調和四角形
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ユークリッド幾何学において、調和四角形[1]（ちょうわしかくけい、英: harmonic quadrilateral, harmonic quadrangle）は、円に内接し、2つの対辺の長さの積が等しい四角形である[2]。調和共役、類似中線と関連する幾つかの有用な性質を持つ。
性質
[編集]- AとCにおける外接円の接線と直線BDは、一点で交わる（か平行である）。したがって、対角線の極はもう一方の対角線上にある[3][4]。
- ∠BMCは∠DMCと等しい。
- 角B, Dの二等分線は対角線AC上で交わる。
- 対角線BDはそれぞれ△ABC, △ADCの頂点B, Dにおける類似中線である。
- 四角形の対角点と辺の距離と、辺長の比は等しい。
- 対角点は四角形の内部の点の中で、辺との距離の平方の和を最小化する点である[5]。
- A, B, C, Dを複素平面上の点と見なしたとき、複比(ABCD) = −1である[4]。
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∠BMC = ∠DMC -
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四角形の対角点と辺の距離と、辺長の比は等しい。
出典
[編集]- ^ Evan Chen 著、森田 康夫, 兒玉 太陽, 熊谷 勇輝, 宿田 彩斗, 平山 楓馬 訳『数学オリンピック幾何への挑戦』日本評論社、2023年、95, 239頁。ISBN 9784535789784。
- ^ Johnson, Roger A. (2007) [1929], Advanced Euclidean Geometry, Dover, p. 100, ISBN 978-0-486-46237-0
- ^ “Some Properties of the Harmonic Quadrilateral”. 2024年12月30日閲覧。 Proposition 7
- ^ a b “HarmonicQuad”. 2024年12月30日閲覧。
- ^ “Some Properties of the Harmonic Quadrilateral”. 2024年12月30日閲覧。 Proposition 6
参考文献
[編集]- Gallatly, W. "The Harmonic Quadrilateral." §124 in The Modern Geometry of the Triangle, 2nd ed. London: Hodgson, pp. 90 and 92, 1913.
関連項目
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