閉微分形式

微分位相幾何学における微分形式が閉 (closed) である、または閉微分形式（へいびぶんけいしき、英: closed differential form、短く閉形式 (closed form) とは、その外微分が零となるときに言う。

シュヴァルツの定理により、C¹-級函数係数の任意の完全微分形式は閉微分形式である。ポワンカレの補題はこの部分的な逆を保証する。

一次微分形式の場合

→詳細は「1-形式」を参照

n-次元の 1-形式 ${\textstyle \omega (u)=a_{1}(u){\mathit {dx}}_{1}+\dotsb +a_{n}(u){\mathit {dx}}_{n}}$ が閉であるとは、$${\frac {\partial a_{i}}{\partial x_{j}}}-{\frac {\partial a_{j}}{\partial x_{i}}}=0\quad (\forall i<j\leq n)$$ が成り立つことである。これは全部で n(n – 1)/2 この条件を満足することを言っている。

• 一次元の場合、可微分 1-形式 ω ≔ A(x)dx は常に閉である。
• 二次元の場合、1-形式 ω ≔ A(x, y)dx + B(x, y)dy が閉となるのは、$${\Bigl (}{\frac {\partial A}{\partial y}}{\Big )}_{x}={\Bigl (}{\frac {\partial B}{\partial x}}{\Big )}_{y}$$ を満たすときである。
• 三次元の場合、1-形式 ω ≔ A(x, y, z)dx + B(x, y, z)dy + C(x, y, z)dz が閉となるのは、$${\Bigl (}{\frac {\partial A}{\partial y}}{\Big )}_{x,z}={\Bigl (}{\frac {\partial B}{\partial x}}{\Big )}_{y,z};\qquad {\Bigl (}{\frac {\partial A}{\partial z}}{\Big )}_{x,y}={\Bigl (}{\frac {\partial C}{\partial x}}{\Big )}_{y,z};\qquad {\Bigl (}{\frac {\partial B}{\partial z}}{\Big )}_{x,y}={\Bigl (}{\frac {\partial C}{\partial y}}{\Big )}_{x,z}$$ となるときである。これは Ω ≔ ^t(A, B, C) に対して rot Ω = 0 となることに対応する。

参考文献

• （フランス語） Jacques Lafontaine, Introduction aux variétés différentielles
• （フランス語） Samuel Ferdinand Lubbe, Traité de calcul différentiel et de calcul intégral, Bachelier, 1832 [lire en ligne]

外部リンク

• Stover, Christopher; Weisstein, Eric W. "Closed Form". mathworld.wolfram.com (英語).
• closed (differential form) - PlanetMath.（英語）
• closed differential forms on a simply connected domain - PlanetMath.（英語）
• closed form in nLab