843839397 · 310170251658029759045157793237339498342763245483
88	15	11² · 23 · 73 · 89 · 101 · 137 · 617 · 4093 · 8779 · 21649 · 513239 · 1052788969 · 1056689261 · 16205834846012967584927082656402106953
89	5	‾F497867 · 103733951 · 104984505733 · 5078554966026315671444089 · 403513310222809053284932818475878953159
90	22	03² · 07 · 11 · 13 · 19 · 31 · 37 · 41 · 211 · 241 · 271 · 2161 · 9091 · 29611 · 52579 · 238681 · 333667 · 2906161 · 3762091 · 8985695684401 · 4185502830133110721
91	12	53 · 79 · 239 · 547 · 4649 · 14197 · 17837 · 4262077 · 265371653 · 43442141653 · 316877365766624209 · 110742186470530054291318013
92	10	11 · 47 · 101 · 139 · 1289 · 2531 · 18371524594609 · 549797184491917 · 11111111111111111111111 · 4181003300071669867932658901
93	6	03 · 37 · ‾D2791 · 6943319 · 57336415063790604359 · 900900900900900900900900900900990990990990990990990990990991
94	6	11 · ‾D6299 · 35121409 · 4855067598095567 · 297262705009139006771611927 · 316362908763458525001406154038726382279
95	8	41 · 191 · 271 · 59281 · 63841 · 1111111111111111111 · 1289981231950849543985493631 · 965194617121640791456070347951751
96	22	03 · 07 · 11 · 13 · 17 · 37 · 73 · 97 · 101 · 137 · 353 · 449 · 641 · 1409 · 9901 · 69857 · 206209 · 5882353 · 99990001 · 66554101249 · 75118313082913 · 9999999900000001
97	3	‾H12004721 · 846035731396919233767211537899097169 · 109399846855370537540339266842070119107662296580348039
98	8	11 · ‾C197 · 239 · 4649 · 909091 · 505885997 · 1976730144598190963568023014679333 · 5076141624365532994918781726395939035533
99	12	03² · 37 · 67 · 199 · 397 · 21649 · 34849 · 333667 · 513239 · 1344628210313298373 · 362853724342990469324766235474268869786311886053883
100	17	11 · 41 · ‾C101 · 251 · 271 · 3541 · 5051 · 9091 · 21401 · 25601 · 27961 · 60101 · 7019801 · 182521213001 · 14103673319201 · 78875943472201 · 1680588011350901
101	3	‾ZB4531530181816613234555190841 · 129063282232848961951985354966759 · 18998088572819375252842078421374368604969
102	16	03 · 07 · 11 · 13 · 37 · ‾C103 · 613 · 4013 · 210631 · 2071723 · 52986961 · 5363222357 · 21993833369 · 291078844423 · 13168164561429877 · 377526955309799110357
103	3	‾D1031 · 7034077 · 153211620887015423991278431667808361439217294295901387715486473457925534859044796980526236853
104	13	11 · 53 · 73 · 79 · 101 · 137 · 521 · 859 · 1580801 · 265371653 · 1058313049 · 1900381976777332243781 · 632527440202150745090622412245443923049201
105	17	03 · 31 · 37 · 41 · 43 · 71 · 239 · 271 · 1933 · 4649 · 123551 · 2906161 · 10838689 · 30703738801 · 625437743071 · 102598800232111471 · 57802050308786191965409441
106	6	11 · ‾C107 · 1659431 · 1325815267337711173 · 47198858799491425660200071 · 9090909090909090909090909090909090909090909090909091
107	8	‾C643 · 999809 · 9885089 · 215257037 · 2386760191 · 511399538427507881 · 646826950155548399 · 10288079467222538791302311556310051849
108	20	03³ · 07 · 11 · 13 · 19 · 37 · 101 · 109 · 757 · 9901 · 52579 · 153469 · 333667 · 70541929 · 14175966169 · 999999000001 · 440334654777631 · 59779577156334533866654838281
109	4	‾G1192679 · 712767480971213008079 · 5295275348767234696493 · 246829743984355435962408390910378218537282105150086881669547
110	18	11² · 23 · 41 · 271 · 331 · 1321 · 4093 · 5171 · 8779 · 9091 · 21649 · 62921 · 513239 · 83251631 · 20163494891 · 318727841165674579776721 · 1300635692678058358830121
111	9	03 · 37² · 2028119 · 247629013 · 30557051518647307 · 2212394296770203368013 · 8845981170865629119271997 · 90077814396055017938257237117
112	17	11 · 17 · 29 · 73 · 101 · 113 · 137 · 239 · 281 · 4649 · 7841 · 909091 · 5882353 · 121499449 · 73765755896403138401 · 127522001020150503761 · 119968369144846370226083377
113	3	‾C227 · 908191467191 · 53895712312217719065267103426685397298498705173449226555003346881878523705781079015749721646701723
114	12	03 · 07 · 11 · 13 · 37 · ‾E21319 · 1458973 · 10749631 · 909090909090909091 · 1111111111111111111 · 3931123022305129377976519 · 753201806271328462547977919407
115	8	41 · 271 · ‾E31511 · 19707665921 · 20414137203567631 · 11111111111111111111111 · 5799951513941382144830754391 · 122403569491783662720773144041
116	13	11 · 59 · ‾C101 · 349 · 3191 · 16763 · 38861 · 43037 · 62003 · 618049 · 77843839397 · 154083204930662557781201849 · 11811806375201836408679635736258669583187541
117	12	03² · 37 · 53 · 79 · 333667 · 265371653 · 240396841140769 · 537947698126879 · 3352825314499987 · 900900900900990990990991 · 2304017384484085131816292573
118	6	11 · ‾D1889 · 2559647034361 · 1090805842068098677837 · 4411922770996074109644535362851087 · 4340876285657460212144534289928559826755746751
119	8	‾C239 · 4649 · ‾F923441 · 2071723 · 5363222357 · 3924966376871 · 768736559421401249042753476963 · 323012942148562751650814544437350454640448842187
120	26	03 · 07 · 11 · 13 · 31 · 37 · 41 · 61 · 73 · 101 · 137 · 211 · 241 · 271 · 2161 · 3541 · 9091 · 9901 · 27961 · 1676321 · 2906161 · 4188901 · 39526741 · 99990001 · 5964848081 · 100009999999899989999000000010001
121	6	15973 · 21649 · 38237 · 274187 · 513239 · 597149176209530412360795391497657340159943421992502538230831481682232969649167277637825641074323
122	10	11 · 733 · 4637 · 81131 · 329401 · 974293 · 1360682471 · 106007173861643 · 7061709990156159479 · 11205222530116836855321528257890437575145023592596037161

一般化

10以外の基数に対してもレピュニットを定義することができる。基数 a に対してn桁のレピュニットは $R_{n}(a)={\frac {a^{n}-1}{a-1}}$ と定義される。

前述の通り、a = 2 のときのレピュニットはメルセンヌ数である。また、a が素数ならば、これは a^{n − 1} の約数の和に一致する。

基数 a ≤ 100 のレピュニットが累乗数となるのは R₅(3) = 11², R₄(7) = 20², R₃(18) = 7³ の場合しかない（Bugeaud 1999b^[20]）。

F_d(x) を d 次の円分多項式とすると、

R_{n}(a)=\prod _{d\mid n,\,d>1}F_{d}(a)

と表すことができる。

脚注

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注釈

^ アルバート・ベイラーは以下のように記している：
A number which consists of a repeated of a single digit is sometimes called a monodigit number, and for convenience the author has used the term “repunit number”(repeated unit) to represent monodigit numbers consisting solely of the digit 1. ^[1]

出典

^ Beiler 2013, pp. 83
^ Yann Bugeaud and M. Mignotte, On integers with identical digits, Mathematika 46 (1999), 411–417.
^ 电算游戏（六）“901”型的等式队列_屏山老马_新浪博客
^ 电算游戏（六）之二“9090…91”型数等式队列_屏山老马_新浪博客
^ 1111…1という数（レピュニット）の素因数分解を納得する - アジマティクス
^ Aufgaben und Lösungen 1. Runde 2016
^ Factors of 10n − 1,10 n + 1,2n − 1 and 2 n + 1.
^ World!Of Numbers
^ Number Theory の話題（Repunit Number と Zsigmondy's Theorem）
^ nombre - onze en maths
^ persistance et repdigits
^ Paul Underwood (2022年3月21日). “R49081 is prime!”. MersenneForum. 2022年3月29日閲覧。
^ Harvey Dubner, R₁₀₉₂₉₇ に関するアナウンス、Number Theory List
^ “Yahoo! Groups” (英語). groups.yahoo.com. 2018年4月6日閲覧。
^ Maksym Voznyy, R₂₇₀₃₄₃ に関するアナウンス、Number Theory List
^ “New repunit (PRP) primes found”. MersenneForum (2021年4月20日). 2022年3月29日閲覧。
^ “It is R8177207”. MersenneForum (2021年5月8日). 2022年3月29日閲覧。
^ 『{{{2}}}』 - 高校数学の美しい物語
^ 鎌田誠. “11...11 (レピュニット) の素因数分解”. STUDIO KAMADA. 2022年3月29日閲覧。
^ Yann Bugeaud, On the diophantine equation $a{\frac {x^{n}-1}{x-1}}=y^{q}$ , Number Theory ( Turku, 1999), 19–24, de Gruyter, 2001.

参考文献

Beiler, Albert H. (2013) [1964], Recreations in the Theory of Numbers: The Queen of Mathematics Entertains, Dover Recreational Math (2nd Revised ed.), New York: Dover Publications, ISBN 978-0-486-21096-4
Dickson, Leonard Eugene; Cresse, G.H. (1999-04-24), History of the Theory of Numbers, AMS Chelsea Publishing, Volume I (2nd Reprinted ed.), Providence, Rhode Island: American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-1934-0
Francis, Richard L. (1988-05), “Mathematical Haystacks: Another Look at Repunit Numbers”, The College Mathematics Journal 19 (3): 240-246
Ribenboim, Paulo (1996-02-02), The New Book of Prime Number Records, Computers and Medicine (3rd ed.), New York: Springer, ISBN 978-0-387-94457-9
Yates, Samuel (1982-05), Repunits and repetends, FL: Delray Beach, ISBN 978-0-9608652-0-8

外部リンク

『レプユニット数』 - 高校数学の美しい物語
11...11 (レピュニット) の素因数分解（n = 20万までの一覧）
Factorizations of Repunit Numbers （n = 14980までの一覧）
纯元数的实验与探究
collection de nombres, rep-unit
Weisstein, Eric W. "Repunit". mathworld.wolfram.com (英語).

[2] アルバート・ベイラーは以下のように記している：
A number which consists of a repeated of a single digit is sometimes called a monodigit number, and for convenience the author has used the term “repunit number”(repeated unit) to represent monodigit numbers consisting solely of the digit 1. ^[1]

[1] Beiler 2013, pp. 83

[3] Yann Bugeaud and M. Mignotte, On integers with identical digits, Mathematika 46 (1999), 411–417.

[4] 电算游戏（六）“901”型的等式队列_屏山老马_新浪博客

[5] 电算游戏（六）之二“9090…91”型数等式队列_屏山老马_新浪博客

[6] 1111…1という数（レピュニット）の素因数分解を納得する - アジマティクス

[7] Aufgaben und Lösungen 1. Runde 2016

[8] Factors of 10n − 1,10 n + 1,2n − 1 and 2 n + 1.

[9] World!Of Numbers

[10] Number Theory の話題（Repunit Number と Zsigmondy's Theorem）

[11] re - onze en maths

[12] rsistance et repdigits

[13] Paul Underwood (2022年3月21日). “R49081 is prime!”. MersenneForum. 2022年3月29日閲覧。

[14] Harvey Dubner, R₁₀₉₂₉₇ に関するアナウンス、Number Theory List

[15] “Yahoo! Groups” (英語). groups.yahoo.com. 2018年4月6日閲覧。

[16] Maksym Voznyy, R₂₇₀₃₄₃ に関するアナウンス、Number Theory List

[17] “New repunit (PRP) primes found”. MersenneForum (2021年4月20日). 2022年3月29日閲覧。

[18] “It is R8177207”. MersenneForum (2021年5月8日). 2022年3月29日閲覧。

[19] 『{{{2}}}』 - 高校数学の美しい物語

[20] 鎌田誠. “11...11 (レピュニット) の素因数分解”. STUDIO KAMADA. 2022年3月29日閲覧。

[21] Yann Bugeaud, On the diophantine equation $a{\frac {x^{n}-1}{x-1}}=y^{q}$ , Number Theory ( Turku, 1999), 19–24, de Gruyter, 2001.

[注釈 1]

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[14]

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[18]

[19]

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表話編歴素数の分類
生成式	フェルマー ( $2 2 n + 1$ ) メルセンヌ ( $2 p - 1$ ) 二重メルセンヌ ( $2 2 p -1 - 1$ ) ワグスタッフ ( $(2 p + 1)/3$ ) プロス ( $k \cdot2 n + 1$ ) 階乗 ( $n! \pm 1$ ) 素数階乗 ( $p n # \pm 1$ ) ユークリッド ( $p n # + 1$ ) ピタゴラス ( $4 n + 1$ ) ピアポント ( $2 u \cdot3 v + 1$ ) Quartan（英語版） ( $x 4 + y 4$ ) ソリナス（英語版） ( $2 a \pm 2 b \pm 1$ ) カレン ( $n \cdot2 n + 1$ ) ウッダル ( $n \cdot2 n - 1$ ) Cuban（英語版） ( $(x 3 - y 3)/(x - y)$ ) キャロル ( $(2 n - 1) 2 - 2$ ) Kynea ( $(2 n + 1) 2 - 2$ ) レイランド ( $x y + y x$ ) サービト（英語版） ( $3\cdot2 n - 1$ ) ミルズ ( $[A] 3 n$ )
漸化式（英語版）	フィボナッチリュカペルニューマン–シャンクス–ウィリアムズペラン分割ベルモツキン
各種の性質	ヴィーフェリッヒ（英語版） (対（英語版）) ウォール–孫–孫（英語版）ウォルステンホルムウィルソン幸運フォーチュンラマヌジャン（英語版）ピライ正則強（英語版）スターン Supersingular (楕円曲線)（英語版） Supersingular (ムーンシャイン理論)（英語版）良いスーパーヒッグス（英語版）高度コトーティエント（英語版）
基数依存	ハッピー二面（英語版）回文エマープレピュニット ( $(10 n - 1)/9$ ) 置換可能 Circular（英語版）切り捨て可能 Strobogrammatic（英語版） Minimal（英語版）弱いフルサイクルプライム Unique（英語版） Primeval（英語版）自己スマランダチェ–ウェラン（英語版）
組	互いに素双子 ( $p, p + 2$ ) Bi-twin chain ( $n - 1, n + 1, 2 n - 1, 2 n + 1, \dots$ ) 三つ子 ( $p, p + 2$ or $p + 4, p + 6$ ) 四つ子 ( $p, p + 2, p + 6, p + 8$ ) k−Tuple いとこ ( $p, p + 4$ ) セクシー ( $p, p + 6$ ) 陳ソフィー・ジェルマン ( $p, 2 p + 1$ ) カニンガム鎖 ( $p, 2 p \pm 1, \dots$ ) 安全 ( $p, (p - 1)/2$ ) 算術数列（英語版） ( $p + an; n = 0, 1, \dots$ ) 平衡 ( $p - n, p, p + n$ )
桁数	タイタニック ( $103$ 桁以上) 巨大 ( $104$ 桁以上) メガ ( $106$ 桁以上)
複素数	アイゼンシュタイン素数（英語版）ガウス素数
合成数	擬素数概素数半素数楔数 Interprime（英語版）
関連する話題	確率的素数 Industrial-grade prime（英語版）違法素数素数の公式（英語版）素数の間隔『巨大な素数の一覧』
最初の50個	$2$ $3$ $5$ $7$ $11$ $13$ $17$ $19$ $23$ $29$ $31$ $37$ $41$ $43$ $47$ $53$ $59$ $61$ $67$ $71$ $73$ $79$ $83$ $89$ $97$ $101$ $103$ $107$ $109$ $113$ $127$ $131$ $137$ $139$ $149$ $151$ $157$ $163$ $167$ $173$ $179$ $181$ $191$ $193$ $197$ $199$ $211$ $223$ $227$ $229$
素数の一覧