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累積カイ二乗検定(るいせきかいじじょうけんてい、累積カイ二乗法、英:Cumulative chi-squared test)は統計学 における仮説検定 の一種である。東京大学の竹内啓 、広津千尋 らによって1966年に田口玄一 が導入した累積法 [ 1] [ 2] 統計学的仮説検定法 である。2つの変数の間、2つの母集団の間に差がないという帰無仮説 に対して、対立仮説 として帰無仮説の棄却ではなく、一つの変数または両方の変数が増加または減少をする傾向性 がある、といった対立仮説 を設定する[ 2] 順序尺度 で表される変数について、投与量の水準 が増加するにつれて反応が変化する、という対立仮説 を立てる[ 3] 検定法 としてはウィルコクソンの符号順位検定 などがある。
2つの母集団 A, B から抽出して得られる観測値
y
{\displaystyle y}
母集団 の優劣を比較する場合を考える。各観測値は順序のある
k
{\displaystyle k}
水準 のどれかに分けられるものとしたとき、各観測値を
y
i
j
(
i
=
1
,
2
j
=
1
,
2
,
.
.
.
,
k
)
{\displaystyle y_{ij}\ (i=1,2\ j=1,2,...,k)}
y
i
j
{\displaystyle y_{ij}}
k
{\displaystyle k}
p
i
j
(
i
=
1
,
2
j
=
1
,
2
,
…
,
k
)
{\displaystyle p_{ij}\ (i=1,2\ j=1,2,\ldots ,k)}
帰無仮説 は2つの母集団 A, B の間に差がないということを表すため次の式になる[ 2]
H
0
:
p
1
j
=
p
2
j
(
j
=
1
,
2
,
…
,
k
)
{\displaystyle H_{0}:p_{1j}=p_{2j}\ (j=1,2,\ldots ,k)}
単に帰無仮説 を棄却するのであれば対立仮説 は次のようになる
H
1
:
p
1
j
≠
p
2
j
{\displaystyle H_{1}:p_{1j}\neq p_{2j}}
しかしこの対立仮説 ではA, B の優劣を表すことができない。そこで各水準間に順序があることを考えて次の対立仮説 を想定する[ 2]
H
2
:
{
(
1
)
p
11
/
p
12
≥
p
21
/
p
22
≥
…
≥
p
1
k
/
p
2
k
(
2
)
p
11
/
p
12
≤
p
21
/
p
22
≤
…
≤
p
1
k
/
p
2
k
{\displaystyle H_{2}:{\begin{cases}(1)\ p_{11}/p_{12}\geq p_{21}/p_{22}\geq \ldots \geq p_{1k}/p_{2k}\\(2)\ p_{11}/p_{12}\leq p_{21}/p_{22}\leq \ldots \leq p_{1k}/p_{2k}\end{cases}}}
(
1
)
{\displaystyle (1)}
(
2
)
{\displaystyle (2)}
H
3
:
{
(
1
)
P
1
j
≥
P
2
j
(
j
=
1
,
2
,
…
,
k
−
1
)
(
2
)
P
1
j
≤
P
2
j
(
j
=
1
,
2
,
…
,
k
−
1
)
{\displaystyle H_{3}:{\begin{cases}(1)\ P_{1j}\geq P_{2j}\quad (j=1,2,\ldots ,k-1)\\(2)\ P_{1j}\leq P_{2j}\quad (j=1,2,\ldots ,k-1)\end{cases}}}
(
1
)
{\displaystyle (1)}
(
2
)
{\displaystyle (2)}
ただし
P
i
j
{\displaystyle P_{ij}}
累積確率 を表す。
P
i
j
=
∑
n
=
1
j
p
i
n
(
j
=
1
,
2
,
…
,
k
−
1
)
{\displaystyle P_{ij}=\sum _{n=1}^{j}p_{in}\quad (j=1,2,\ldots ,k-1)}
対立仮説
H
1
{\displaystyle H_{1}}
対立仮説
H
3
{\displaystyle H_{3}}
累積確率 で比較しても同等以上であることを表す[ 2]
上記の帰無仮説
H
0
{\displaystyle H_{0}}
H
0
j
{\displaystyle H_{0j}}
H
0
j
:
P
1
j
=
P
2
j
(
j
=
1
,
2
,
…
,
k
−
1
)
{\displaystyle H_{0j}:P_{1j}=P_{2j}\quad (j=1,2,\ldots ,k-1)}
この
H
0
{\displaystyle H_{0}}
χ
j
2
=
2
n
(
Y
1
j
−
Y
2
j
)
2
Y
⋅
j
(
2
n
−
Y
⋅
j
)
{\displaystyle {\chi _{j}}^{2}={\frac {2n(Y_{1j}-Y_{2j})^{2}}{Y_{\cdot j}(2n-Y_{\cdot j})}}}
＊
Y
i
j
=
∑
n
=
1
j
y
i
n
{\displaystyle Y_{ij}=\sum _{n=1}^{j}y_{in}}
この累積するカイ二乗値を結合して一つの検定統計量
χ
∗
2
=
∑
j
=
1
k
−
1
χ
j
2
{\displaystyle \chi ^{\ast 2}=\sum _{j=1}^{k-1}{\chi _{j}}^{2}}
とする[ 2]
傾向のある対立仮説 を想定する検定問題で
などに用いることができる[ 2]
用量反応関係 の検定などにおいて累積カイ二乗検定の適用となる分割表 のタイプには次のようなものが挙げられる
m×2 分割表(順序あり)
2×l 分割表(順序あり)
m×l 分割表(列に順序あり)
m×l 分割表(行・列とも順序あり)[ 3] 
