二十角形

正二十角形

二十角形（にじゅうかくけい、にじっかっけい、Icosagon）は、多角形の一つで、20辺の辺と20個の頂点を持つ図形である。内角の和は3240°、対角線の本数は170本である。

正二十角形

正二十角形においては、中心角と外角は18°で、内角は162°となる。一辺の長さが a の正二十角形の面積 S は

$S=5a^{2}\cot {\frac {\pi }{20}}=5\left(1+{\sqrt {5}}+{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\right)a^{2}\approx 31.5688a^{2}$

となる。

$\cos(2\pi /20)$を有理数と平方根で表すことが可能である。

$\cos {\frac {2\pi }{20}}=\cos {\frac {\pi }{10}}=\cos 18^{\circ }={\frac {1}{4}}{\sqrt {2\left(5+{\sqrt {5}}\right)}}$

正二十角形の作図

正二十角形は定規とコンパスによる作図が可能な図形である。

下図にて書き方を解説している

作図法

「半径２の正円」（緑）と「辺の長さが１とφの黄金長方形」（橙）を活用すると図のように当該正円の円周を２０等分する点を求めることができる。

外部リンク

• Weisstein, Eric W. "Icosagon". mathworld.wolfram.com (英語).