ログランク検定

ログランク検定（ログランクけんてい、英: logrank test, or log-rank test）は、2つの標本の生存分布を比較する仮説検定である。これはノンパラメトリック検定で、データが右に歪んで打ち切られている場合に使用するのに適している（技術的には、打ち切りは情報を与えないものでなければならない）。この検定は、臨床試験において、新しい治療法の有効性を対照群と比較して確立するため広く使用されており、測定する対象は事象発生までの時間（初回治療から心臓発作までの時間など）である。この検定は、ネイサン＝マンテルとデイヴィッド・コックスにちなんでマンテル＝コックス検定と呼ばれることもある。ログランク検定は、時間層別化されたコクラン＝マンテル＝ヘンツェル検定と見なすこともできる。

この検定は、ネイサン＝マンテルによって最初に提案され、リチャード・ピートとジュリアン＝ピートによってログランク検定と命名された。

定義

ログランク検定統計量は、観察された各事象の時間における2つのグループのハザード関数の推定値を比較する。これは、観察された事象の時間ごとに、いずれかのグループでの事象の観測数と期待数を計算し、これらを加算して、事象があったすべての時点にわたる全体的な要約を得ることによって構築される。

患者の2つのグループ、たとえば治療群と対照群を考える。 どちらかのグループで観察された事象の明確な時間を $1,\ldots ,J$とする。$N_{1,j}$ および $N_{2,j}$ を、それぞれのグループ内における、時間 $j$ の開始時点での「リスクがある」（まだ事象が発生していない、または打ち切られていない）被験者の数とする。また、$O_{1,j}$ および $O_{2,j}$ を、時間 $j$ における各群で観測された事象の数とする。最後に、 $N_{j}=N_{1,j}+N_{2,j}$ と $O_{j}=O_{1,j}+O_{2,j}$ を定義する。

帰無仮説は、2つのグループのハザード関数が同一であるというもので、$H_{0}:h_{1}(t)=h_{2}(t)$ となる。したがって、$H_{0}$ の下では、各グループ $i=1,2$ に対して、$O_{i,j}$ はパラメータ $N_{j}$, $N_{i,j}$, $O_{j}$ を持つ超幾何分布に従う。この分布は、期待値が $E_{i,j}=N_{i,j}{\frac {O_{j}}{N_{j}}}$、分散が $V_{i,j}=E_{i,j}\left({\frac {N_{j}-O_{j}}{N_{j}}}\right)\left({\frac {N_{j}-N_{i,j}}{N_{j}-1}}\right)$ である。

ログランク統計量は、すべての $j=1,\ldots ,J$ について、$O_{i,j}$ と $H_{0}$ のもとでの期待値 $E_{i,j}$ と比較するものである。これは $Z={\frac {\sum _{j=1}^{J}(O_{i,j}-E_{i,j})}{\sqrt {\sum _{j=1}^{J}V_{i,j}}}}\ {\xrightarrow {d}}\ {\mathcal {N}}(0,1)$      ($i=1$ または $2$ の場合) として定義されている。

中心極限定理により、$Z$ の分布は、$J$ が無限に近づくにつれて標準正規分布の分布に収束するため、十分に大きな $J$ に対しては標準正規分布で近似することができる。Peto and Petoの論文の付録Bで記述されているように、この量を、ピアソンの第1種ベータ分布または第2種ベータ分布（最初の4つのモーメントを一致させる）と等しくすることにより、より良い近似が得られる。

漸近分布

2つのグループが同じ生存関数を持つ場合、ログランク統計量は近似的に標準正規分布となる。片側レベル $\alpha$ 検定は、$Z>z_{\alpha }$ ならば帰無仮説を棄却する。ここで $z_{\alpha }$ は、標準正規分布の上位 $\alpha$ 分位点である。ハザード比を $\lambda$、被験者総数を $n$ 人、どちらかの群の被験者が最終的に事象を起こす確率を $d$ （したがって、$nd$ は分析時の事象の期待数）、各群に無作為に割り振られた被験者の割合を50%とすると、ログランク統計量は平均 $(\log {\lambda })\,{\sqrt {\frac {n\,d}{4}}}$、分散 1 の近似正規分布となる。検出力 $1-\beta$ の片側レベル $\alpha$ 検定の場合、必要な標本サイズは $n={\frac {4\,(z_{\alpha }+z_{\beta })^{2}}{d\log ^{2}{\lambda }}}$ となり、ここに $z_{\alpha }$ と $z_{\beta }$ は標準正規分布の分位数である。

同時分布

$Z_{1}$ および $Z_{2}$ を、同じ検定の2つの異なる時点でのログランク統計量であるとする（$Z_{1}$ が先）。ここでも、2つのグループのハザード関数がハザード比 $\lambda$ に比例し、$d_{1}$ と $d_{2}$ は $d_{1}\leq d_{2}$ の2つの時点で被験者が事象を起こす確率であると仮定する。$Z_{1}$ および $Z_{2}$ は、平均 $\log {\lambda }\,{\sqrt {\frac {n\,d_{1}}{4}}}$ と $\log {\lambda }\,{\sqrt {\frac {n\,d_{2}}{4}}}$ 、相関 ${\sqrt {\frac {d_{1}}{d_{2}}}}$ を持つ近似二変量正規分布である。データモニタリング委員会による1つの検査でデータが複数回が調査された場合、エラー率を正しく維持するためには、同時分布を含む計算が必要となる。

他の統計との関係

• ログランク統計量は、2つのグループを比較するCox比例ハザードモデルのスコア検定として導出できる。したがって、その統計量は、そのモデルに基づく尤度比検定統計量と漸近的に等価である。
• ログランク統計量は、比例ハザード代替性を持つ任意の分布族の尤度比検定統計量と漸近的に等価である。たとえば、2つの標本からのデータが指数分布を持つ場合がある。
• $Z$ をログランク統計量、$D$ を観察された事象の数、${\hat {\lambda }}$ をハザード比の推定値とすると、$\log {\hat {\lambda }}\approx Z\,{\sqrt {4/D}}$ である。この関係は、2つの量が分かっている場合（たとえば、発表された論文から）、3つ目の量が必要な場合に有用である。
• ログランク統計量は、観測が打ち切られている場合に使用できる。データに打ち切られた観測が存在しない場合、ウィルコクソンの順位和検定が適切である。
• ログランク統計量は、事象が発生した時間にかかわらず、すべての計算に同じ重みを与える。ピートログランク検定統計量は、観測値の数が多い場合、初期の事象により多くの重みを与える。

検定の仮定

ログランク検定は、カプラン＝マイヤー生存曲線と同じ仮定に基づいている。すなわち、打ち切りは予後とは無関係であり、生存確率は研究の初期と後期に募集された被験者で同じであり、事象は指定された時間に起こったという仮定である。これらの仮定からの逸脱が問題となるのは、比較されるグループ間で充足の度合いが異なる場合である。たとえば、あるグループでは打ち切りが他のグループよりも起こりやすいなどである。

参照項目

• 生存分析
• カプラン＝マイヤー推定量
• ハザード比