プロス数

数学の未解決問題
プロス素数は無数に存在するか。

プロス数（プロスすう、英: Proth number）とは、以下の制約を満たす式で表される自然数 $N$ のことである。プロス数の名は、19世紀フランスの数学者フランソワ・プロス（英語版）にちなんで付けられた。

N=k\cdot 2^{n}+1

制約1: $k$ は正の奇数。
制約2: $n$ は正の整数。
制約3: $2^{n}>k$ である。

※ 制約3が無い場合、1より大きなあらゆる奇数がこの式から生まれてしまう^[1]。

プロス数の最初の数項は

3, 5, 9, 13, 17, 25, 33, 41, 49, 57, 65, 81, 97, 113, 129, 145, 161, 177, 193, 209, 225, 241,… (オンライン整数列大辞典の数列 A080075)

である。

カレン数 (n·2ⁿ+1) やフェルマー数 (2^2ⁿ+1) は、プロス数の特殊なケースと考えることもできる。

プロス素数

プロス素数（プロスそすう、英: Proth prime）とは、素数であるプロス数のことである^[2]。

プロス素数の最初の数項は

3, 5, 13, 17, 41, 97, 113, 193, 241, 257, 353, 449, 577, 641, 673, 769, 929, 1153, 1217, 1409, 1601, 2113, 2689, 2753, 3137, 3329, 3457, 4481, 4993, 6529, 7297, 7681, 7937, 9473, 9601, 9857, …(オンライン整数列大辞典の数列 A080076)

である。プロス素数は無数にあると予想されているが、証明されていない。

プロスの定理（英語版）を用いて、プロス数が素数であるか否かの判定を行うことができる^[3]。 $p$ をプロス数とする。以下の合同式を満たす整数 $a$ があれば、 $p$ はプロス素数である。なければ、プロス素数でない。

a^{(p-1)/2}\equiv -1{\pmod {p}}

すなわち、 $a^{(p-1)/2}$ に1を加えた数が $p$ で割り切れるよう、 $a$ を探せばよい。

2016年現在^[update]、発見済みである最大のプロス素数は 10223×2^31172165 + 1 であり、9,383,761桁の大きさを持つ^[4]。これが素数であることは PrimeGrid プロジェクトの Péter Szabolcs によって導き出された事が2016年11月6日に発表された^[5]。この数は、メルセンヌ素数でないような既知の最大の素数でもある^[6]。

脚注

^ Weisstein, Eric W. "Proth Number". mathworld.wolfram.com (英語).
^ Weisstein, Eric W. "Proth Prime". mathworld.wolfram.com (英語).
^ Weisstein, Eric W. "Proth's Theorem". mathworld.wolfram.com (英語).
^ Chris Caldwell, The Top Twenty: Proth, from The en:Prime Pages.
^ “World Record Colbert Number discovered!”. 2016年12月7日閲覧。
^ Chris Caldwell, The Top Twenty: Largest Known Primes, from The en:Prime Pages.

[1] Weisstein, Eric W. "Proth Number". mathworld.wolfram.com (英語).

[2] Weisstein, Eric W. "Proth Prime". mathworld.wolfram.com (英語).

[3] Weisstein, Eric W. "Proth's Theorem". mathworld.wolfram.com (英語).

[4] Chris Caldwell, The Top Twenty: Proth, from The en:Prime Pages.

[5] “World Record Colbert Number discovered!”. 2016年12月7日閲覧。

[6] Chris Caldwell, The Top Twenty: Largest Known Primes, from The en:Prime Pages.

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表話編歴素数の分類
生成式	フェルマー ( $2 2 n + 1$ ) メルセンヌ ( $2 p - 1$ ) 二重メルセンヌ ( $2 2 p -1 - 1$ ) ワグスタッフ ( $(2 p + 1)/3$ ) プロス ( $k \cdot2 n + 1$ ) 階乗 ( $n! \pm 1$ ) 素数階乗 ( $p n # \pm 1$ ) ユークリッド ( $p n # + 1$ ) ピタゴラス ( $4 n + 1$ ) ピアポント ( $2 u \cdot3 v + 1$ ) Quartan（英語版） ( $x 4 + y 4$ ) ソリナス（英語版） ( $2 a \pm 2 b \pm 1$ ) カレン ( $n \cdot2 n + 1$ ) ウッダル ( $n \cdot2 n - 1$ ) Cuban（英語版） ( $(x 3 - y 3)/(x - y)$ ) キャロル ( $(2 n - 1) 2 - 2$ ) Kynea ( $(2 n + 1) 2 - 2$ ) レイランド ( $x y + y x$ ) サービト（英語版） ( $3\cdot2 n - 1$ ) ミルズ ( $[A] 3 n$ )
漸化式（英語版）	フィボナッチリュカペルニューマン–シャンクス–ウィリアムズペラン分割ベルモツキン
各種の性質	ヴィーフェリッヒ（英語版） (対（英語版）) ウォール–孫–孫（英語版）ウォルステンホルムウィルソン幸運フォーチュンラマヌジャン（英語版）ピライ正則強（英語版）スターン Supersingular (楕円曲線)（英語版） Supersingular (ムーンシャイン理論)（英語版）良いスーパーヒッグス（英語版）高度コトーティエント（英語版）
基数依存	ハッピー二面（英語版）回文エマープレピュニット ( $(10 n - 1)/9$ ) 置換可能 Circular（英語版）切り捨て可能 Strobogrammatic（英語版） Minimal（英語版）弱いフルサイクルプライム Unique（英語版） Primeval（英語版）自己スマランダチェ–ウェラン（英語版）
組	互いに素双子 ( $p, p + 2$ ) Bi-twin chain ( $n - 1, n + 1, 2 n - 1, 2 n + 1, \dots$ ) 三つ子 ( $p, p + 2$ or $p + 4, p + 6$ ) 四つ子 ( $p, p + 2, p + 6, p + 8$ ) k−Tuple いとこ ( $p, p + 4$ ) セクシー ( $p, p + 6$ ) 陳ソフィー・ジェルマン ( $p, 2 p + 1$ ) カニンガム鎖 ( $p, 2 p \pm 1, \dots$ ) 安全 ( $p, (p - 1)/2$ ) 算術数列（英語版） ( $p + an; n = 0, 1, \dots$ ) 平衡 ( $p - n, p, p + n$ )
桁数	タイタニック ( $103$ 桁以上) 巨大 ( $104$ 桁以上) メガ ( $106$ 桁以上)
複素数	アイゼンシュタイン素数（英語版）ガウス素数
合成数	擬素数概素数半素数楔数 Interprime（英語版）
関連する話題	確率的素数 Industrial-grade prime（英語版）違法素数素数の公式（英語版）素数の間隔『巨大な素数の一覧』
最初の50個	$2$ $3$ $5$ $7$ $11$ $13$ $17$ $19$ $23$ $29$ $31$ $37$ $41$ $43$ $47$ $53$ $59$ $61$ $67$ $71$ $73$ $79$ $83$ $89$ $97$ $101$ $103$ $107$ $109$ $113$ $127$ $131$ $137$ $139$ $149$ $151$ $157$ $163$ $167$ $173$ $179$ $181$ $191$ $193$ $197$ $199$ $211$ $223$ $227$ $229$
素数の一覧

プロス素数

関連項目

脚注