ジョンソンの立体
（整凸多面体から転送）
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ジョンソンの立体（ジョンソンのりったい、Johnson solid）、またはザルガラーの多面体（ザルガラーのためんたい、Zalgaller polyhedron）とは、整面凸多面体（せいめんとつためんたい、regular-faced convex polyhedron）のうち、正多面体、半正多面体、アルキメデスの角柱、アルキメデスの反角柱以外のもの。
整面凸多面体とは、全ての面が正多角形で全ての辺の長さが等しい凸多面体である。なお、「ザルガラーの多面体」は整面凸多面体の意味で使うこともある。
ジョンソンの立体は全部で92種類ある。正多面体以外のデルタ多面体、ミラーの立体も含む。
正多面体・半正多面体のリストアップは比較的簡単だが、ジョンソンの立体のリストアップは簡単ではない。1966年、アメリカの数学者ノーマン・ジョンソン(Norman Johnson)が全92種を記した一覧表を発表し、それぞれに番号と名前を与えたが、これで全てだとの証明はされなかった。3年後の1969年、ヴィクター・アブラモヴィッチ・ザルガラー(Victor Abramovich Zalgaller)がコンピュータを駆使して、この一覧表が完全であることを証明した。
性質
[編集]面の種類は、1種類のもの（5種のデルタ多面体のみ）と複数種類のものとがある。
面の種類は、正三角形、正方形、正五角形、正六角形、正八角形、正十角形の6種類のみである。この性質は半正多面体にも共通する。これらの面は、正多面体が持つ3種類の面と、それらの辺の数を倍にしたものである。
正六角形、正八角形、正十角形の中では、最大1種類しか使われない。また、正 2n 角形（n ≥ 3）が使われているときは、正 n 角形も使われている。これらの性質は、半正多面体では成り立たない。
対称性はCyclicかDihedralである。これらは、正多面体や半正多面体のTetrahedralやOctahedralやIcosahedralより低い対称性であり、たとえば回転対称性については1本 (Cyclic) か2本 (Dihedral) しか軸を持たない。なお、アルキメデスの角柱やアルキメデスの反角柱の対称性はDihedralである。[疑問点]
一覧
[編集]番号と英語の名称はジョンソンによる。日本語訳にはいくらか揺れがあるので注意されたい。n 番目のジョンソンの立体を Jn と書く。
- 1-6（6種）: 角錐、台塔、丸塔
- 7-17（11種）: 角錐柱、角錐反柱、双角錐
- 18-48（31種）: 台塔と丸塔の変形
- 49-57（9種）: 側錐角柱
- 58-64（7種）: 正多面体の変形
- 65-83（19種）: 半正多面体の変形
- 84-92（9種）: その他
対称性はシェーンフリース記号で書かれている。ほかの記号法についてはList of spherical symmetry groups（3次元点群の一覧）に詳しい。
| Jn | 名称 | 展開図 | 投影図 | 頂 点 |
辺 | 面 | 正 n 角形面 | 対 称 性 |
その他の 性質 | |||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 3 | 4 | 5 | 6 | 8 | 10 | |||||||||
| 1 | 正四角錐 (square pyramid) |
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5 | 8 | 5 | 4 | 1 | C4v | |||||
| 2 | 正五角錐 (pentagonal pyramid) |
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6 | 10 | 6 | 5 | 1 | C5v | |||||
| 3 | 正三角台塔 (triangular cupola) |
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9 | 15 | 8 | 4 | 3 | 1 | C3v | ||||
| 4 | 正四角台塔 (square cupola) |
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12 | 20 | 10 | 4 | 5 | 1 | C4v | ||||
| 5 | 正五角台塔 (pentagonal cupola) |
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15 | 25 | 12 | 5 | 5 | 1 | 1 | C5v | |||
| 6 | 正五角丸塔 (pentagonal rotunda) |
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20 | 35 | 17 | 10 | 6 | 1 | C5v | ||||
| 7 | 正三角錐柱 (elongated triangular pyramid) |
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7 | 12 | 7 | 4 | 3 | C3v | |||||
| 8 | 正四角錐柱 (elongated square pyramid) |
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9 | 16 | 9 | 4 | 5 | C4v | |||||
| 9 | 正五角錐柱 (elongated pentagonal pyramid) |
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11 | 20 | 11 | 5 | 5 | 1 | C5v | ||||
| 10 | 正四角錐反柱 (gyroelongated square pyramid) |
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9 | 20 | 13 | 12 | 1 | C4v | |||||
| 11 | 正五角錐反柱 (gyroelongated pentagonal pyramid) |
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11 | 25 | 16 | 15 | 1 | C5v | |||||
| 12 | 双三角錐 (triangular dipyramid) デルタ六面体 |
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5 | 9 | 6 | 6 | D3h | デルタ 多面体 | |||||
| 13 | 双五角錐 (pentagonal dipyramid) デルタ十面体 |
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7 | 15 | 10 | 10 | D5h | デルタ 多面体 | |||||
| 14 | 双三角錐柱 (elongated triangular dipyramid) |
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8 | 15 | 9 | 6 | 3 | D3h | |||||
| 15 | 双四角錐柱 (elongated square dipyramid) |
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10 | 20 | 12 | 8 | 4 | D4h | |||||
| 16 | 双五角錐柱 (elongated pentagonal dipyramid) |
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12 | 25 | 15 | 10 | 5 | D5h | |||||
| 17 | 双四角錐反柱 (gyroelongated square dipyramid) デルタ十六面体 |
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10 | 24 | 16 | 16 | D4d | デルタ 多面体 | |||||
| 18 | 正三角台塔柱 (elongated triangular cupola) |
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15 | 27 | 14 | 4 | 9 | 1 | C3v | ||||
| 19 | 正四角台塔柱 (elongated square cupola) |
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20 | 36 | 18 | 4 | 13 | 1 | C4v | ||||
| 20 | 正五角台塔柱 (elongated pentagonal cupola) |
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25 | 45 | 22 | 5 | 15 | 1 | 1 | C5v | |||
| 21 | 正五角丸塔柱 (elongated pentagonal rotunda) |
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30 | 55 | 27 | 10 | 10 | 6 | 1 | C5v | |||
| 22 | 正三角台塔反柱 (gyroelongated triangular cupola) |
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15 | 33 | 20 | 16 | 3 | 1 | C3v | ||||
| 23 | 正四角台塔反柱 (gyroelongated square cupola) |
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20 | 44 | 26 | 20 | 5 | 1 | C4v | ||||
| 24 | 正五角台塔反柱 (gyroelongated pentagonal cupola) |
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25 | 55 | 32 | 25 | 5 | 1 | 1 | C5v | |||
| 25 | 正五角丸塔反柱 (gyroelongated pentagonal rotunda) |
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30 | 65 | 37 | 30 | 6 | 1 | C5v | ||||
| 26 | 異相双三角柱 (gyrobifastigium) 双側正三角柱 |
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8 | 14 | 8 | 4 | 4 | D2d | |||||
| 27 | 同相双三角台塔 (triangular orthobicupola) |
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12 | 24 | 14 | 8 | 6 | D3h | |||||
| 28 | 同相双四角台塔 (square orthobicupola) |
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16 | 32 | 18 | 8 | 10 | D4h | |||||
| 29 | 異相双四角台塔 (square gyrobicupola) |
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16 | 32 | 18 | 8 | 10 | D4d | |||||
| 30 | 同相双五角台塔 (pentagonal orthobicupola) |
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20 | 40 | 22 | 10 | 10 | 2 | D5h | ||||
| 31 | 異相双五角台塔 (pentagonal gyrobicupola) |
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20 | 40 | 22 | 10 | 10 | 2 | D5d | ||||
| 32 | 同相五角台塔丸塔 (pentagonal orthocupolarotunda) |
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25 | 50 | 27 | 15 | 5 | 7 | C5v | ||||
| 33 | 異相五角台塔丸塔 (pentagonal gyrocupolarotunda) |
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25 | 50 | 27 | 15 | 5 | 7 | C5v | ||||
| 34 | 同相双五角丸塔 (pentagonal orthobirotunda) |
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30 | 60 | 32 | 20 | 12 | D5h | |||||
| 35 | 同相双三角台塔柱 (elongated triangular orthobicupola) |
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|
18 | 36 | 20 | 8 | 12 | D3h | |||||
| 36 | 異相双三角台塔柱 (elongated triangular gyrobicupola) |
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18 | 36 | 20 | 8 | 12 | D3d | |||||
| 37 | 異相双四角台塔柱 (elongated square gyrobicupola) ミラーの立体 |
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24 | 48 | 26 | 8 | 18 | D4d | 全ての 頂点形状 が合同 | ||||
| 38 | 同相双五角台塔柱 (elongated pentagonal orthobicupola) |
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30 | 60 | 32 | 10 | 20 | 2 | D5h | ||||
| 39 | 異相双五角台塔柱 (elongated pentagonal gyrobicupola) |
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30 | 60 | 32 | 10 | 20 | 2 | D5d | ||||
| 40 | 同相五角台塔丸塔柱 (elongated pentagonal orthocupolarotunda) |
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35 | 70 | 37 | 15 | 15 | 7 | C5v | ||||
| 41 | 異相五角台塔丸塔柱 (elongated pentagonal gyrocupolarotunda) |
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35 | 70 | 37 | 15 | 15 | 7 | C5v | ||||
| 42 | 同相双五角丸塔柱 (elongated pentagonal orthobirotunda) |
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40 | 80 | 42 | 20 | 10 | 12 | D5h | ||||
| 43 | 異相双五角丸塔柱 (elongated pentagonal gyrobirotunda) |
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40 | 80 | 42 | 20 | 10 | 12 | D5d | ||||
| 44 | 双三角台塔反柱 (gyroelongated triangular bicupola) |
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18 | 42 | 26 | 20 | 6 | D3 | キラル | ||||
| 45 | 双四角台塔反柱 (gyroelongated square bicupola) |
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24 | 56 | 34 | 24 | 10 | D4 | キラル | ||||
| 46 | 双五角台塔反柱 (gyroelongated pentagonal bicupola) |
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30 | 70 | 42 | 30 | 10 | 2 | D5 | キラル | |||
| 47 | 五角台塔丸塔反柱 (gyroelongated pentagonal cupolarotunda) |
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35 | 80 | 47 | 35 | 5 | 7 | C5 | キラル | |||
| 48 | 双五角丸塔反柱 (gyroelongated pentagonal birotunda) |
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40 | 90 | 52 | 40 | 12 | D5 | キラル | ||||
| 49 | 側錐三角柱 (augmented triangular prism) |
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7 | 13 | 8 | 6 | 2 | C2v | |||||
| 50 | 二側錐三角柱 (biaugmented triangular prism) |
|
|
8 | 17 | 11 | 10 | 1 | C2v | |||||
| 51 | 三側錐三角柱 (triaugmented triangular prism) デルタ十四面体 |
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|
9 | 21 | 14 | 14 | D3h | デルタ 多面体 | |||||
| 52 | 側錐五角柱 (augmented pentagonal prism) |
|
|
11 | 19 | 10 | 4 | 4 | 2 | C2v | ||||
| 53 | 二側錐五角柱 (biaugmented pentagonal prism) |
|
|
12 | 23 | 13 | 8 | 3 | 2 | C2v | ||||
| 54 | 側錐六角柱 (augmented hexagonal prism) |
|
|
13 | 22 | 11 | 4 | 5 | 2 | C2v | ||||
| 55 | 双側錐六角柱 (parabiaugmented hexagonal prism) |
|
|
14 | 26 | 14 | 8 | 4 | 2 | D2h | ||||
| 56 | 二側錐六角柱 (metabiaugmented hexagonal prism) |
|
|
14 | 26 | 14 | 8 | 4 | 2 | C2v | ||||
| 57 | 三側錐六角柱 (triaugmented hexagonal prism) |
|
|
15 | 30 | 17 | 12 | 3 | 2 | D3h | ||||
| 58 | 側錐十二面体 (augmented dodecahedron) |
|
|
21 | 35 | 16 | 5 | 11 | C5v | |||||
| 59 | 双側錐十二面体 (parabiaugmented dodecahedron) |
|
|
22 | 40 | 20 | 10 | 10 | D5d | |||||
| 60 | 二側錐十二面体 (metabiaugmented dodecahedron) |
|
|
22 | 40 | 20 | 10 | 10 | C2v | |||||
| 61 | 三側錐十二面体 (triaugmented dodecahedron) |
|
|
23 | 45 | 24 | 15 | 9 | C3v | |||||
| 62 | 二側錐欠損二十面体 (metabidiminished icosahedron) |
|
|
10 | 20 | 12 | 10 | 2 | C2v | |||||
| 63 | 三側錐欠損二十面体 (tridiminished icosahedron) |
|
|
9 | 15 | 8 | 5 | 3 | C3v | |||||
| 64 | 側錐三側錐欠損二十面体 (augmented tridiminished icosahedron) |
|
|
10 | 18 | 10 | 7 | 3 | C3v | |||||
| 65 | 側台塔切頂四面体 (augmented truncated tetrahedron) |
|
|
15 | 27 | 14 | 8 | 3 | 3 | C3v | ||||
| 66 | 側台塔切頂立方体 (augmented truncated cube) |
|
|
28 | 48 | 22 | 12 | 5 | 5 | C4v | ||||
| 67 | 双側台塔切頂立方体 (biaugmented truncated cube) |
|
|
32 | 60 | 30 | 16 | 10 | 4 | D4h | ||||
| 68 | 側台塔切頂十二面体 (augmented truncated dodecahedron) |
|
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65 | 105 | 42 | 25 | 5 | 1 | 11 | C5v | |||
| 69 | 双側台塔切頂十二面体 (parabiaugmented truncated dodecahedron) |
|
|
70 | 120 | 52 | 30 | 10 | 2 | 10 | D5d | |||
| 70 | 二側台塔切頂十二面体 (metabiaugmented truncated dodecahedron) |
|
|
70 | 120 | 52 | 30 | 10 | 2 | 10 | C2v | |||
| 71 | 三側台塔切頂十二面体 (triaugmented truncated dodecahedron) |
|
|
75 | 135 | 62 | 35 | 15 | 3 | 9 | C3v | |||
| 72 | 側台塔回転斜方二十・十二面体 (gyrate rhombicosidodecahedron) |
|
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60 | 120 | 62 | 20 | 30 | 12 | C5v | ||||
| 73 | 双側台塔回転斜方二十・十二面体 (parabigyrate rhombicosidodecahedron) |
|
|
60 | 120 | 62 | 20 | 30 | 12 | D5d | ||||
| 74 | 二側台塔回転斜方二十・十二面体 (metabigyrate rhombicosidodecahedron) |
|
|
60 | 120 | 62 | 20 | 30 | 12 | C2v | ||||
| 75 | 三側台塔回転斜方二十・十二面体 (trigyrate rhombicosidodecahedron) |
|
|
60 | 120 | 62 | 20 | 30 | 12 | C3v | ||||
| 76 | 側台塔欠損斜方二十・十二面体 (diminished rhombicosidodecahedron) |
|
|
55 | 105 | 52 | 15 | 25 | 11 | 1 | C5v | |||
| 77 | 双側台塔回転欠損斜方二十・十二面体 (paragyrate diminished rhombicosidodecahedron) |
|
|
55 | 105 | 52 | 15 | 25 | 11 | 1 | C5v | |||
| 78 | 二側台塔回転欠損斜方二十・十二面体 (metagyrate diminished rhombicosidodecahedron) |
|
|
55 | 105 | 52 | 15 | 25 | 11 | 1 | Cs | |||
| 79 | 二側台塔回転側台塔欠損斜方二十・十二面体 (bigyrate diminished rhombicosidodecahedron) |
|
|
55 | 105 | 52 | 15 | 25 | 11 | 1 | Cs | |||
| 80 | 双側台塔欠損斜方二十・十二面体 (parabidiminished rhombicosidodecahedron) |
|
|
50 | 90 | 42 | 10 | 20 | 10 | 2 | D5d | |||
| 81 | 二側台塔欠損斜方二十・十二面体 (metabidiminished rhombicosidodecahedron) |
|
|
50 | 90 | 42 | 10 | 20 | 10 | 2 | C2v | |||
| 82 | 側台塔回転二側台塔欠損斜方二十・十二面体 (gyrate bidiminished rhombicosidodecahedron) |
|
|
50 | 90 | 42 | 10 | 20 | 10 | 2 | Cs | |||
| 83 | 三側台塔欠損斜方二十・十二面体 (tridiminished rhombicosidodecahedron) |
|
|
45 | 75 | 32 | 5 | 15 | 9 | 3 | C3v | |||
| 84 | 変形双五角錐 (snub disphenoid) デルタ十二面体 |
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|
8 | 18 | 12 | 12 | D2d | デルタ 多面体 | |||||
| 85 | 変形四角反柱 (snub square antiprism) |
|
|
16 | 40 | 26 | 24 | 2 | D4d | |||||
| 86 | 球形屋根 (sphenocorona) |
|
|
10 | 22 | 14 | 12 | 2 | C2v | |||||
| 87 | 側錐球形屋根 (augmented sphenocorona) |
|
|
11 | 26 | 17 | 16 | 1 | Cs | |||||
| 88 | 長球形屋根 (sphenomegacorona) |
|
|
12 | 28 | 18 | 16 | 2 | C2v | |||||
| 89 | 広底長球形屋根 (hebesphenomegacorona) |
|
|
14 | 33 | 21 | 18 | 3 | C2v | |||||
| 90 | 五角錐球形屋根 (disphenocingulum) |
|
|
16 | 38 | 24 | 20 | 4 | D2d | |||||
| 91 | 双三日月双丸塔 (bilunabirotunda) |
|
|
14 | 26 | 14 | 8 | 2 | 4 | D2h | ||||
| 92 | 三角広底球形屋根丸塔 (triangular hebesphenorotunda) |
|
|
18 | 36 | 20 | 13 | 3 | 3 | 1 | C3v | |||
関連文献
[編集]- 小林光夫, 鈴木卓治, 「正多角形を面にもつすべての凸多面体の頂点座標の計算」, 電気通信大学紀要, Vol.5 (No.2), 147-184 (1992). https://uec.repo.nii.ac.jp/records/8171
外部リンク
[編集]- 正多面体、準正多面体、ザルガラー多面体、mxico
- ザルガラー多面体の名前 - 小林・鈴木による日本語訳を掲載している。
- ジョンソン立体の分類
- 立体２（☆ザルガラー多面体のところ） - 番号に前後あり。
- Weisstein, Eric W. "Johnson Solid". mathworld.wolfram.com (英語).
